第四章2 連續(xù)型隨機變量

1、 開課系：數學系開課系：數學系 對離散型隨機變量，可用分布函數和分布律來描述，對離散型隨機變量，可用分布函數和分布律來描述， 用分布函數描述隨機變量不如分布律直觀，用分布函數描述隨機變量不如分布律直觀， 而對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法而對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？ 3 靶子 X 彈著點 1、當x0時,Xx為不可能事件(因 為彈著點與圓心的距離不可能為負),故 ; 0)()(PxXPxF 2、當0 x 2時,由題意得 ,)( 2 xkxXPxF 取x=2以確定k的值: ,42 21 2 kkXP, 4 1 k 射擊 均能 中靶 解：用定義來求 故; 4 )( 2 x

2、 xXPxF 3、當x2時,Xx為必然事件,故 ; 1)()(PxXPxF 綜上得X的分布函數為: . 2, 1 , 20, 4 , 0, 0 )( 2 x x x x xF )(xF x O 1 21 5 此外,易驗證:對任意實數x,均有 x dttfxF)()( 其中非負函數 ., 0 , 20, 2 )( 其它 t t tf 4.3 連續(xù)型隨機變量 一、概率密度一、概率密度 x dttfxXPxF)()()( 1. 定義定義 對于隨機變量對于隨機變量X，若存在非負函數若存在非負函數 f(x)，(- x+ )，使對任意實數使對任意實數x，都有都有 則稱則稱X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變

3、量， f(x)為為X的的概率概率 密度函數密度函數，簡稱概率密度或密度函數，簡稱概率密度或密度函數. 常記為常記為 X f(x) , (- x+ ) 分布分布函數的函數的幾何意義幾何意義為為 ()( ) b a P aXbf t dt )(xF 求概率 2. 密度函數的性質密度函數的性質 (1) 非負性非負性 f(x) 0，(- x )； (2)歸一性歸一性 .1)( dxxf 性質性質(1)、(2)是密度函數的充要是密度函數的充要條件條件； x aexf )( 設隨機變量X的概率密度為 求常數a. 2 1 a 確定待定參數 (3) 若若x是是f(x)的連續(xù)點，則的連續(xù)點，則 )( )( xf

4、 dx xdF 設隨機變量X的分布函數為 求f(x) 0 2 1 1 0 2 1 )( xe xe xF x x 0 2 1 0 2 1 )( xe xe xf x x 由分布函數求概率密度 （4 4） 對任意實數對任意實數b b，若若X X f(x)f(x)， (- (- xx ) )，則則PX=PX=b b 0 0。這是離散型隨機變。這是離散型隨機變 量和連續(xù)型隨機變量最大的區(qū)別量和連續(xù)型隨機變量最大的區(qū)別 b a dxxfbXaPbXaP bXaPbXaP )( 于是于是 )()()(bXpbXPbXP xbb dxxfdxxf)()( - b xb dxxf)( 0)(0, bXPx

5、例例 1.1.已知隨機變量已知隨機變量X X的概率密度為的概率密度為 1)1)求求X X的分布函數的分布函數F(x), 2)F(x), 2)求求PXPX (0.5,1.5)(0.5,1.5) 其他0 212 10 )(xx xx xf 【解】注意到概率密度f(x)在(-,+)上為分段函數, 其分段區(qū)間為(- ,0,(0,1,(1,2,(2,+);而分布函數為累積 和,故應就x在上述不同區(qū)間上積分求F(x). xx dxdxxfxXPxFx00)()()(, 0 2 0)()()()(, 10 2 00 0 x xdxdxxfdxxfxXPxFx xx 2 21)2( 0 )( )()()()(

6、)(, 21 2 1 1 0 0 1 1 0 0 x xdxxxdxdx dxxfdxxfdxxfdxxfxXPxFx x xx 10)2( 0 )()( )()()()()(, 2 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 x x dxdxxxdxdx dxxfdxxf dxxfdxxfdxxfxXPxFx 2 1 21 2 21 10 2 0 0 )( 2 2 x x x x x x x xF )5 . 15 . 0( XP )5 . 0()5 . 1 (FF 4 3 2 5 . 0 2 5 . 1 5 . 121 22 16 , 0 , 11,1 2 )( 2 其它 xx xf 1

