高三數(shù)學(xué)《空間向量》復(fù)習(xí)課件

1、高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 空間向量復(fù)習(xí)空間向量復(fù)習(xí) 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 例例3、如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)、如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì) 量為量為500kg,在它的頂點處分別受力在它的頂點處分別受力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3， 每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都 是是60，且，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.這塊鋼板在這這塊鋼板在這 些力的作用下將會怎樣運動？這三個力最小為多些力的作用下將會怎樣運動？這三個力最小為多 少時，才能提起這塊鋼板？少時，才能提起這塊鋼板？ o A B C F1 F2 F3 500kg 高三數(shù)學(xué)空

2、間向量復(fù)習(xí)課件 例例4，如圖，在四棱錐，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD 是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC， E是是PC的中點，作的中點，作EF PB交交PB于點于點F。 （1）求證：）求證：PA平面平面EDB； （2）求證：）求證：PB 平面平面EFD； （3）求二面角）求二面角C-PB-D的大小。的大小。 D A B C E P F 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 a b OA B b a 結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用 同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。 因

3、此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有 關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。 3.1.13.1.1空間向量的運算空間向量的運算 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 平面向量 概念 加法 減法 數(shù)乘 運算 運 算 律 定義 表示法 相等向量 減法:三角形法則 加法:三角形法則或 平行四邊形法則 空間向量 具有大小和方向的量 數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零 bkakbak )( )()(cbacba abba 加法交換律 加法結(jié)合律 數(shù)乘分配律 abba 加法交換律 bkakbak )( 數(shù)乘分配律 )()(cbacba 加法結(jié)合律 類比思想 數(shù)形

4、結(jié)合思想 數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 推廣: （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起點指向末尾向量的終點的向量；向量的起點指向末尾向量的終點的向量； nnn AAAAAAAAAA 11433221 （2 2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖 形，則它們的和為零向量。形，則它們的和為零向量。 0 1433221 AAAAAAAA n 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 AB CD A1B1 C1D1 G M 始點相同的三個始點相同的三個 不共面向量之和，等不共面向量之和，等 于以這三個向

5、量為棱于以這三個向量為棱 的平行六面體的以公的平行六面體的以公 共始點為始點的對角共始點為始點的對角 線所示向量線所示向量 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 一、共線向量一、共線向量: : 零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. . 1.1.共線向量共線向量: :空間兩向量互相平行空間兩向量互相平行 或重合或重合, ,則這些向量叫做共線向量則這些向量叫做共線向量( (或平行向或平行向 量量),),記作記作 ba/ 2. 2.共線向量定理共線向量定理: :對空間任意兩個對空間任意兩個 向量向量 的充要條件是存在實的充要條件是存在實 數(shù)數(shù)使使 baobba/),(, ba 3.1.2共線向量定理與共面

6、向量定理共線向量定理與共面向量定理 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 推論推論: :如果如果 為經(jīng)過已知點為經(jīng)過已知點A A且平行且平行 已知非零向量已知非零向量 的直線的直線, ,那么對任一點那么對任一點O,O, 點點P P在直線在直線 上的充要條件是存在實數(shù)上的充要條件是存在實數(shù)t,t, 滿足等式滿足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直線的叫做直線的 方向向量方向向量. . l l a a O A B P a 若若P P為為A,BA,B中點中點, , 則則 1 2 OPOAOB 假如假如OP=OA+tABOP=OA+tAB，則點，則點P P、A A、B B三點共線。三點共線

7、。 可用于證明點共線可用于證明點共線 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 二二. .共面向量共面向量: : 1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, , 叫做共面向量叫做共面向量. . OA a a 注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間 任意三個向量就不一定共面的了。任意三個向量就不一定共面的了。 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個向量如果兩個向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要共面的充要 條件是存在實數(shù)對條件是存在實數(shù)對 使使 , a b yx, Pxayb p ,

