概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用第二版課后答案浙江大學(xué) 2

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用第二版課后答案浙江大學(xué) 2 第1章 隨機(jī)變量及其概率1，寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：（1） 連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（2） 連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（3） 連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。（4） 拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T，則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解：（1）；（2）；（3）；（4）。2，設(shè)是兩個(gè)事件，已知，求。解：，3，在100，101，999這900個(gè)3位數(shù)中，任取一個(gè)3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個(gè)概率。解：在100，101，999這900個(gè)3位

2、數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以所求得概率為4，在僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個(gè)三位數(shù)。（1）求該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)。（1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個(gè)數(shù)為個(gè)，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為（2）該數(shù)大于330的可能個(gè)數(shù)為，所以該數(shù)大于330的概率為5，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。（2）4只中至少有2只紅球。（3）4只中沒有白球。解: （1）所求概率為；（2） 所

3、求概率為；（3）所求概率為。6，一公司向個(gè)銷售點(diǎn)分發(fā)張?zhí)嶝泦危O(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點(diǎn)是等可能的，每一銷售點(diǎn)得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解：根?jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個(gè)銷售點(diǎn)的總的可能分法有種，某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蟹N，所以某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿椤?，將3只球（13號(hào)）隨機(jī)地放入3只盒子（13號(hào)）中，一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號(hào)的盒子，稱為一個(gè)配對(duì)。（1）求3只球至少有1只配對(duì)的概率。（2）求沒有配對(duì)的概率。解：根據(jù)題意，將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：123，132，213，231，312，321；

4、沒有1只配對(duì)的放法有2種：312，231。至少有1只配對(duì)的放法當(dāng)然就有6-2=4種。所以（2）沒有配對(duì)的概率為；（1）至少有1只配對(duì)的概率為。8，（1）設(shè)，求,.（2）袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：（1）由題意可得，所以， ，。（2）設(shè)表示“第次取到白球”這一事件，而取到紅球可以用它的補(bǔ)來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為（根據(jù)乘法公式） 。9，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做

5、不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解：設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件，“另一只也是紅球”記為事件。則事件的概率為（先紅后白，先白后紅，先紅后紅）所求概率為10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人以為自己患癌癥，且確實(shí)患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥，但實(shí)際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥，但確實(shí)患了癌癥；最后40%的人以為自己未患癌癥，且確實(shí)未患癌癥。以表示事件“一病人以為自己患癌癥”，以表示事件“病人確實(shí)患了癌癥”，求下列概率。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）根據(jù)題意可得；（2）根據(jù)條件概率

6、公式：；（3）；（4）；（5）。11，在11張卡片上分別寫上engineering這11個(gè)字母，從中任意連抽6張，求依次排列結(jié)果為ginger的概率。解：根據(jù)題意，這11個(gè)字母中共有2個(gè)g，2個(gè)i，3個(gè)n，3個(gè)e，1個(gè)r。從中任意連抽6張，由獨(dú)立性，第一次必須從這11張中抽出2個(gè)g中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個(gè)i中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。12，據(jù)統(tǒng)計(jì)，對(duì)于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀A(yù)、癥狀B，有20%的人只有癥狀A(yù)，有30%的人只有癥狀B，有10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種

7、病的人群中隨機(jī)地選一人，求（1）該人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀B，求該人有兩種癥狀的概率。解：（1）根據(jù)題意，有40%的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀都沒有的概率為；（2）至少有一種癥狀的概率為；（3）已知該人有癥狀B，表明該人屬于由只有癥狀B的30%人群或者兩種癥狀都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%，所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為。13，一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10.40.999820.30.99

8、9930.10.999740.20.9996解：設(shè)“訊號(hào)通過通訊線進(jìn)入計(jì)算機(jī)系統(tǒng)”記為事件，“進(jìn)入訊號(hào)被無誤差地接受”記為事件。則根據(jù)全概率公式有 =0.9997814，一種用來檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對(duì)于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結(jié)果；而對(duì)于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會(huì)認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為他沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。解：設(shè)“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎”記為事件，“一名被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎”記為事件。根據(jù)全概率公式有，所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為即一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為沒有關(guān)節(jié)炎而實(shí)際

9、卻有關(guān)節(jié)炎的概率為17.06%.15，計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件，“程序在A,B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字”分別記為事件。則根據(jù)全概率公式有，根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，。16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。又設(shè)全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用

