第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo)

1、第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 對(duì)流傳熱方程推導(dǎo) 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 1 1 連續(xù)方程連續(xù)方程 控制體內(nèi)部質(zhì)量控制體內(nèi)部質(zhì)量 隨時(shí)間的變化率隨時(shí)間的變化率 單位時(shí)間內(nèi)流出控制單位時(shí)間內(nèi)流出控制 體容積表面的質(zhì)量體容積表面的質(zhì)量 單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)控制單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)控制 體容積表面的質(zhì)量體容積表面的質(zhì)量 控制體內(nèi)部質(zhì)量控制體內(nèi)部質(zhì)量 源和匯的凈和源和匯的凈和 質(zhì)量守恒法則：質(zhì)量守恒法則： 控制體內(nèi)部質(zhì)量控制體內(nèi)部質(zhì)量 隨時(shí)間的變化率隨時(shí)間的變化率 單位時(shí)間內(nèi)凈流出控單位時(shí)間內(nèi)凈流出控 制體容積表面的質(zhì)量制體容積表面的質(zhì)量 控制體內(nèi)部質(zhì)量控制體內(nèi)部質(zhì)量 源和匯的凈和源和匯的凈和 0 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo)

2、 1.1 x方向凈流出質(zhì)量方向凈流出質(zhì)量 dxdydz x u udydzdxudydz x udydz y x z dydxdzv y vdxdz udydz dxudydz x udydz vdxdz 控制容積質(zhì)量守恒控制容積質(zhì)量守恒 dx dz 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 1.2 y方向凈流出質(zhì)量方向凈流出質(zhì)量 dxdydz y v vdxdzdyvdxdz y vdxdz 1.3 z方向凈流出質(zhì)量方向凈流出質(zhì)量 1.3 流體質(zhì)量對(duì)時(shí)間的變化率流體質(zhì)量對(duì)時(shí)間的變化率 dxdydz dxdydz z w wdydxdxwdydx z wdydx 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 0 dxdydz z w

3、 y v x u dxdydz 1.4 不存在質(zhì)量源和匯的情況的質(zhì)量守恒方程不存在質(zhì)量源和匯的情況的質(zhì)量守恒方程 0 z w y v x u 三維非穩(wěn)態(tài)可壓縮流的質(zhì)量守恒方程三維非穩(wěn)態(tài)可壓縮流的質(zhì)量守恒方程 適用于單組分流體適用于單組分流體 適用有組分?jǐn)U散的混合物適用有組分?jǐn)U散的混合物 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 1.5 其它形式其它形式 0 z w y v x u D D 0 i i x u 0 i i x u D D 張量表示張量表示 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù) 0 z w y v x u 密度為常量密度為常量 0 i i x u 0divV 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 2 2 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 控制容積內(nèi)的流

4、體在控制容積內(nèi)的流體在 i 方向方向 動(dòng)量隨時(shí)間的變化率動(dòng)量隨時(shí)間的變化率 單位時(shí)間內(nèi)流入控制單位時(shí)間內(nèi)流入控制 容積的容積的 i 方向動(dòng)量方向動(dòng)量 單位時(shí)間內(nèi)流出控制單位時(shí)間內(nèi)流出控制 容積的容積的 i 方向動(dòng)量方向動(dòng)量 作用于控制容積內(nèi)流作用于控制容積內(nèi)流 體在體在 i 方向力的總和方向力的總和 動(dòng)量守恒法則動(dòng)量守恒法則 控制容積內(nèi)的流體在控制容積內(nèi)的流體在 i 方向方向 動(dòng)量隨時(shí)間的變化率動(dòng)量隨時(shí)間的變化率 單位時(shí)間內(nèi)凈流出控單位時(shí)間內(nèi)凈流出控 制容積的制容積的 i 方向動(dòng)量方向動(dòng)量 作用于控制容積內(nèi)流作用于控制容積內(nèi)流 體在體在 i 方向力的總和方向力的總和 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 流

