實(shí)變函數(shù)論課件剖析

1、實(shí)變函數(shù)論課件剖析 目的：熟悉左、右導(dǎo)數(shù)的概念，理解 為什么單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù)。 重點(diǎn)與難點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性及其 證明。 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 基本內(nèi)容： 一導(dǎo)數(shù)定義 問(wèn)題問(wèn)題1 1：回憶微積分中導(dǎo)數(shù)的定義，：回憶微積分中導(dǎo)數(shù)的定義， 如何判斷導(dǎo)數(shù)是否存在？如何判斷導(dǎo)數(shù)是否存在？ 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 從數(shù)學(xué)分析知道， 上的函數(shù) 在 處的可導(dǎo)性等價(jià)于 這也是我們討論函數(shù)可導(dǎo)性的一個(gè)常用 的方法。因此，我們也給上面的左、右 極限一個(gè)名稱，這就是 ,ba)(xfy , 0 bax . )()( lim )()( lim 00 0 00 0 h xfhxf h xfhxf hh 實(shí)變函數(shù)論課件

2、剖析 左下、左上、右下、右上導(dǎo)數(shù) 定義3 設(shè) 是 上的有限 函數(shù)， ，記 )(xfy ,ba ),( 0 bax h xfhxf xfD h )()( lim)( 00 0 0 h xfhxf xfD h )()( lim)( 00 0 0 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 h xfhxf xfD h )()( lim)( 00 0 0 h xfhxf xfD h )()( lim)( 00 0 0 分別稱 為 f 在 點(diǎn)右上、右下、左上、左下導(dǎo)數(shù)右上、右下、左上、左下導(dǎo)數(shù)。 fDfDfDfD , 0 x 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 當(dāng) f 在 點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù)時(shí)，也稱 f 在 點(diǎn)可微可微。 顯然，f 在 點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)當(dāng)且

3、僅當(dāng) 0 x )()( 00 xfDxfD ).( )()( 000 xfxfDxfD 0 x 0 x 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 (2) 導(dǎo)數(shù)的存在性與可導(dǎo)性 上述定義與數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)定義有一點(diǎn) 差別。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)分析中，講導(dǎo)數(shù) 通常都是指可導(dǎo)，也就是說(shuō)，其導(dǎo)數(shù)是 一個(gè)有限數(shù)，此處則不同，導(dǎo)數(shù)值可以 取，因此，當(dāng) 時(shí)， 我們稱 f 在該點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)，而不說(shuō)在該點(diǎn) 是可導(dǎo)的，就是由于這個(gè)緣故。 fDfDfDfD 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 (3) 導(dǎo)數(shù)值為的例子 , 0, 1 0, 0 0, 1 sgn)( x x x xxf 0 x 從這個(gè)例子不難看到，函數(shù)在一點(diǎn)有 導(dǎo)數(shù)并不意味著它在該點(diǎn)連續(xù)，上述 函數(shù)在

4、點(diǎn)就是間斷的。 例 設(shè) 則 。)0( f 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 定義4 設(shè) f 是 上的連續(xù)函數(shù)， 若存在 使得 ， 則稱 x 是 f 的右受控點(diǎn)右受控點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為右控點(diǎn)右控點(diǎn)。 若 存在，使 ， 則稱 x 是 f 的左受控點(diǎn)左受控點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為左控點(diǎn)左控點(diǎn)。 二單調(diào)函數(shù)的可導(dǎo)性 (1) 左、右控點(diǎn)的定義 ,ba),(bax ),(bxx ) ( )(xfxf ),( xax ) ()(xfxf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 (2) 左、右控點(diǎn)集的性質(zhì) 問(wèn)題問(wèn)題2：為什么要引入左、右控點(diǎn)概念？：為什么要引入左、右控點(diǎn)概念？ 其實(shí)質(zhì)是什么？其實(shí)質(zhì)是什么？ 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 引理引理2(F.Riesz) 設(shè)設(shè) f

5、 是是 a,b 上的連續(xù)上的連續(xù) 函數(shù)，則函數(shù)，則 f 的右的右 ( 或左或左 ) 控點(diǎn)集控點(diǎn)集 E 是是 一開集，而且，若一開集，而且，若 是是 E 的構(gòu)的構(gòu) 成區(qū)間全體，則有成區(qū)間全體，則有 或或 ( )。 ),( kk ba )()( kk bfaf)()( kk afbf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 證明：設(shè) E 是 f 的右控點(diǎn)集， ，于 是存在 ，使得 。 取 ，使 ，由 f 的連 續(xù)性知存在 ，當(dāng) 時(shí)， 有 ，故當(dāng) 時(shí)， 。這 就是說(shuō)， 中點(diǎn)都是 f 的右控點(diǎn)， 從而 是 E 的內(nèi)點(diǎn)，即 E 是開集。 Ex 0 ),( 01 bxx )()( 10 xfxf 0)()( 10 xfxf

