狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算

1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算(1/1) 3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 q 在狀態(tài)方程求解中在狀態(tài)方程求解中,關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (t)的計(jì)算。的計(jì)算。 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù) eAt的計(jì)算。的計(jì)算。 上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù) eAt的計(jì)算方法的計(jì)算方法,下面講述計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他下面講述計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他 3種常用方法。種常用方法。 級(jí)數(shù)求和法 約旦規(guī)范形法 化eAt為A的有限多項(xiàng)式矩陣函數(shù)法 狀態(tài)轉(zhuǎn)

2、移矩陣計(jì)算 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法(1/3) 3.2.1 級(jí)數(shù)求和法 q 由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知: . ! . ! 2 22 k tAtA AtI kk At e 矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算可由上述定義式直接計(jì)算。 q 由于上述定義式是一個(gè)無窮級(jí)數(shù),故在用此方法計(jì)算eAt時(shí)必須 考慮級(jí)數(shù)收斂性條件和計(jì)算收斂速度問題。 類似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)eat,對所有有限的常數(shù)矩陣A和有限 的時(shí)間t來說,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt這個(gè)無窮級(jí)數(shù)表示收斂。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法(2/3) q 顯然顯然,用此方法計(jì)算用此方法計(jì)算eAt一般不能寫成封閉的、簡潔

3、的解析形一般不能寫成封閉的、簡潔的解析形 式式,只能得到數(shù)值計(jì)算的近似計(jì)算結(jié)果。只能得到數(shù)值計(jì)算的近似計(jì)算結(jié)果。 其計(jì)算精度取決于矩陣級(jí)數(shù)的收斂性與計(jì)算時(shí)所取的其計(jì)算精度取決于矩陣級(jí)數(shù)的收斂性與計(jì)算時(shí)所取的 項(xiàng)數(shù)的多少。項(xiàng)數(shù)的多少。 如果級(jí)數(shù)收斂較慢如果級(jí)數(shù)收斂較慢,則需計(jì)算的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)多則需計(jì)算的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)多,人工計(jì)算是人工計(jì)算是 非常麻煩的非常麻煩的,一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。 因此因此,該方法的缺點(diǎn)該方法的缺點(diǎn): 計(jì)算量大計(jì)算量大 精度低精度低 非解析方法非解析方法,難以得到計(jì)算結(jié)果的簡潔的解析表達(dá)難以得到計(jì)算結(jié)果的簡潔的解析表達(dá) 式式 。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 級(jí)數(shù)求和法

4、級(jí)數(shù)求和法(3/3)例例3-4 q 例3-4 用直接計(jì)算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)用直接計(jì)算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù): .31.32 . 2 3 .1 . ! 232 10 32 10 10 01 . ! . ! 2 2 22 2 2 22 ttt ttt t t k tAtA AtI kk At e 32 10 A q 解 按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計(jì)算如下: 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法 (1/8) 3.2.2 約旦規(guī)范形法 q 上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形 式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)。 由于

5、由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦 矩陣矩陣,因此因此 可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線 矩陣或約旦矩陣矩陣或約旦矩陣, 再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速 計(jì)算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)。計(jì)算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)。 下面討論之。下面討論之。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(2/8) q 下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì)下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì): 對矩陣對矩陣A,經(jīng)變換矩陣經(jīng)變換矩陣P作線性變換后作線性變換后,有有 則相應(yīng)地有如下

6、矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系 PPPP AttAtAAt eeee 1 1 1 AP AP q 根據(jù)上述性質(zhì)根據(jù)上述性質(zhì),對矩陣對矩陣A,可通過可通過線性變換方法得到對角線矩線性變換方法得到對角線矩 陣或約旦矩陣陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩由矩 陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)。的矩陣指數(shù)函數(shù)。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(4/8)例例3-5 q 例例3-5 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 5116 6116 110

7、 A q 解解 1. 先求先求A的特征值。的特征值。由特征方程可求得特征值為 1=-1 2=-2 3=-3 2. 求特征值所對應(yīng)的特征向量。求特征值所對應(yīng)的特征向量。由前述的方法可求得特征值 1,2和3所對應(yīng)的特征向量分別為 p1=1 0 1 p2=1 2 4 p3=1 6 9 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法例例3-5 q 故將故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣及其逆陣P-1為為 12/ 31 343 22/ 53 941 620 111 1 PP 3. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有 t t t tA APPA 3 2 1 e00 0