5、入流出流入流出 控制容積控制容積 的的x方向方向 動(dòng)量動(dòng)量 y x z dydxdzuv y uvdxdz dydzu 2 dxdydzu x dydzu 22 uvdxdz dx dz uwdxdy dydxdzuw z uwdxdy （1）x方向流出控制容積東、西面的凈動(dòng)量方向流出控制容積東、西面的凈動(dòng)量 dxdydz x u dydzudxdydzu x dydzu 2 222 2.1 x方向動(dòng)量方程方向動(dòng)量方程 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （2）x方向流出控制容積上、下面的凈動(dòng)量方向流出控制容積上、下面的凈動(dòng)量 dydxdzuv y uvdxdzdydxdzuv y uvdxdz （3）x

6、方向流出控制容積前、后面的凈動(dòng)量方向流出控制容積前、后面的凈動(dòng)量 dydxdzuw z uwdxdydydxdzuw z uwdxdy （4）流體在）流體在x方向的動(dòng)量隨時(shí)間的變化率方向的動(dòng)量隨時(shí)間的變化率 dxdydz u 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 作用在控制體的力作用在控制體的力 與面積成正比的表面力與面積成正比的表面力 與容積成正比的體積力與容積成正比的體積力 xx xz xy yx yy yz zz zy zx y x z 控制體表面應(yīng)力分布控制體表面應(yīng)力分布 zzzz yyyy xxxx p p p 考慮表面對(duì)稱性，考慮表面對(duì)稱性， 共有九個(gè)應(yīng)力分量共有九個(gè)應(yīng)力分量 第二章對(duì)流換熱方程

7、推導(dǎo) 1）控制容積在）控制容積在x方向受到的表面力方向受到的表面力 dydz xx xy dxdz yx dxdy zx y x z dxdydz x dydz xx xx dzdxdy z dxdy zx zx dydxdz y dxdz yx yx x方向受到的凈表面力方向受到的凈表面力 zyx zx yx xx （5）作用在控制體）作用在控制體x方向的力方向的力 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 重力重力 離心力離心力 磁場(chǎng)力磁場(chǎng)力 電場(chǎng)力電場(chǎng)力 zz yy xx gB gB gB 體積力僅為重力時(shí)體積力僅為重力時(shí) （6）控制容積體積力）控制容積體積力 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （7）x方向的動(dòng)量守

8、恒方程方向的動(dòng)量守恒方程 x zx yx xx B zyxz uw y uv x uu 2 x zx yx xx B zyxz u w y u v x u u u 0 z w y v x u D D 依據(jù)牛頓第二定律依據(jù)牛頓第二定律 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 2.2 y、z方向動(dòng)量方程方向動(dòng)量方程 y zyyyxy B zyxz v w y v v x v u v z zz yz xz B zyxz w w y w v x w u w 2.3 張量形式張量形式 i j ji i B xD Du 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 2.5 NavierStokes方程的推導(dǎo)方程的推導(dǎo) (1) 牛頓流體牛頓流體

9、 賓厄姆（如牙膏） 、流沙）脹流型（如淀粉水溶液 非牛頓流體 間存在簡(jiǎn)單的線性關(guān)系牛頓流體：應(yīng)力與應(yīng)變 流體 x v y u yxxy x w z u xzzx y w z v zyyz z w y v x u z w p z w y v x u y v p z w y v x u x u p zz yy xx 2 2 2 :粘性系數(shù) 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （1）張量表示）張量表示 i i ij i j j i ijij x u x u x u p 3 2 zyxji ji ji ij , 1 0 若流體密度為常數(shù)若流體密度為常數(shù) i j j i ijij x u x u p 第二章對(duì)流換熱

10、方程推導(dǎo) （2）NavierStokes方程方程 x B z u x w zx v y u y divV x u xx p D Du 3 2 2 y B y w z v z divV y v yx v y u xy p D Dv 3 2 2 z BdivV z w zy w z v yz u x w xz p D Dw 3 2 2 NavierStokes方程: 引入應(yīng)力與速度的關(guān)系式的動(dòng)量方程。 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （3） 為常數(shù)的為常數(shù)的NavierStokes方程方程 x B x divu z u y u x u x p D Du 3 1 2 2 2 2 2 2 y B y divv