7、x ; 00)()( xx dtdttfxF 11x x dttfxF)()( ; 2 1 arcsin 1 1 2 xx x .arcsin 22 2 2222 C a xa xa x dxxa x dttdt 1 2 1 1 2 0 18 1x x dttfxF)()( x dtdttdt 1 1 1 2 1 01 2 0 ; 1 .1 2 1 1 2 1 1 2 t dt . 1, 1 , 11, 2 1 arcsin 1 1 , 1, 0 )( 2 x xxx x x xF 設隨機變量設隨機變量X X的分布函數為的分布函數為 01 ( )ln1 1 x F xxxe xe (1)(1)

8、求求PX2,P0X3,P2Xe-0.1.PX2,P0X3,P2Xe-0.1. (2)(2)求概率密度求概率密度f(x)f(x) 其它 0 1 1 )( ex xxf 2ln)2()2(FXP 1)0()3()30(FFXP 2 1 . 0 ln)2() 1 . 0() 1 . 02( e FeFeXP 1. 均勻分布均勻分布 若Xf(x) ，其它0 bxa, ab 1 。 0ab ab cd dx ab dxxfdXcP d c d c 1 )( ) x ( f x 則稱則稱X在在(a, b)內服從內服從均勻分布。記作均勻分布。記作 XU(a, b) 對任意實數對任意實數c, d (acd0的

9、的指數分布指數分布,記作記作 XE( ) 。 其分布函數為其分布函數為 2. 指數分布指數分布 若 X 0 x,0 0 x,e )x(f x )x(f x 0 0 0,0 ( )( ) ,0 0,0 1,0 x x t x x F xf t dt edtx x ex - 例例 .電子元件的壽命電子元件的壽命X(X(年）年）服從參數為服從參數為0.50.5的指數分布的指數分布 (1)(1)求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2 2年的概率。年的概率。 (2)(2)已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1.51.5年，求它還能使用兩年年，求它還能使用兩年 的概率為多少？的概率為多少？ 解

10、解 , 00 05 . 0 )( x xe xf 0.5x0.5x 2 5 . 0 5 . 0) 1 (dxe x 2 2 P P X X 37. 0 1 1 e e 5 . 1|5 . 3)2( XXP 1.5 0.5x 3.5 0.5x dx0.5e dx0.5e 5 . 1 5 . 1, 5 . 3 XP XXP 37. 0 1 e 指數分布的一個有趣的現象： 只要 服從指數分布，便有 ， 表示已知壽命長于 年并且再活t年的概率與年齡無關，故指 數分布被稱為永遠年輕的分布 X )()(tXPsXtsXP s 正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上 研

11、究最多的分布之一，故它在概率統計中占有特研究最多的分布之一，故它在概率統計中占有特 別重要的地位。別重要的地位。 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布 A B A，B間真實距離為間真實距離為 ，測量值為，測量值為X。 X的概率密度應該是什么形態(tài)？ 其中其中 為實數，為實數， 0 ，則稱，則稱X服從參數為服從參數為 , 2的的正態(tài)正態(tài) 分布分布,記為記為N( , 2)，可表為可表為XN( , 2). 若隨機變量隨機變量 2 2 2 1 ( ) 2 x Xf xex (1) 單峰對稱單峰對稱 密度曲線關于直線密度曲線關于直線x= 對稱對稱； f( )maxf(x) . 2 1 正態(tài)分布有兩個特性正態(tài)分布有兩個特

12、性： (2) 的大小直接影響概率的分布的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻越小，曲線越陡峻，。，。 正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布分布 4.標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 參數參數 0， 21的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分標準正態(tài)分 布，記作布，記作XN(0, 1)。 ., 2 1 )( 2 2 xex x 分布函數表示為分布函數表示為 xdte xXPx x t , )( 2 2 1 2 其其密度函數密度函數表示為表示為 一般的概率統計教科書均附有標準正態(tài)分布表一般的概率統計教科書均附有標準正態(tài)分布表 供讀者查閱供讀者查閱