8、e0 00e e 300 020 001 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法例例3-6 2/e27e16-2/5ee9e12-e3 e9e8-e6e6- 2/e3e4-2/5eee3-e3 ee 3232 3232 3232 1 tttttt tttt tttttt tAAt PP ttt tt ttt 32 32 32 e9-e122e- e6-6e e-e3e2- q 例例3-6 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 032 100 010 A 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(7/8)例例3-6 q 解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征

9、值為由特征方程可求得特征值為 1=2 2= 3=-1 2. 由于矩陣由于矩陣A為友矩陣為友矩陣,故將故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣變換成約旦矩陣的變換矩陣P和和 其逆陣其逆陣P-1分別為分別為 136 128 121 9 1 214 112 011 1 PP t tt t tA tAPPA e00 ee0 00e e 100 110 002 2 1 3. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,分別有 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 約旦規(guī)范形法約旦規(guī)范形法(8/8)-例例3-6 tt tt tt tttt tttt tttt tAAt t t t tt tt tt PP e )3-5(4e e )32- (2

10、e e )3-1- (e e )38- (8ee )64- (4e e )3-5(4ee )62(-2e e )32- (2ee )68(e 9 1 ee 2 2 2 22 22 22 1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 塞爾維斯特內(nèi)插法塞爾維斯特內(nèi)插法(1/1) 3.2.3 塞爾維斯特內(nèi)插法 q 在討論塞爾維斯特在討論塞爾維斯特(Sylvester)內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt時(shí)時(shí), 需要用到關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的凱萊需要用到關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的凱萊-哈密頓哈密頓(Cayley- Hamilton)定理以及最小多項(xiàng)式的概念。定理以及最小多項(xiàng)式的概念。 因此因此,首先給出凱萊首先給出凱萊

11、-哈密頓定理及最小多項(xiàng)式的概念哈密頓定理及最小多項(xiàng)式的概念,再再 討論塞爾維斯特內(nèi)插法。討論塞爾維斯特內(nèi)插法。 下面依次介紹下面依次介紹: 凱萊-哈密頓定理 最小多項(xiàng)式 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 凱萊-哈密頓定理(1/4) 1. 凱萊凱萊-哈密頓定理哈密頓定理 q 凱萊凱萊-哈密頓定理是矩陣方程分析和求解中非常重要的定理哈密頓定理是矩陣方程分析和求解中非常重要的定理, 其表述和證明如下。其表述和證明如下。 q 定理定理3-1(凱萊凱萊-哈密頓定理哈密頓定理) 設(shè)設(shè)n n矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 f( )=| I-A|= n+a1 n-1+an-1 +an

12、 則矩陣則矩陣A必使由上述特征多項(xiàng)式?jīng)Q定的矩陣多項(xiàng)式函數(shù)必使由上述特征多項(xiàng)式?jīng)Q定的矩陣多項(xiàng)式函數(shù) f(A)=An+a1An-1+an-1A+anI=0 上述特征多項(xiàng)式亦稱為矩陣上述特征多項(xiàng)式亦稱為矩陣A的零化特征多項(xiàng)式。的零化特征多項(xiàng)式。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 凱萊-哈密頓定理(2/4) q 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)?I=( I-A)-1( I-A)=adj( I-A)/| I-A|( I-A) 故故 | I-A|I=adj( I-A)( I-A) 由伴隨矩陣的定義可知由伴隨矩陣的定義可知,伴隨矩陣伴隨矩陣adj( I-A)可表示為如下可表示為如下 多項(xiàng)式矩陣函數(shù)多項(xiàng)式矩陣函數(shù): adj( I-A)=

13、n-1I+ n-2B2+ Bn-1+Bn 其中矩陣其中矩陣B2,B3,Bn為為n n維的常數(shù)矩陣。維的常數(shù)矩陣。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 凱萊-哈密頓定理(3/4) 因此由前面兩式因此由前面兩式,有有 ( n+a1 n-1+an-1 +an)I=( n-1I+ n-2B2+ Bn-1+Bn)( I-A) 整理得整理得 ( n+a1 n-1+an-1 +an)I = nI+(B2-A) n-1+(Bn-Bn-1A) -BnA 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 凱萊-哈密頓定理(4/4) 上式中上式中,令等號(hào)兩邊令等號(hào)兩邊 的同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等的同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等,則有則有 a1I-B2+A=0 a2I-B3+AB2=