10、密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件，“一訊息是可信的”記為事件。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗(yàn)證A和B，B和C，C和A分別相互獨(dú)立（兩兩獨(dú)立），但A,B,C不是相互獨(dú)立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為， ；， ，。所以有，。即表明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。但是所以A,B,C不是相互獨(dú)立。18，設(shè)A,B,C三個(gè)運(yùn)動(dòng)員自離球門25碼處踢進(jìn)球的概率依次為0.5, 0.7, 0.6，設(shè)A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球

11、與否相互獨(dú)立，求（1）恰有一人進(jìn)球的概率；（2）恰有二人進(jìn)球的概率；（3）至少有一人進(jìn)球的概率。解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球”分別記為事件。（1）設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為，則 （由獨(dú)立性） （2）設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為，則 （由獨(dú)立性） （3）設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為，則。19，有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的A-RH+血才能得救。設(shè)化驗(yàn)一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗(yàn)血型的設(shè)備，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次，也就是說最遲可以第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-

12、RH+型血。問題轉(zhuǎn)化為最遲第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血的概率是多少？因?yàn)榈谝淮尉蜋z驗(yàn)出該型血的概率為0.4；第二次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.60.4=0.24；第三次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.620.4=0.144；第四次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704220，一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如圖設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。1第20題543解：設(shè)“元件能夠正常工作”記為事件。那么系統(tǒng)的可靠性為2

13、1，用一種檢驗(yàn)法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6。今獨(dú)立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注：本題較難，靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式）解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件，“對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事件。則要求的概率為，根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件，根據(jù)題意有，而且，所以；

14、故，（第1章習(xí)題解答完畢）第2章 隨機(jī)變量及其分布1，設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。解：顯然，Y是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，Y取表明第個(gè)人是A型血而前個(gè)人都不是A型血，因此有， （）上式就是隨機(jī)變量Y的分布律（這是一個(gè)幾何分布）。2，水自A處流至B處有3個(gè)閥門1，2，3，閥門聯(lián)接方式如圖所示。當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)各閥門以0.8的概率打開，以X表示當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設(shè)各閥門的工作相互獨(dú)立。解：X只能取值0，1，2。設(shè)以記第個(gè)閥門沒有打開這一事件。則，類似有，AB213,綜上所

15、述，可得分布律為 X0120.0720.5120.4163,據(jù)信有20%的美國人沒有任何健康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國人，以X表示15個(gè)人中無任何健康保險(xiǎn)的人數(shù)（設(shè)各人是否有健康保險(xiǎn)相互獨(dú)立）。問X服從什么分布？寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險(xiǎn)的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(15, 0.2)，分布律為。（1）（2）；（3）；（4）4，設(shè)有一由個(gè)元件組成的系統(tǒng)，記為，這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一系統(tǒng)，它由相互獨(dú)立的元件組成，設(shè)每個(gè)元件的可靠性

16、均為0.9，求這一系統(tǒng)的可靠性。解：對(duì)于系統(tǒng)，當(dāng)至少有3個(gè)元件正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布B(5, 0.9)，所以系統(tǒng)正常工作的概率為5，某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。（設(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立）解：根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(8000, 0.001)，所以（查表得）。6，（1）設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某港口城市的油船的只數(shù)X，求（2）已知隨機(jī)變量X，且有，求。解：（1）；（2）根據(jù)，得到。所以。7，一電話公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊

17、息的次數(shù)（設(shè)各人收到訊息與否相互獨(dú)立）。（1）求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個(gè)訊息員未收到訊息的概率。（2）求在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員恰有4人未收到訊息的概率。（3）寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個(gè)訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個(gè)訊息員收到訊息的次數(shù)。（1）；（2）設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則Y B(5, 0.1353)，所以。（3）每個(gè)人收到的訊息次數(shù)相同的概率為8，一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí)，他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至結(jié)束講解的時(shí)間。設(shè)X的概率密度為， （1）確定；（2）求；（3）求；（4）

18、求。解：（1）根據(jù)，得到；（2）；（3）；（4）。9，設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求t的方程有實(shí)根的概率。解：方程有實(shí)根表明，即，從而要求或者。因?yàn)椋?所以方程有實(shí)根的概率為0.001+0.936=0.937.10，設(shè)產(chǎn)品的壽命X（以周計(jì)）服從瑞利分布，其概率密度為（1） 求壽命不到一周的概率；（2） 求壽命超過一年的概率；（3） 已知它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。解：（1）；（2）；（3）。11，設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度X（以計(jì)）為隨機(jī)變量，其概率密度為（1） 某種化學(xué)反應(yīng)在溫度X 1時(shí)才能發(fā)生，求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率。（2） 在10個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室中，各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)