6、0 ),( 0 xOx )()()( 00 xfxfxf ),( 0 xO x )()()( 10 xfxfxf ),( 0 xO 0 x 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 設(shè) 是 E 的構(gòu)成區(qū)間， 往證對(duì)任意 ，有 。若 不然，則有 ，使 ， 由于 是右控點(diǎn)，故存在 ， 使 。記 ， ，則顯然有 ，所 以 必不等于 。 k kkkk babaE),(),( ),( kk bax)()( k bfxf ),( 0kk bax )()( 0k bfxf Ex 0 ),( 01 bxx )()( 10 xfxf)(|sup 110 xfxx ) ()( 00 xfxf 0 x k b ),( 01 bxx 實(shí)變

7、函數(shù)論課件剖析 我們斷言，必有 ，否則由 便知 也是右受控點(diǎn)，這與 矛盾。 然而，又不可能有 ，因?yàn)檫@樣的話 ，由 知 ，于 是又存在 ，使 。從 而 ，這與 的定義 矛盾。 0 xbk ) ()( 00 xfxfbf k k bEbk 0 xbk k bxx 00 Ebxx k ),( 00 ), ( 02 bxx )() ( 20 xfxf )() ()( 200 xfxfxf 0 x 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 因此對(duì)任意 ，必有 ， 由的連續(xù)性知 。對(duì)于左控 點(diǎn)集可類似證明，證畢。 不連續(xù)時(shí)，只要其不連續(xù)點(diǎn)都是第一類 的，也可以定義右、左控點(diǎn)。 )()( k bfxf),( kk bax )(

8、)( kk bfaf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 定義5 設(shè) f 是 上的函數(shù)，且只有 第一類不連續(xù)點(diǎn)。對(duì) ，若有 ，使得 ， 則稱 x 是 f 的右受控點(diǎn)右受控點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為右控點(diǎn)右控點(diǎn)。 類似地，若有 ，使 ， 則稱 x 是 f 的左受控點(diǎn)左受控點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為左控點(diǎn)左控點(diǎn)。 ,ba ),(bax ),(bx )()0(),0(),(maxxfxfxfxf ),(xax )()0(),0(),(maxxfxfxfxf x 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 引理引理3(F.Riesz) 設(shè)設(shè) f 是是 上只有第上只有第 一類不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，則一類不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，則 f 的右控點(diǎn)的右控點(diǎn) ( 左控點(diǎn)左控點(diǎn) ) 全體全體 E

9、是開集，若是開集，若 是是 E 的構(gòu)成區(qū)間，則的構(gòu)成區(qū)間，則 。 ,ba ),( kk ba )0(),0(),(max) 0( kkkk bfbfbfaf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 證明：只對(duì)右控點(diǎn)集證之，左控點(diǎn)情形 可類似證得。設(shè) ，則存在 ， 使得 。 由左、右極限定義知對(duì)任意 ，存在 ，使得當(dāng) 時(shí)，有 ， 當(dāng) 時(shí)，有 。 Ex 0 ),( 01 bxx )()0(),0(),(max 1000 xfxfxfxf 0 0 0 0 xx )0()()0( 00 xfxfxf xx00 )0()()0( 00 xfxfxf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 從而當(dāng) 時(shí)， ， 由于 ， 故可選 ，使 ， 這說(shuō)明中

10、的所有點(diǎn)也是右控點(diǎn)，所以 E 是開集。 ),( 0 xOx )0(),0(),(max)( xfxfxfxf )0(),0(),(max 000 xfxfxf )()0(),0(),(max 1000 xfxfxfxf 0 )()0(),0(),(max 1000 xfxfxfxf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 設(shè) 是 E 的構(gòu)成區(qū)間，往證對(duì)任 意 ，有 。 事實(shí)上，若不然，則存在 使 。 注意到 是 f 的右控點(diǎn)，故存在 ，使得 。 ),( kk ba )0(),0(),(max)( kkk bfbfbfxf ),( 0kk bax )0(),0(),(max)( 0 kkk bfbfbfxf 0 x

11、 1 x )()0(),0(),(max 1000 xfxfxfxf ),( kk bax ),( 0 bx 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 ),(max| ),(sup 0011 xfbxxx )0(),0(),(max 000 xfxfxf ).0 (),0 (), (max 111 xfxfxf ),()0(),0( 100 xfxfxf 記 顯然 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 這說(shuō)明 。 )()0(),0(),(max 0000 xfxfxfxf )0 (),0 (, (max 111 xfxfxf k bx 1 ),0(),0(),(max kkk bfbfbf ),0(),0(),(max kkk bf