14、0 an-1I-Bn+ABn-1=0 anI+ABn=0 因此因此,將上述各等式從上至下依次右乘以將上述各等式從上至下依次右乘以An-1,A,I,然后然后 將各等式相加將各等式相加,即得即得 An+a1An-1+an-1A+anI=0 故矩陣故矩陣A滿足其本身的零化特征多項(xiàng)式。滿足其本身的零化特征多項(xiàng)式。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 (1/3) 2. 最小多項(xiàng)式 q 根據(jù)根據(jù)凱萊凱萊-哈密爾頓定理哈密爾頓定理,任一任一nn維矩陣維矩陣A滿足其自身的特滿足其自身的特 征方程征方程,即特征多項(xiàng)式為即特征多項(xiàng)式為A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。的一個(gè)零化多項(xiàng)式。 然而特征多項(xiàng)式不一定是然而特征多項(xiàng)式

15、不一定是A的最小階次的零化多項(xiàng)式。的最小階次的零化多項(xiàng)式。 將矩陣將矩陣A滿足的最小階次的首一零化多項(xiàng)式稱為最小多滿足的最小階次的首一零化多項(xiàng)式稱為最小多 項(xiàng)式項(xiàng)式,也就是說也就是說,定義定義nn維矩陣維矩陣A的最小多項(xiàng)式為滿足的最小多項(xiàng)式為滿足 (A)=Am+ 1Am-1+ m-1A+ mI=0, m n 的階次最低的首一多項(xiàng)式的階次最低的首一多項(xiàng)式 ( )= m+ 1 m-1+ m-1 + m 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(2/3) q 最小多項(xiàng)式在矩陣多項(xiàng)式的分析與計(jì)算中起著重要作用。最小多項(xiàng)式在矩陣多項(xiàng)式的分析與計(jì)算中起著重要作用。 定理定理3-2給出了特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式

16、的關(guān)系。給出了特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的關(guān)系。 q 定理3-2 設(shè)首一多項(xiàng)式設(shè)首一多項(xiàng)式d( )是是 I-A的伴隨矩陣的伴隨矩陣adj( I-A)的所有的所有 元素的最高公約式元素的最高公約式,則最小多項(xiàng)式為則最小多項(xiàng)式為 )( )( d AI 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(3/3) q 證明 由假設(shè)知由假設(shè)知,矩陣矩陣adj( I-A)的最高公約式為的最高公約式為d( ),故故 adj( I-A)=d( )B( ), 式中式中,B( )的的n2個(gè)元素個(gè)元素(為為 的函數(shù)的函數(shù))的最高公約式為的最高公約式為1。 由于由于 ( I-A)adj( I-A)=| I-A|I 可得可得 d(

17、)( I-A)B( )=| I-A|I 由上式可知由上式可知,特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式| I-A|可被整除可被整除d( )。 因此設(shè)因此設(shè)d( )整除整除| I-A|得到的因式記為得到的因式記為 ( ),故有故有 | I-A|=d( ) ( ), 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(4/3) q 由于首一多項(xiàng)式由于首一多項(xiàng)式d( )的最高階次的系數(shù)為的最高階次的系數(shù)為1,所以所以 ( )的最高的最高 階次的系數(shù)也應(yīng)為階次的系數(shù)也應(yīng)為1。 因此因此,綜合上兩式綜合上兩式,可得可得 ( I-A)B( )= ( )I 因而因而 (A)=0 即即 ( )亦為亦為A的零化多項(xiàng)式。的零化多項(xiàng)式。 設(shè)設(shè) (

18、 )為為A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式,因此零化多項(xiàng)式因此零化多項(xiàng)式 ( )可寫為可寫為 ( )=g( ) ( )+e( ) 其中其中g(shù)( )和和e( )分別是多項(xiàng)式分別是多項(xiàng)式 ( )除以除以 ( )的商和余項(xiàng)的商和余項(xiàng),且且 e( )的階次低于的階次低于 ( )。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(5/3) 由于由于 (A)=0和和 (A)=0,所以必然有所以必然有e(A)=0。 考慮到考慮到 ( )為矩陣為矩陣A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式,所以不存在比所以不存在比 ( ) 階次還低的階次還低的A的零化多項(xiàng)式的零化多項(xiàng)式,故故e( )必為零必為零,即有即有 ( )=g( ) ( ) q 又

