排列組合解題技巧__課件

1、 解排列問(wèn)題的常用技巧解排列問(wèn)題的常用技巧 解排列問(wèn)題，首先必須認(rèn)真審題，明確問(wèn)解排列問(wèn)題，首先必須認(rèn)真審題，明確問(wèn) 題是否是排列問(wèn)題，其次是抓住問(wèn)題的本質(zhì)題是否是排列問(wèn)題，其次是抓住問(wèn)題的本質(zhì) 特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解 答，同時(shí)，還要注意講究一些基本策略和方答，同時(shí)，還要注意講究一些基本策略和方 法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。 下面就不同的題型介紹幾種常用的解題下面就不同的題型介紹幾種常用的解題 技巧。技巧。 總的原則總的原則合理分類和準(zhǔn)確分步合理分類和準(zhǔn)確分步 解排列（或）組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的

2、性質(zhì)進(jìn)行 分類，事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明 確，分步層次清楚，不重不漏。 解法解法1 分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類：分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類： 根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有 例例1 6個(gè)同學(xué)和個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相，個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)個(gè) 老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排 尾，共有多少種不同的排法？尾，共有多少種不同的排法？ 1）若甲在排尾）若甲在排尾 ， 則剩下的則剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 種方法種方法. 5 5 A 2)

3、 若甲在第若甲在第2、3、6、7位，則位，則排尾的排法有排尾的排法有 種，乙位的排法種，乙位的排法 有有 種種, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 種種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù) 原理，不同的站法有原理，不同的站法有 種。種。 1 4 A 1 4 A 4 4 A 4 4 1 4 1 4 AAA 再安排老師，有再安排老師，有2種方法。種方法。 .(1008)(2 4 4 1 4 1 4 5 5 種）AAAA解法解法2 見(jiàn)見(jiàn)幻燈片幻燈片 10 （1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字 的五位偶數(shù)？的五位偶數(shù)？ 個(gè)位數(shù)為零：個(gè)位數(shù)為零： 個(gè)位數(shù)為個(gè)位數(shù)為2或或

4、4： 4 5 A 3 4 1 4 1 2 AAA 3 4 1 4 1 2 4 5 AAAA 所以所以 練練 習(xí)習(xí) 1 （2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù) 字且能被五整除的五位數(shù)？字且能被五整除的五位數(shù)？ 分類：后兩位數(shù)字為分類：后兩位數(shù)字為5或或0： 個(gè)位數(shù)為個(gè)位數(shù)為0： 4 5 A 個(gè)位數(shù)為個(gè)位數(shù)為5： 216 3 4 1 4 4 5 AAA 3 4 1 4 AA （3）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù) 字且大于字且大于31250的五位數(shù)？的五位數(shù)？ 分類：分類： （4）31250是由是由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)組成的

5、無(wú)重復(fù) 數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？ 3251 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 AAAAAA 275325 4 5 1 5 AA 275122 1 2 2 3 3 4 4 5 AAAA 方法一：（排除法）方法一：（排除法） 方法二：（直接法方法二：（直接法） （一）特殊元素的（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法優(yōu)先安排法” 對(duì)于特殊元素的排列組合問(wèn)題，一般應(yīng)先考慮特殊元對(duì)于特殊元素的排列組合問(wèn)題，一般應(yīng)先考慮特殊元 素，再考慮其它元素。素，再考慮其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 的三位數(shù)，

6、其中偶數(shù)共有（的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，應(yīng)優(yōu)元素，應(yīng)優(yōu) 先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；排在末尾和不排在末尾分為兩類； 1) 0排在末尾時(shí)，有排在末尾時(shí)，有 個(gè)；個(gè)； 2) 0不排在末尾時(shí)，先用偶數(shù)排個(gè)位，再排百位，最后排不排在末尾時(shí)，先用偶數(shù)排個(gè)位，再排百位，最后排 十位有十位有 個(gè)；個(gè)； 由分類計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)由分類計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù) 30 個(gè)