13、(x)的值。如，若的值。如，若 0.6915, P1.32Z2.43= (2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 )5 . 0( 時當),( 2 NX x dttfx)()( x dttf)( x dttfdttf)()( (x)dttf x 1)(1 dxedxxfbXaP x b a b a 2 2 2 )( 2 1 )()( ).()( x xXPxF 注注：(1) XN（0，1） (x)1 (x)； (2) XN( , 2)，則則 b a t t x dte 2 2 2 1 )()( ab )(bXaP )()( ab )()(uuXP，即 則稱 為標準正態(tài)分布的 分位

14、點 u 1.645 1.96 -1.645 95. 0 u 975. 0 u 05. 0 u645. 1 95. 005. 0105. 0 uuu 因為 )(uXP 得到 uXPuXP1)( 1)(uXP 1 uu 1 設隨機變量設隨機變量XN(-1,22),P-2.45X2.45=? 2.2.設設 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3 |3 的值的值. . 如在質量控制中，常用標準指標值如在質量控制中，常用標準指標值3 3 作兩條作兩條 線，當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)線，當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā) 出警報出警報. .表明生產出現異常表明生

15、產出現異常. . 1 7255. 07673. 019582. 0)725. 0()725. 1 ( 例例 某地區(qū)某地區(qū)1818歲女青年的血壓歲女青年的血壓( (收縮壓收縮壓) )服從服從N(110,12N(110,122 2).). 在該地區(qū)任選一位在該地區(qū)任選一位1818歲女青年歲女青年, ,測量她的血壓測量她的血壓, , (1)(1)求求PX105,P100X120;PX105,P100Xx0.05 105 110 11050.4210.66280.3371 12 P X 解：（） 120 110100 110 100120 1212 0.830.832 0.7967 10.5934 P

16、X 練習練習 0.05P Xx(2)令 110 10.05 12 x 則 110 0.95 12 x 110 1.645 12 x 查表得 129.74x 注注:XN(110,122). 95. 0)645. 1 ( 例例17（第四章例19） 某地抽樣調查結果表 明，考生的外語成績 （百分制）X 服從正態(tài)分布 ，且96分以上的考生占考 生總數的2.3，試求考生的外語成績在60至84分之間的概率. 2 (72,)N ， 72 2 解： 本題中分，未知， (96)0.023P X 但通過題中已知的條件 12可求得 84726072 (6084) 1212 PX (1)( 1)0.6826 ) 10

17、( zXP z )10(1)( z )10(1)( zXPz .645.1 05.0 z .575.2 005.0 z /2分位點 96.1 025.0 z )( 2 zXP 利用標準正態(tài)分布函數可以計算概率積分： 1 2 1 2 2 dte t 2 2 2 dte t 2 0 2 2 dte t 2 0 2 dxe x 正態(tài)分布的“3-原則” ;6826. 01) 1 (2) 1() 1 (|XP ;9544. 01) 2(2) 2() 2(2|XP .9974. 01) 3 (2) 3() 3 (3|XP EXEX 一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分一種電子元件的使用壽命（小時）服從

18、正態(tài)分 布布(100,15(100,152 2),),某儀器上裝有某儀器上裝有3 3個這種元件，三個元個這種元件，三個元 件損壞與否是相互獨立的件損壞與否是相互獨立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小時內小時內 無一元件損壞的概率無一元件損壞的概率. . 解:設設Y為為使用的最初使用的最初9090小時內損壞的元件數小時內損壞的元件數, , 2514. 0)67. 0() 15 10090 (90 XPp 故故4195. 0)1(0 3 pYP 則YB(3,p) 其中其中 思考題1 設隨機變量X的分布函數為 答案 C 1 ,1 10 , 2 1 0 , 0 )( xe x x xF x ) 1(XP 則 0 A 2 1 B 1 2 1 eC 1 1 eD )01 () 1 (FF 思考題2 答案 A 為密度函數,則 滿足 為標準正態(tài)分布的密度函數 ， 為-1,3上的均勻 分布的密度函數，若 )( 1 xf)( 2 xf )0, 0( 0 ),( 0 ),( )( 2 1 ba xxbf xxaf xfba, 432 baA423 baB 1 baC 2 baD 1)()( 3 0 2 0 1 dxxbfdxxaf 思考題3 答案 D 設 是兩個分布函數，其相應的概率密度函數 是連續(xù)函數，則下列必為概率密度函數的是 xFxF 21 , xf