8、a b O Ma b A B A P p 注：可用于證明三個向量共面注：可用于證明三個向量共面 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 推論推論: :空間一點空間一點P P位于平面位于平面MABMAB內(nèi)的充內(nèi)的充 要條件是存在有序?qū)崝?shù)對要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,yx,y使使 或?qū)臻g任一點或?qū)臻g任一點O,O,有有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB 注意：注意： 證明空間四點證明空間四點P、M、A、B共面的兩個依據(jù)共面的兩個依據(jù) 存存在在唯唯一一實數(shù)對 實數(shù)對 ,xyMPxMAyMB （） 使得 (1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中， 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 1 1、已知、已知a=(2,4,

9、5),b=(3,x,y),a=(2,4,5),b=(3,x,y),若若ab,ab, 求求x,yx,y的值。的值。 2 2、證明：三向量、證明：三向量a=ea=e1 1+e+e2 2,b=3e,b=3e1 1-2e-2e2 2,c=2e,c=2e1 1+3e+3e2 2 共面；若共面；若a=mb+nca=mb+nc，試求實數(shù)，試求實數(shù)m m、n n之值。之值。 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 1 1） 兩個向量的夾角兩個向量的夾角 abba ba , ,0 被唯一確定了，并且 量的夾角就在這個規(guī)定下，兩個向范圍： bababa互相垂直，并記作：與則稱如果, 2 , O O A A B B a a b

10、b 3.1.33.1.3空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積 向量向量a a與與b b的夾角記作：的夾角記作： 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 2 2）兩個向量的數(shù)量積）兩個向量的數(shù)量積 注意：注意： 兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量. 零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。 cos,a ba ba b 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 3 3）射影）射影 eaeaABBA e lABBABlBAl AllelaAB ,cos , 11 1111 射影。方向上的正射影，簡稱或在 上的在軸叫做向量，則上的射影在作點上的射影 在點同方向的單位向量。作上與

11、是，和軸已知向量 B A l e A1 B1 注意：是軸注意：是軸l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一個可正可負(fù)的實數(shù)，是一個可正可負(fù)的實數(shù)， 它的符號代表向量與它的符號代表向量與l l的方向的相對關(guān)系，大小代的方向的相對關(guān)系，大小代 表在表在l l上射影的長度。上射影的長度。 AB AB 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 4)4)空間向量的數(shù)量積性質(zhì)空間向量的數(shù)量積性質(zhì) aaa baba eaaea 2 ) 3 0)2 ,cos) 1 注意：注意： 性質(zhì)性質(zhì)2 2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；）是證明兩向量垂直的依據(jù)； 性質(zhì)性質(zhì)3 3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；）是求向量的長度（模

12、）的依據(jù)； 對于非零向量對于非零向量 ，有：，有： ,ab 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 5)5)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律空間向量的數(shù)量積滿足的運算律 注意：注意： 分配律） 交換律） ()(3 ()2 )()() 1 cabacba abba baba 數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足結(jié)合律 )()cbacba（ 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 1 1、應(yīng)用、應(yīng)用 可證明兩直線垂直，可證明兩直線垂直， 2 2、利用、利用 可求線段的長度?？汕缶€段的長度。 0baba 2 2 aa 向量數(shù)量積的應(yīng)用向量數(shù)量積的應(yīng)用 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 3.1.43.1.4空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量正交

13、分解及其坐標(biāo)表示 空間向量基本定理：如果三個向量空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c 不共面，那么對空間任一向量不共面，那么對空間任一向量p,存在有序存在有序 實數(shù)組實數(shù)組x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc. 空間所有向量的集合空間所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR a,b,c叫做空間的一個基底，叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量。都叫做基向量。 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：如果空間的一個基底的單位正交基底：如果空間的一個基底的 三個基向量互相垂直，且長都為三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個，則這個 基底