7、個(gè). 2 A4 111 233A A A B 解題技巧解題技巧 （1）0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重 復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 4 5 1 5 AA （2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù) 字的五位奇數(shù)？字的五位奇數(shù)？ 3 4 1 4 1 3 AAA 練練 習(xí)習(xí) 2 例例3 用用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)，其中數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個(gè)位的數(shù)共有不在個(gè)位的數(shù)共有_種。種。 （二）總體淘汰法（二）總體淘汰法(間接法）間接法） 對(duì)于含有否定詞語(yǔ)的問(wèn)題，還可以從總體中把

8、不 符合要求的減去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減又不能少減。 3 5 A 分析分析：五個(gè)數(shù)組成三位數(shù)的全排列有五個(gè)數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個(gè)，個(gè)，0排在首位的排在首位的 有有 個(gè)個(gè) ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為法數(shù)，再加回百位為0同時(shí)個(gè)位為同時(shí)個(gè)位為1的排列數(shù)的排列數(shù) （為什么？）（為什么？） 故共有故共有 種。種。 2 4 A 2 4 A 3 5 A 1 3 A 392 1 3 2 4 3 5 AAA 2 4 A 2 4 A 1 3 A 種排法。 各不能排某位，則有 、個(gè)位，個(gè)不同元素排若 2 2 1 1 2 m n m n m

9、n AAA b amn （1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，甲不）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，甲不 在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？ 5 5 6 6 7 7 2AAA （2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭， 乙不站第二個(gè)位置，那么不同的站法有（乙不站第二個(gè)位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72 782 3 3 4 4 5 5 AAA間接 4113 4333 78 AA A A 種直接 練練 習(xí)習(xí) 3 （3）0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字這六個(gè)數(shù)字可組成多少

10、個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字 且個(gè)位數(shù)字不是且個(gè)位數(shù)字不是4的五位數(shù)？的五位數(shù)？ 個(gè)）(2 3 4 4 5 5 6 AAA 種）(1008) ! 4! 52! 6(2 （4）用）用間接法解例間接法解例1“6個(gè)同學(xué)和個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排個(gè)老師排成一排 照相，照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不 站排尾，共有多少種不同的排法？站排尾，共有多少種不同的排法？” 一 （三）相鄰問(wèn)題（三）相鄰問(wèn)題捆綁法捆綁法 對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問(wèn)題，可先將相對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問(wèn)題，可先將相 鄰的元素鄰的元素“捆綁捆綁”在一起，看作一個(gè)在一起，看作一個(gè)“大大”的元

11、的元 （組），與其它元素排列，然后再對(duì)相鄰的元素（組）（組），與其它元素排列，然后再對(duì)相鄰的元素（組） 內(nèi)部進(jìn)行排列。內(nèi)部進(jìn)行排列。 例例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰， 分別有多少種站法？分別有多少種站法？ 分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個(gè)元素，分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個(gè)元素， 與其余與其余4人共有人共有5個(gè)元素做全排列，有個(gè)元素做全排列，有 種排法，然后種排法，然后 對(duì)甲，乙，丙三人進(jìn)行全排列。對(duì)甲，乙，丙三人進(jìn)行全排列。 5 5A 由分步計(jì)數(shù)原理可得：由分步計(jì)數(shù)原理可得： 種不同排法。種不同排法。 53 53

12、A A （四）不相鄰問(wèn)題（四）不相鄰問(wèn)題插空法插空法 對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問(wèn)題，可先將其它對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰得排列問(wèn)題，可先將其它 元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素 之間及兩端的空隙之間插入即可。之間及兩端的空隙之間插入即可。 例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰， 分別有多少種站法？分別有多少種站法？ 分析：可先讓其余分析：可先讓其余4人站好，共有人站好，共有 種排法，再在種排法，再在 這這4人之間及兩端的人之間及兩端的5個(gè)個(gè)“空隙空隙”中選三個(gè)位置讓甲、中選三個(gè)位置讓甲、

13、 乙、丙插入，則有乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有種方法，這樣共有 種不種不 同的排法。同的排法。 4 4A 3 5A 3 5 4 4 AA （1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女 生各站一起，有幾種不同方法？生各站一起，有幾種不同方法？ 2三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生之間、男生之間、 女生之間不相鄰，有幾種不同排法？女生之間不相鄰，有幾種不同排法？ 捆綁法：捆綁法： 4 4 3 3 2 2 AAA 4 4 3 3 AA 插空法：插空法： 3如果有兩個(gè)男生、四個(gè)女生排成一排，要如果有兩個(gè)男生、四個(gè)女生排成一排，要 求男