19、是否會(huì)發(fā)生時(shí)相互獨(dú)立的，以Y表示10個(gè)實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù)，求Y的分布律。（3） 求，。解：（1）；（2）根據(jù)題意，所以其分布律為（3） ，。12，（1）設(shè)隨機(jī)變量Y的概率密度為試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，。（2）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求分布函數(shù)，并求，。解：（1）根據(jù)，得到。；（2）；。13，在集合A=1,2,3,.,n中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當(dāng)n=3時(shí)X和Y的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-1)，因此，（，且）當(dāng)n取3時(shí)， ,（，且）,

20、表格形式為YX123101/61/621/601/631/61/6014,設(shè)一加油站有兩套用來加油的設(shè)備，設(shè)備A是加油站的工作人員操作的，設(shè)備B是有顧客自己操作的。A，B均有兩個(gè)加油管。隨機(jī)取一時(shí)刻，A，B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X，Y，它們的聯(lián)合分布律為YX01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1） 求，；（2） 求至少有一根軟管在使用的概率；（3） 求，。（4） 解：（1）由表直接可得=0.2，=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根軟管在使用的概率為（3）=0.1+0.2+0.3=0.615,設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)

21、合概率密度為試確定常數(shù)，并求，。解：根據(jù)，可得，所以。；。16，設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。（1） 求（X，Y）的概率密度；（2） 求邊緣概率密度。解：（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。（2）；18，設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度為，（1） 求關(guān)于的邊緣概率密度；（2） 求條件概率密度，寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度；（3） 求條件概率。解：（1）。（2）當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)。（3）。19，（1）在第14題中求在的條件下的條件分布律；在的條件下的條件分布律。（2）在16題中求條件概率密度，。解：（1）根據(jù)公式，得到在的條件下的條件分布律為0125

22、/121/31/4類似地，在的條件下的條件分布律為0124/1710/173/17（2）因?yàn)?。；。所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。20，設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。（1） 寫出（X，Y）的概率密度；（2） 求邊緣概率密度；（3） 求條件概率密度，并寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度。解：（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。（2）；。（3）當(dāng)時(shí)，。特別地，當(dāng)時(shí)的條件概率密度為。21，設(shè)是二維隨機(jī)變量，的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為，（1） 求聯(lián)合概率密度；（2） 求關(guān)于的邊緣概率密度；（3） 求在的條件下的條件概率密度。解：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)

23、，。22，（1）設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為-1 0 1 又設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都與有相同的分布律。求的聯(lián)合分布律。并求。（2）問在14題中是否相互獨(dú)立？解：（1）由相互獨(dú)立性，可得的聯(lián)合分布律為，結(jié)果寫成表格為Y1 Y2-101-101。（2）14題中，求出邊緣分布律為YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501很顯然，所以不是相互獨(dú)立。23，設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，的概率密度為試寫出的聯(lián)合概率密度，并求。解：根據(jù)題意，的概率密度為所以根據(jù)獨(dú)立定，的聯(lián)合概率密度為。24，設(shè)隨機(jī)變量具有

24、分布律-2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為1 2 5 10 1/5 7/30 1/5 11/30 25，設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，的分布函數(shù)為。則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。所以，。26，（1）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。（2）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。（3）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。則（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。所以，。（2）此時(shí)。因?yàn)椋?故， ，所以，。（3）當(dāng)時(shí)，故， 。所以，。27，設(shè)一圓的半徑X是隨機(jī)變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。解：圓面積，設(shè)

25、其概率密度和分布函數(shù)分別為。則， 故 所以，。28，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，驗(yàn)證的概率密度為。解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合概率密度為。先求分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故， 。29，設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量Y具有概率密度，設(shè)X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)?，所以的概率密度為?0隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為，X,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。解： 根據(jù)卷積公式，得，。所以的概率密度為。31，設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在(0,1)上服從均勻分布，且X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。解：因?yàn)閄,Y都在(0,1)上服從均勻分布，所以，根據(jù)卷積公式，得 。32，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它