11、 z v y v x v y p D Dv 3 1 2 2 2 2 2 2 z B z divw z w y w x w z p D Dw 3 1 2 2 2 2 2 2 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （4） ， 為常數(shù)的為常數(shù)的NavierStokes方程方程 x B z u y u x u x p D Du 2 2 2 2 2 2 y B z v y v x v y p D Dv 2 2 2 2 2 2 z B z w y w x w z p D Dw 2 2 2 2 2 2 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) (5) 工程中的不可壓縮流體工程中的不可壓縮流體 Tpf, dp p dT T d T p ,

12、0, 0 T p pT 一般而言一般而言 足夠小足夠小ddpdT, 視為不可壓縮流體視為不可壓縮流體 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 3 3 能量方程能量方程 控制容積的能量守恒法則控制容積的能量守恒法則 單位時(shí)間控制容積內(nèi)的單位時(shí)間控制容積內(nèi)的 流體與外界的凈換熱量流體與外界的凈換熱量 單位時(shí)間控制容積內(nèi)的流單位時(shí)間控制容積內(nèi)的流 體與外界的凈功量交換體與外界的凈功量交換 單位時(shí)間控制容積內(nèi)單位時(shí)間控制容積內(nèi) 流體能量的變化流體能量的變化 Q W E 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （1）凈換熱量）凈換熱量 Q SourceRadiationfluxConduction QQQQQ 凈導(dǎo)熱量?jī)魧?dǎo)熱量 凈輻射

13、換熱量?jī)糨椛鋼Q熱量 凈熱對(duì)流量?jī)魺釋?duì)流量 內(nèi)熱源內(nèi)熱源 Q 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) dxdydz x T k x Q ii Conduction 1）凈導(dǎo)熱量）凈導(dǎo)熱量 dxdydzSQSource dxdydzqQ RRadiation 2）凈輻射換熱量）凈輻射換熱量 3）內(nèi)熱源）內(nèi)熱源 （1）凈換熱量）凈換熱量 Q 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 4）對(duì)流方式與外界的凈換熱量）對(duì)流方式與外界的凈換熱量 Convection Q dxdydzeu x eudydzdxeudydz x eudydz x方向的凈流入能量方向的凈流入能量 dxdydzew z ev y eu x QConvection

14、x, y, z方向的凈流入能量方向的凈流入能量 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) E （2）能量的變化）能量的變化 edxdydzE 磁場(chǎng)能 動(dòng)能 內(nèi)能 e 2 222 wvu Ue 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) （3）凈功量）凈功量 W 表面應(yīng)力做功表面應(yīng)力做功 體積力做功體積力做功 dxdydz z w y w x w dxdydz z v y v x v dxdydz z u y u x u W zz yz xz zyyyxy zx yx xx Surface 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) dxdydz z w z v z u y w y v y u x w x v x u dxdydz zyx w zyx

15、v zyx u W xzzyzxyzyyyxxzxyxx zz yz xz zyyyxy zx yx xx Surface 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) D Du u g D Dv v D Dw w gy wvu D D gy D D D w D D v D D u D 2 222 222 222 前九項(xiàng)為前九項(xiàng)為 dxdydz zyx w zyx v zyx u zz yz xz zyyyxy zx yx xx x zx yx xx B zyxz u w y u v x u u u 第二章對(duì)流換熱方程推導(dǎo) 后九項(xiàng)：后九項(xiàng)： Vpdiv 粘性耗散粘性耗散 Vpdiv 膨脹或壓縮功膨脹或壓縮功 克服由于變形產(chǎn)生的粘性應(yīng)力做的功，轉(zhuǎn)變?yōu)闊岬男问??？朔捎谧冃萎a(chǎn)生的粘性應(yīng)力做的功，轉(zhuǎn)變?yōu)闊岬男问健?2 2 22 222 div 2 V z u x w z v y w y u x v x z x v x u 法向應(yīng)力法向應(yīng)力 切向應(yīng)力切