12、bfbf 因?yàn)?從而 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 我們證明不可能有 。事實(shí)上，若 ，則由于 是 之上確界，故對(duì)任意 ，存在 ， 使 。 k bx 1 1 x ),(max| ),( 001 0 xfbxxFx 0 0 x Fx 11 xxx ),()0(),0( 100 xfxfxf k bx 1 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 從而由 ， 立知 。 所以 也是 f 的右控點(diǎn)，這與假設(shè) 是 E 的構(gòu)成區(qū)間矛盾。 )()0(),0(),(max 000 xfxfxfxf )()0(),0(),(max xfbfbfbf kkk k b ),( kk ba 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 另一方面，我們也可證明不能有 。 若不然

13、，由 得 ，于是存 在 ，使 ， 進(jìn)而 。 k bx 1 k bxx 10 Ex 1 ), ( 12 bxx )()0 (),0 (), (max 2111 xfxfxfxf )0(),0(),(max 000 xfxfxf )()0 (),0 (), (max 2111 xfxfxfxf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 這與 的定義矛盾，綜上得 ， 但這又與 的假設(shè)矛盾，故對(duì)任意 ，有 ， 證畢。 1 x k bx 1 0 x ),( kk bax )0(),0(),(max)( kkk bfbfbfxf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 (3) 單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù) 的證明 定理定理4 設(shè)設(shè) f 是是 a,b

14、 上的單調(diào)有限上的單調(diào)有限 函數(shù)，則函數(shù)，則 f 在在 a,b 上幾乎處處有上幾乎處處有 有限導(dǎo)數(shù)。有限導(dǎo)數(shù)。 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 證明：不妨設(shè) f 是單調(diào)增加的 ( 遞減情 形可考慮 )。由于 f 的不連續(xù)點(diǎn)全體 E 是可數(shù)集，故可去掉這些點(diǎn)，記 。我們首先證明 (1) F 0)(| * xfDxFm f Eba, 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 為此，對(duì)任意正整數(shù) n，記 則存在 ，使 nn FxnxfDxFF 0 ,)(| 0 xx (*). )()( 0 0 n xx xfxf 令 ，則 僅有第一類 不連續(xù)點(diǎn)，且當(dāng) 時(shí)， nxxfxf)()( f bx ),0()0(),0(),(maxxfxfx

15、fxf ).()0(),(maxbfbfbf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 于是(*)式等價(jià)于 。因 是 的連續(xù)點(diǎn)，故 ， 由此立知 是 的右控點(diǎn)，故 包含 在 的右控點(diǎn)集 中，因 ， 是 的構(gòu)成區(qū)間，由引理3及 f 的單調(diào)性知 。 )( )( 0 xfxf n Fx 0 ) 0( ) 0( )( 000 xfxfxf 0 x n F f k kk baE),( E kkkk nbbfnaaf)0()0( f f ),( kk ba E 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 當(dāng) 時(shí)，上式中 的換成 ，由此得 bbk)0( bf )0( bf )( * kk k n abEmFm k kk afbf n )0()0( 1

16、).()( 1 afbf n 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 ,)(| n FxfDxF )(| * xfDxFm , 0)(|* xfDxFm )(. 0)()( 1 nafbf n 由 知 即 下證 )2(. 0)()(|* xfDxfDxFm 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 對(duì)任意 ，記 則 ， 故僅需證明對(duì)每個(gè) ，有 。 若 ，則存在 ，使得 2121 ,rrQrr Qrr rr FxfDxfDxF 21 21 )()(| 21r r F 0* 21 rr Fm 21r r Fxxx 1 . )()( 2 1 1 r xx xfxf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 令 ，上式意味著 ， 于是 x 是左控點(diǎn)。由Riesz引

17、理3， 包含 于 的左控點(diǎn)集 中，并且 ， 由于 f 單調(diào)增加，所以 ， 從而 。 xrxfxf 2 )()( )( )( 1 xfxf 21r r F f k kk baF),( )0( ),0( max)0( kkk afafbf )0( ),0( ),( max) 0( kkkk afafafaf )()0()0( 2kkkk abrafbf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 現(xiàn)設(shè) ，因 ， 由前段的證明可知 包含于 的某個(gè)開子集 中 ( 將 f 限制在 上，應(yīng)用前面 的證明 )，并且 ( 注意當(dāng) 時(shí)， 應(yīng)改成 為 )。 ),( 21 kkrr baFx 1 )(rxfD ),( 21 kkrr ba

18、F i k i k ik baF),( )()( ),( kk ba )0()0()( )()()()( 1 k i k i k i k i afbfabr k k i bb )( )0( k bf ),( kk ba )0( )( k i bf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 從而 包含在開集 中，且 i k i k i afbf)0() 0( )()( 21r r F ik k i k i ba , )()( ),( 進(jìn)一步， ),() 0() 0( 2kkkk abrafbf 實(shí)變函數(shù)論課件剖析 ikik k i k i k i k irr babamFm , )()()()( )(),()( 21 k kk afbf r )0()0( 1 1 ik k i k i afbf r , )()( 1 )0()0( 1 k kk ab r r ab r r )()( 1 2 1 2 實(shí)變函數(shù)論