26、們的聯(lián)合概率密度為（1） 求邊緣概率密度。（2） 求的分布函數(shù)。（3） 求概率。解：（1）；。（2）的分布函數(shù)為因?yàn)?； ，所以，。（3）。33，（1）一條繩子長為，將它隨機(jī)地分為兩段，以表示短的一段的長度，寫出的概率密度。（2）兩條繩子長度均為，將它們獨(dú)立地各自分成兩段，以表示四段繩子中最短的一段的長度，驗(yàn)證的概率密度為。解：（1）根據(jù)題意，隨機(jī)變量，所以概率密度為。（2）設(shè)這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為，則它們都在上服從均勻分布。，其分布函數(shù)為，所以密度函數(shù)為。34，設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為（1） 求的分布律。（2） 求的分布律。（3） 求的分布律。YX01201/12

27、1/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：（1）的分布律為如，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）的分布律為如，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0 1 27/40 13/40 （3）的分布律為如，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 （第2章習(xí)題解答完畢）第3章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1，解：根據(jù)題意，有1/5的可能性取到5個(gè)單詞中的任意一個(gè)。它們的字母數(shù)分別為4，5，6，7，7。所以分布律為4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 .2，解：個(gè)單詞字母數(shù)還是，

28、。這時(shí)，字母數(shù)更多的單詞更有可能被取到。分布律為4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 .3，解：根據(jù)古典概率公式，取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)分別為0，1，2臺(tái)的概率分別為， ， 。所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。4，解：根據(jù)題意，有1/6的概率得分超過6，而且得分為7的概率為兩個(gè)1/6的乘積（第一次6點(diǎn)，第2次1點(diǎn)），其余類似；有5/6的概率得分小于6。分布律為1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 得分的數(shù)學(xué)期望為 。5，解：（1）根據(jù)，可得，因此計(jì)算得到，即。所以=6。（2）根據(jù)題意，按照數(shù)學(xué)期望的公式可得，因此期望存在。（利用了）（不符書上答案）

29、6，解：（1）一天的平均耗水量為 （百萬升）。（2）這種動(dòng)物的平均壽命為（年）。7，解：=1/4。8，解：。9，解：。（對(duì)第一個(gè)積分進(jìn)行變量代換）10， 解： 。（不符書上答案）11，解：R的概率密度函數(shù)為，所以。12，解：（不符書上答案）13，解：因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為，所以可以求出的分布函數(shù)為， 。的密度函數(shù)為，。所以的數(shù)學(xué)期望為，。14，解：求出邊緣分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281， ，。15，解：，。16，解：，。17，解：根據(jù)題意，可得利潤的分布律為2000 1000 0 -1000

30、-2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1因此，（元）。18解， ，。（本題積分利用了，這個(gè)結(jié)果可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)中得到）19，解：， ，所以，。本題利用了冪級(jí)數(shù)求和中先積分再求導(dǎo)的方法。設(shè)，則，所以。類似的，設(shè)，則經(jīng)過兩次積分以后可得到，在經(jīng)過兩次求導(dǎo)得到。20，解：（1）當(dāng)時(shí)，。（2）當(dāng)時(shí)，即不存在。（3），當(dāng)時(shí)，所以，。（4）當(dāng)時(shí)，所以不存在。21，解：（1）根據(jù)14題中結(jié)果，得到；因?yàn)椋?，所以， 。（2）根據(jù)16題結(jié)果可得：；因?yàn)?，所以，。（3）在第2章14題中，由以下結(jié)果YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.0

31、60.300.380.160.340.501得到，所以，；，,.22，解：根據(jù)題意有 。 。23，解：（1）因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以 。（2）根據(jù)題意，可得，。 。24，解：因?yàn)?，所以，即，驗(yàn)證了X,Y不相關(guān)。又因?yàn)?，；，顯然，所以驗(yàn)證了X,Y不是相互獨(dú)立的。25，解：引入隨機(jī)變量定義如下則總的配對(duì)數(shù)，而且因?yàn)椋?，。故所以，。?章 正態(tài)分布1，（1）設(shè)，求，；（2）設(shè)，且，求。解：（1），（2），所以；，所以，即。2，設(shè)，求，。解：因?yàn)椋浴?，（1）設(shè)，試確定，使得。（2）設(shè)，試確定，使得。解：（1）因?yàn)樗缘玫?即，。（2）因?yàn)椋?，即，從而，?，已知美國新生兒的體重（以g計(jì)）。（