19、因?yàn)橛忠驗(yàn)?(A)=0,所以所以 ( )可寫為可寫為 ( )I=( I-A)H( ) 式中式中,H( )為為 ( )的一個(gè)因子矩陣的一個(gè)因子矩陣,故故 ( )I=g( ) ( )I=g( )( I-A)H( ) 將上式與將上式與( I-A)B( )= ( )I比較比較,有有 B( )=g( )H( ) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(6/3) q 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽( )的的n2個(gè)元素的最高公約式為個(gè)元素的最高公約式為1,因此因此 g( )=1 于是于是 ( )= ( ) 因此因此,由前面證明的由前面證明的| I-A|=d( ) ( )而證明了最小多項(xiàng)式而證明了最小多項(xiàng)式 ( )為為 )(

20、 )( d AI 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式(7/3) q 根據(jù)上述定理根據(jù)上述定理3-2,nn維矩陣維矩陣A的最小多項(xiàng)式可按以下步驟的最小多項(xiàng)式可按以下步驟 求出。求出。 1) 根據(jù)伴隨矩陣根據(jù)伴隨矩陣adj( I-A),寫出作為寫出作為 的因式分解多項(xiàng)式的的因式分解多項(xiàng)式的 adj( I-A)的各元素的各元素; 2) 確定作為伴隨矩陣確定作為伴隨矩陣adj( I-A)各元素的最高公約式各元素的最高公約式d( )。 選取選取d( )的最高階次系數(shù)為的最高階次系數(shù)為1。 如果不存在公約式如果不存在公約式,則則d( )=1; 3) 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 ( )可由可由| I-A|除以

21、除以d( )得到。得到。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(1/4) 3. 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) q 基于最小多項(xiàng)式基于最小多項(xiàng)式(或特征多項(xiàng)式或特征多項(xiàng)式),塞爾維斯特內(nèi)插法可以非常塞爾維斯特內(nèi)插法可以非常 簡潔、快速地計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù)簡潔、快速地計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù),其計(jì)算思想與過程可描其計(jì)算思想與過程可描 述如下。述如下。 q 若若 ( )= m+ 1 m-1+ m-1 + m為矩陣為矩陣A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式,則由則由 (A)=0有有 Am=- 1Am-1- m-1A- mI 即即Am可用有限項(xiàng)可用有限項(xiàng)Am-1,A,I

22、的線性組合來表示。的線性組合來表示。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(2/4) q 將上式兩邊乘以矩陣將上式兩邊乘以矩陣A,則有則有 即即Am+1可用有限項(xiàng)可用有限項(xiàng)Am-1,A,I的線性組合來表示。的線性組合來表示。 12 11 12 1111 21 12111 . . ().() mm mm m mmmm m mmm AAAA AAIAA AAI 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(3/4) 其中i(t)(i=0,1,m-1)為待定的關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。 即,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt亦可以用有限項(xiàng)A

23、m-1,A,I的線性函 數(shù)組合表示。 q 依次類推依次類推,則可知?jiǎng)t可知,Ai(im)可用有限項(xiàng)可用有限項(xiàng)Am-1,A,I的線性組合的線性組合 來表示。來表示。 因此因此,我們有我們有 1 110 22 )(.)()(. ! . ! 2 n n kk At AtAtIt k tAtA AtIe 關(guān)鍵喔 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)塞爾維斯特內(nèi)插法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)(4/4) q 利用上式去計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)利用上式去計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的關(guān)鍵是如何計(jì)算待定函的關(guān)鍵是如何計(jì)算待定函 數(shù)數(shù) i(t)。 下面分下面分 A的特征值互異 A有重特征值 兩種情況來討論如何計(jì)算兩種情況來

24、討論如何計(jì)算 i(t)以及以及eAt。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 (1) A的特征值互異 q 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A的的n個(gè)互異特征值為個(gè)互異特征值為 1, 2, n,則矩陣則矩陣A的最小多項(xiàng)的最小多項(xiàng) 式式 ( )等于特征多項(xiàng)式等于特征多項(xiàng)式f( )=| I-A|= n+a1 n-1+an-1 +an。 因系統(tǒng)的所有特征值因系統(tǒng)的所有特征值 i使特征多項(xiàng)式使特征多項(xiàng)式f( i)=0,故與前面證故與前面證 明過程類似明過程類似,我們亦有我們亦有 A的特征值互異的特征值互異(1/4) nittt niaaa n ini t nin n i n i , 1)(.)()(e , 1. 1 110 1 1 1 i 其