14、求男 生之間不相鄰，有幾種不同排法？生之間不相鄰，有幾種不同排法？ 2 5 4 4 AA 插空法：插空法： 練練 習(xí)習(xí) 4 例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等， 將將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高 排列，有多少種排法？排列，有多少種排法？ （五）順序固定問(wèn)題用（五）順序固定問(wèn)題用“除法除法” 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先將對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先將 這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的 排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列

15、數(shù)排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù). 所以共有所以共有 種。種。 4 7 3 3 7 7 A A A 分析：先在分析：先在7個(gè)位置上作全排列，有個(gè)位置上作全排列，有 種排法。其中種排法。其中 3個(gè)女生因要求個(gè)女生因要求“從矮到高從矮到高”排，只有一種順序故排，只有一種順序故 只只 對(duì)應(yīng)一種排法，對(duì)應(yīng)一種排法， 3 3 A 7 7 A （1） 五人排隊(duì)，甲在乙前面的排法有幾種？五人排隊(duì)，甲在乙前面的排法有幾種？ 練練 習(xí)習(xí) 5 2三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，其中三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙 三人的順序不變，有幾種不同排法？三人的順序不變，有幾種不同排法？ 4 7 3 3 7

16、 7 A A A 分析：若不考慮限制條件，則有分析：若不考慮限制條件，則有 種排法，而甲，種排法，而甲， 乙之間排法有乙之間排法有 種，故甲在乙前面的排法只有一種種，故甲在乙前面的排法只有一種 符合條件，故符合條件，故 符合條件的排法有符合條件的排法有 種種. 5 5A 2 2A 5 5 2 2 A A 3 5 A即 （六）分排問(wèn)題用（六）分排問(wèn)題用“直排法直排法” 把把n個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，若沒(méi)有其他個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，若沒(méi)有其他 的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理. 例例7 七人坐兩排座位，第一排坐七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二

17、排坐人，第二排坐 4人，則有多少種不同的坐法？人，則有多少種不同的坐法？ 分析：分析：7個(gè)人，可以在前后排隨意就坐，再無(wú)個(gè)人，可以在前后排隨意就坐，再無(wú) 其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以 不同的坐法有不同的坐法有 種種. 7 7A （1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成兩排，前排三人、）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成兩排，前排三人、 后排四人，有幾種不同排法？后排四人，有幾種不同排法？ 或：七個(gè)人可以在前后兩排隨意就坐，再無(wú)其他條件，或：七個(gè)人可以在前后兩排隨意就坐，再無(wú)其他條件， 所以所以 兩排可看作一排來(lái)處理兩排可看作一排來(lái)處理 不同的坐法有不同的坐法有 種種

18、 7 7 A 7 7 4 4 3 7 AAA （2）八個(gè)人排成兩排，有幾種不同排法？八個(gè)人排成兩排，有幾種不同排法？ 8 8 7 A 練練 習(xí)習(xí) 6 （七）實(shí)驗(yàn)法（七）實(shí)驗(yàn)法 題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐 步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。 例例8 將數(shù)字將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的的 四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào) 與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ） A.6 B.9 C.11 D.2

19、3 分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難， 可用實(shí)驗(yàn)法逐步解決?？捎脤?shí)驗(yàn)法逐步解決。 第一方格內(nèi)可填第一方格內(nèi)可填2或或3或或4。如填。如填2，則第二方格中內(nèi)可填，則第二方格中內(nèi)可填1或或3或或4。 若第二方格內(nèi)填若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填，第四方格應(yīng)填3。 若第二方格內(nèi)填若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填，第四方格應(yīng)填1。 同理，若第二方格內(nèi)填同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填，則第三方格只能填1，第四方格應(yīng)，第四方格應(yīng) 填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3種方法。種方法。 不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉畈浑y得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?或或4時(shí)也各有時(shí)也各有3種，所以共有種，所以共有9種。種。 （八）住店法（八）住店法 解決解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù) 的元素看作的元素