14、叫做單位正交基底，常用基底叫做單位正交基底，常用 i , j , k 表表 示。示。 則空間中任意一個向量則空間中任意一個向量p可表示為可表示為 p=xi+yj+zk (x,y,z)就是向量就是向量p的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 3.1.5 向量的直角坐標(biāo)運算向量的直角坐標(biāo)運算 則設(shè)),(),( 321321 bbbbaaaa ;ab ;ab ;a ;a b /; . ab ;ab 112233 (,)ab ab ab 112233 (,)ab ab ab 123 (,),()aaaR 1 12233 a ba ba b 112233 ,()ab ab abR 112222 /a

15、babab 1 12233 0a ba ba b 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 二、距離與夾角二、距離與夾角 2222 123 | aa aaaa 2222 123 | bb bbbb 1.1.距離公式距離公式 （1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式 注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對 角線的長度。角線的長度。 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 | AB ABAB AB 212121 (,)xxyyzz 222 212121 ()()()xxyyzz 222 ,212121 ()()() A B dxxyyzz 在空間直角坐標(biāo)系中，已知、在空間直角坐

16、標(biāo)系中，已知、 ，則，則 111 (,)A xyz 222 (,)B xyz （2 2）空間兩點間的距離公式）空間兩點間的距離公式 終點坐標(biāo)減終點坐標(biāo)減 起點坐標(biāo)起點坐標(biāo) 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 cos, | | a b a b ab 1 1223 3 222222 123123 ; a ba ba b aaabbb 2.2.兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式 注意：注意： （1）當(dāng)）當(dāng) 時，同向；時，同向； （2）當(dāng)）當(dāng) 時，反向；時，反向； （3）當(dāng)）當(dāng) 時，。時，。 cos,1 a b 與 ab cos,1 a b 與 ab cos,0 a b ab 思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時，的夾角在

17、什么范圍內(nèi)？時，的夾角在什么范圍內(nèi)？ 1cos,0 a b,10cos a b 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 立體幾何中的向立體幾何中的向 量方法量方法 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 1 1、用空間向量解決立體幾何問題的、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。 （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間 向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾 何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的 位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問

18、題；位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題； （3）把向量的運算結(jié)果）把向量的運算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。成相應(yīng)的幾何意義。 （化為向量問題）（化為向量問題） （進(jìn)行向量運算）（進(jìn)行向量運算） （回到圖形問題）（回到圖形問題） 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 l a 二、怎樣求平面法向量？二、怎樣求平面法向量？ 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 1 1、已知正方體、已知正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為2 2，E E、F F 分別是分別是BB1BB1、DD1DD1的中點，求證：的中點，求證： （1 1）FC1/FC1/平面平面ADEADE （2 2）平面）平面

19、ADE/ADE/平面平面B1C1FB1C1F 證明：如圖證明：如圖1 1所示建立空間直角所示建立空間直角 坐標(biāo)系坐標(biāo)系D-D-xyzxyz，則有，則有D D（0 0，0 0，0 0）、）、 A A（2 2，0 0，0 0）、）、C C（0 0，2 2，0 0）、）、 C1C1（0 0，2 2，2 2）、）、E E（2 2，2 2，1 1）、）、 F F（0 0，0 0，1 1），所以），所以 ) 1 , 2 , 0( 1 FC)0 , 0 , 2(DA ) 1 , 2 , 0(AE 設(shè)設(shè) ， 分別是分別是 平面平面ADEADE、平面、平面B1C1FB1C1F的法向量，則，的法向量，則， ， )

20、,( 1111 zyxn ),( 2222 zyxn nDAn AE 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 2、已知向量 則 上的單位向量為： 2 , 2, 1 aa 3 2 , 3 2 , 3 1 3 2 , 3 2 , 3 1 或 同理可求 ) 2, 1 , 0( 2 n 0) 1 , 2 , 0()2, 1 , 0(n 11 FC 11 nFC / 1 FC 21 /nn （1） ，又FC1平面ADE， 平面ADE 平面ADE/平面B1C1F （2 2） yz x zyAE xDA 2 0 02n 02n 1 1 取取y=1y=1，則，則 )2, 1 , 0( 1 n 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 設(shè)直