32、1） 求；（2） 在新生兒中獨(dú)立地選25個(gè)，以Y表示25個(gè)新生兒的體重小于2719的個(gè)數(shù)，求。解：根據(jù)題意可得。（1） （或0.8673） （2），根據(jù)題意，所以。5，設(shè)洗衣機(jī)的壽命（以年計(jì)），一洗衣機(jī)已使用了5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解：所要求的概率為6，一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為12歐的電阻器，而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值（以歐計(jì)）服從均值為11.9歐，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2歐的正態(tài)分布。求（1）兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之間的概率；（2）至少有一只電阻器大于12.4歐的概率（設(shè)兩電阻器的電阻值相互獨(dú)立）解：設(shè)兩個(gè)電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量則，（1） ；（2）至少有一只

33、電阻器大于12.4歐的概率為 。7，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從均值，均方差為的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解：根據(jù)題意，。所以有，即，從而。故允許最大不超過31.25。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度（以計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且，（1） 若，求小于89的概率；（2） 若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問至少為多少？解：因?yàn)椋浴＃?）；（2）若要求，那么就有，即或者，從而，最后得到，即至少應(yīng)為81.163。9，設(shè)相互獨(dú)立，且服從數(shù)學(xué)期望為150，方差為9的正態(tài)分布，服從數(shù)學(xué)期望為100，方差為16的正態(tài)分布。（1）

34、 求，的分布；（2） 求，。解：根據(jù)題意。（1） 根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書101頁定理2）的性質(zhì)，立刻得到， ， （2） 因?yàn)?，所以 ，。因此， 10，（1）某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑（以mm計(jì)），墊圈直徑（以mm計(jì)），相互獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。（2）在（1）中若，問控制至多為多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。解：（1）根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概率為。（2），所以若要控制，即要求，計(jì)算可得。表明至多為0.3348才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。11,設(shè)某地區(qū)女子的身高（以m計(jì)），男子身高（以m計(jì)）。設(shè)各人身高

35、相互獨(dú)立。（1）在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子，求這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率。解：（1）因?yàn)?，所以；?）隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于1.60的概率為，隨機(jī)選擇的5名女子，身高大于1.60的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以至少有4名的身高大于1.60的概率為（3）設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量，。則，所以這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率為12，（1）設(shè)隨機(jī)變量，已知，求和；（2）相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求。解：（1）由，得到；，得到；聯(lián)立和，計(jì)算得

36、到。（2）由相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到。故所以13，一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料，容器的重量為30g，灌裝時(shí)將容器放在臺(tái)秤上，將飲料注入直到秤上刻度指到時(shí)結(jié)束。以記容器中飲料的重量。設(shè)臺(tái)秤的誤差為，以g計(jì)。（此處約定臺(tái)秤顯示值大于真值時(shí)誤差為正）（1）寫出的關(guān)系式；（2）求的分布；（3）確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95。解：（1）根據(jù)題意有關(guān)系式或者；（2）因?yàn)?，所以；?）要使得，即要，所以要求，即，。所以，要使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95，至少為492.4g。14,在上題中若容器的重量也是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)相互獨(dú)立。（1）求的分布；（2）確定使

37、容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.90。解：（1）此時(shí)，根據(jù)，可得。（2），可得 ，即 。15，某種電子元件的壽命（以年計(jì)）服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量，。則，。根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理可得16，以記100袋額定重量為25（kg）的袋裝肥料的真實(shí)的凈重，服從同一分布，且相互獨(dú)立。，求的近似值。解：根據(jù)題意可得。由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得 17，有400個(gè)數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù)，其末位為10-7。設(shè)舍入誤差相互獨(dú)立，且在區(qū)間

38、服從均勻分布。求誤差總和的絕對(duì)值小于的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）解：以記這400個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差，。則。利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得 18，據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的電話機(jī)，（1）若在該地區(qū)安裝1000部電話機(jī)，記需要安裝白色電話機(jī)的部數(shù)為，求，；（2）問至少需要安裝多少部電話，才能使其中含有白色電話機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95。解：（1）根據(jù)題意，且。由De Moivre-Laplace定理，計(jì)算得 ；。（2）設(shè)要安裝部電話。則要使得就要求，即，從而，解出或者（舍去）。所以最少要安裝305部電話。19，一射手射擊一次的得分是一