25、中待定函數(shù)i(t)(i=0,1,n-1)與矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式中的 i(t)一致。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A的特征值互異的特征值互異(2/4) 因此因此,可得如下待定函數(shù)可得如下待定函數(shù) i(t)(i=0,1,n-1)的線性方程組的線性方程組: t t t n n nn n n n t t t e . e e )( . )( )( .1 . .1 .1 2 1 1 1 0 1 1 22 1 11 求解上述方程得函數(shù)i(t)后,由式(3-49)可計(jì)算得矩陣指數(shù) 函數(shù)eAt。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A的特征值互異的特征值互異(3/4)-例3-7 q 例例3-7 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)試求如下

26、系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 6116 100 010 A ttt ttt ttt t t t t t t 32 32 32 3 2 1 2 1 0 ee2e e3e8e5 e2e6e6 2 1 e e e 931 421 111 )( )( )( q 解 由于矩陣A的3個(gè)特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方 程組(3-52)可得 t t t n n nn n n n t t t e . e e )( . )( )( .1 . .1 .1 2 1 1 1 0 1 1 22 1 11 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A的特征值互異的特征值互異(4/4) 則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 ttt

27、 ttt ttt tttttt tttttt tttttt At AtAtIt 32 32 32 3232 3232 3232 2 210 e9e8-e e3-e4e- ee2-e e27e32-e5e9e12-e6 e9-e16e5-e6-e12e6- e3e8-e5e2e6-e6 2 1 )()()(e 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A有重特征值有重特征值(1/4) (2) A有重特征值 q 由于矩陣由于矩陣A與它的約旦矩陣與它的約旦矩陣 具有相同的最小多項(xiàng)式具有相同的最小多項(xiàng)式 ( ),因因 此此由前面的推導(dǎo)過程可知由前面的推導(dǎo)過程可知,約旦矩陣約旦矩陣 也滿足也滿足A 設(shè)A與 的特征值i的代數(shù)重?cái)?shù)

28、為mi,則由上式很容易證明 i(t)滿足 1 011 ( )( ).( ) Atm m t It At A e i i i 1 011 2 121 1 11 e( )( ).( ) e( )2( ).(1)( ) . (1)! e(1)!( ).( ) () ii i tm imi tm imi mm mt immi i ttt tttmt m tmtt mm A A 求解上述方程求解上述方程,則可求得待定函數(shù)則可求得待定函數(shù) i(t)。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A有重特征值有重特征值(2/4) q 為清楚說明問題為清楚說明問題,設(shè)設(shè)A和和 有如下有如下6個(gè)特征值個(gè)特征值: 1, 1, 1, 2,

29、2, 3。 則相應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算式則相應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算式(3-49)中的待定函數(shù)中的待定函數(shù) i(t)(i=0, 1,5)的計(jì)算式為的計(jì)算式為 t t t t t t t t t t t t t t t 3 2 2 1 1 1 e e e ! 1 1 e e ! 1 1 e ! 2 1 1 1 ! 4 ! 5 43210 1 ! 4 ! 5 43210 ! 2 ! 3 ! 5 ! 2 ! 2 ! 4 3100 )( )( )( )( )( )( 2 1 5 3 4 3 3 3 2 33 5 2 4 2 3 2 2 22 4 2 3 2 2 22 5 1 4 1 3 1 2 11 4 1

30、 3 1 2 11 3 1 2 11 5 4 3 2 1 0 A 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A有重特征值有重特征值(3/4)例例3-8 q 值得指出的是值得指出的是,上述塞爾維斯特內(nèi)插法不僅對矩陣上述塞爾維斯特內(nèi)插法不僅對矩陣A的最小多的最小多 項(xiàng)式成立項(xiàng)式成立,而且對所有矩陣而且對所有矩陣A的零化多項(xiàng)式也成立。的零化多項(xiàng)式也成立。 因此因此,在難以求解最小多項(xiàng)式時(shí)在難以求解最小多項(xiàng)式時(shí),上述方法中的最小多項(xiàng)上述方法中的最小多項(xiàng) 式可用矩陣式可用矩陣A的特征多項(xiàng)式代替的特征多項(xiàng)式代替,所得結(jié)果一致所得結(jié)果一致,僅計(jì)算量僅計(jì)算量 稍大。稍大。 q 例例3-8 試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 010 230 002 A 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算 A有重特征值有重