21、線設(shè)直線l,m的方向向量分別為的方向向量分別為a,b，平面，平面， 的法向量分別為的法向量分別為u,v,則則 線線平行：線線平行：lm a b a=kb; 線面平行：線面平行：l au au=0; 面面平行：面面平行： u v u=kv. 線線垂直：線線垂直：l m a b ab=0; 面面垂直：面面垂直： u v uv=0. 線面垂直：線面垂直：l a u a=ku; 三、有關(guān)結(jié)論三、有關(guān)結(jié)論 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 異面直線所成角的范圍： 0, 2 A B CD 1 D 結(jié)論：結(jié)論： cos cos,CD AB | 題型一：線線角題型一：線線角 3.2.3利用空間向量求空間角利用空間向量

22、求空間角 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 題型二：線面角題型二：線面角 直線與平面所成角的范圍：直線與平面所成角的范圍： 0, 2 A B O n 題型二：線面角題型二：線面角 直線直線AB與平面與平面所成所成 的角的角可看成是向量與可看成是向量與 平面平面的法向量所成的的法向量所成的 銳角的余角，所以有銳角的余角，所以有 nAB nAB nAB ,cossin 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 題型三：二面角題型三：二面角 二面角的范圍： 0, 1 n 2 n 2 n 1 n cos 12 |cos,|n n cos 12 |cos,|n n A BO 關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：觀察二面角的范圍 高三數(shù)

23、學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 B A M N n a b 一、求異面直線的距離一、求異面直線的距離 n nAB nABABd ,cos 方法指導(dǎo)方法指導(dǎo): :作直線作直線a、b的的 方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法 向量向量n，即此異面直線，即此異面直線a、b 的公垂線的方向向量；的公垂線的方向向量； 在直線在直線a、b上各取一點上各取一點 A、B，作向量，作向量AB； 求向量求向量AB在在n上的射影上的射影 d，則異面直線，則異面直線a、b間的距間的距 離為離為 方法指導(dǎo)方法指導(dǎo): :作直線作直線a、b的的 方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法 向量向量n，即此異面直線，即此異面直

24、線a、b 的公垂線的方向向量；的公垂線的方向向量； 在直線在直線a、b上各取一點上各取一點 A、B，作向量，作向量AB； 求向量求向量AB在在n上的射影上的射影 d，則異面直線，則異面直線a、b間的距間的距 離為離為 3.2.4 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 | | | | | sin| | n PAn PAn PAn PA PA POd 如圖點如圖點P為平面外一點，點為平面外一點，點A為平面內(nèi)的任為平面內(nèi)的任 一點，平面的法向量為一點，平面的法向量為n,過點過點P作平面作平面 的垂的垂 線線PO，記，記PA和平面和平面 所成的角為所成的角為 ，則點，則點P 到平面的距離到平面的距離 n A P

25、O 二、求點到平面的距離二、求點到平面的距離 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的邊長為的邊長為4，CG平面平面ABCDABCD， CG=2,ECG=2,E、F F分別是分別是ABAB、ADAD的中點，求直線的中點，求直線BDBD到平面到平面 GEFGEF的距離。的距離。 D AB C G F E x y z n nPA d 三、求直線與平面間距離三、求直線與平面間距離 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 例例5、在邊長為、在邊長為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、 E、F分別是棱分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點，求平的中點，求

26、平 面面AMN與平面與平面EFDB的距離。的距離。 AB C D A1 B1 C1 D1 M N E F x y z n nPA d 四、求平行平面與平面間距離四、求平行平面與平面間距離 高三數(shù)學(xué)空間向量復(fù)習(xí)課件 立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法坐標(biāo)法坐標(biāo)法 問題問題1：已知：已知：ABC為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC, 且且EC,DB在平面在平面ABC同側(cè)，同側(cè)，CE=CA=2BD.求證：求證： 平面平面ADE平面平面ACE. 怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？怎樣建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？ 怎樣證明平面怎樣證明平面ADE平面平面ACE？ 如何求平面如何求平面ADE、平面平面ACE的法向量？的法向量？ 一個平面的法向量有多少個？一個平