39、個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律8 9 10 0.01 0.29 0.70（1） 求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。（2） 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意，。（1）以分別記10次射擊的得分，則（2）設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量，則。由De Moivre-Laplace定理，計(jì)算得。（第4章習(xí)題解答完畢） 第六章參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體未知，是來自的樣本。求的矩估計(jì)量。今測得一個(gè)樣本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w，所以總體矩。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應(yīng)的樣

40、本矩：，得到的矩估計(jì)量為。把樣本值代入得到的矩估計(jì)值為。2，設(shè)總體具有概率密度，參數(shù)未知，是來自的樣本，求的矩估計(jì)量。解：總體的數(shù)學(xué)期望為，令可得的矩估計(jì)量為。3，設(shè)總體參數(shù)未知，是來自的樣本，求的矩估計(jì)量（對(duì)于具體樣本值，若求得的不是整數(shù)，則取與最接近的整數(shù)作為的估計(jì)值）。解：總體的數(shù)學(xué)期望為 ， 二階原點(diǎn)矩為。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到，。4，（1）設(shè)總體未知，是來自的樣本，是相應(yīng)的樣本值。求的矩估計(jì)量，求的最大似然估計(jì)值。（2）元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)，下面是的一個(gè)樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估計(jì)值。解：（1）因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期

41、望為，所以矩估計(jì)量為。似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。5，（1）設(shè)服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為。參數(shù)未知。設(shè)是一個(gè)樣本值，求的最大似然估計(jì)值。（2）一個(gè)運(yùn)動(dòng)員，投籃的命中率為，以表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到的觀察值為5 1 7 4 9求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。6，（1）設(shè)總體，參數(shù)已知， 未知，是來自一個(gè)樣本值。求的最大似然

42、估計(jì)值。（2）設(shè)總體，參數(shù)已知，（0）未知，為一相應(yīng)的樣本值。求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（2）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。7，設(shè)是總體的一個(gè)樣本，為一相應(yīng)的樣本值。（1） 總體的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的最大似然估計(jì)量和估計(jì)值。（2） 總體的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。（3） 設(shè)已知，未知，求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。相應(yīng)的最大

43、似然估計(jì)量為。（2）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（3）因?yàn)槠浞植悸蔀樗裕迫缓瘮?shù)為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。8，設(shè)總體具有分布律1 2 3 其中參數(shù)未知。已知取得樣本值，試求的最大似然估計(jì)值。解：根據(jù)題意，可寫出似然函數(shù)為，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。9，設(shè)總體，未知，已知，和分別是總體和的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求最大似然估計(jì)量。解：根據(jù)題意，寫出對(duì)應(yīng)于總體和的似然函數(shù)分別為 ，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 ， ，令對(duì)數(shù)似然函

44、數(shù)分別對(duì)和的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到，算出最大似然估計(jì)量分別為，。10，（1）驗(yàn)證均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無偏估計(jì)量。（2）設(shè)某種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù)，設(shè)是來自總體的樣本。驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為，求。（3）驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。解：（1）均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量為。由于，所以是的無偏估計(jì)量。（2）因?yàn)?，所以是的無偏估計(jì)量。（3）因?yàn)?，所以，是的無偏估計(jì)量。11，已知是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知。設(shè)有估計(jì)量， ，。 （1） 指出中哪幾個(gè)是的無偏估計(jì)量。（2） 在上述的無偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解：（1）因?yàn)?，。所以，是的無偏估計(jì)量。（2）根據(jù)

45、簡單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出，所以，是比更有效的無偏估計(jì)量。12，以X表示某一工廠制造的某種器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），設(shè)，今取得一容量為的樣本，測得其樣本均值為，求（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間，（2）的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，的置信水平為的置信區(qū)間為。（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。（2）的置信水平為0.90的置信區(qū)間為。13，以X表示某種小包裝糖果的重量（以g計(jì)），設(shè)，今取得樣本（容量為）：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.3

46、0, 52.57, 58.46（1） 求的最大似然估計(jì)值。（2） 求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：（1）根據(jù)已知結(jié)論，正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量相同：。所以的最大似然估計(jì)值為。（2）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。14，一農(nóng)場種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從30車葡萄中采樣測得的糖含量（以某種單位計(jì)）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。（1） 求的無偏估計(jì)值。（2） 求的置信水平為90%的置信區(qū)間。解：（1）的無偏估計(jì)值為， 。（