生活中的優(yōu)化問題

1、 生活中經(jīng)常會遇到生活中經(jīng)常會遇到求什么條件下求什么條件下可使用料最省，利可使用料最省，利 潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題優(yōu)化問題. . 這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題. .其中其中 不少問題可以運用導數(shù)這一有力工具加以解決不少問題可以運用導數(shù)這一有力工具加以解決. . 復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？ 一般地，若函數(shù)一般地，若函數(shù)y=f (x)在在a，b上的圖象是一條上的圖象是一條 連續(xù)不斷的曲線連續(xù)不斷的曲線，則求，則求f (x) 的最值的步驟是：

2、的最值的步驟是： （1）求）求y=f (x)在在a，b內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極小值極大值與極小值)； （2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較，比較， 其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. 特別地，特別地，如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點只有一個極值點， 則這個極值一定是最值。則這個極值一定是最值。 例例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造瓶子的制造 成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半徑

3、，單位是厘米，已知每出是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出 售售1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的 最大半徑為最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？ 2 ( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得 r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) -1.07p p 解：解：每個瓶的容積為每個瓶的容積為:)( 3 4 3 mlrp p 每瓶飲料的利潤：每瓶飲料的利潤： 23 8 .0 3 4 2 .0)(rrrfyp

4、p p p 3 2 = 0.8 (-) 3 r r)60( r 解：設(shè)每瓶飲料的利潤為解：設(shè)每瓶飲料的利潤為y，則，則 23 8 .0 3 4 2 .0)(rrrfyp p p p 3 2 = 0.8 (-) 3 r r)60( r r(0，2)2(2，6 f (r)0 f (r) - + 減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) f (r)在在(2，6上只有一個極值點上只有一個極值點 由上表可知，由上表可知，f (2)=-1.07p p為利潤的最小值為利潤的最小值 -1.07p p 例例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造瓶子的制造 成本是成本是0.

5、8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出 售售1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的 最大半徑為最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？ 解：設(shè)每瓶飲料的利潤為解：設(shè)每瓶飲料的利潤為y，則，則 23 8 .0 3 4 2 .0)(rrrfyp p p p 3 2 = 0.8 (-) 3 r r)60( r 當當r(0，2)時，時，( ) (0)0f rf 而而f (6)=28.8p p，故，故f (6)是最大值是最大

6、值 答：當瓶子半徑為答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料的利潤最大，時，每瓶飲料的利潤最大， 當瓶子半徑為當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小時，每瓶飲料的利潤最小. 例例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造瓶子的制造 成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出 售售1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的 最大半徑為最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？，則每瓶飲料的利潤何時最大，何

7、時最小呢？ 解決優(yōu)化問題的方法之一：解決優(yōu)化問題的方法之一： 通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學 模型，再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，模型，再通過研究相應函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案， 使問題得到解決在這個過程中，導數(shù)往往是一個有使問題得到解決在這個過程中，導數(shù)往往是一個有 力的工具，其基本思路如以下流程圖所示力的工具，其基本思路如以下流程圖所示 優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題用函數(shù)表示的數(shù)學問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案 問題情景二：汽油使用效率何時最高問題情景二：汽油使用效率何時最高 我們

8、知道，汽油的消耗量我們知道，汽油的消耗量 w (單位單位:L)與汽車的速度與汽車的速度 v (單位單位:km/h) 之間有一定的關(guān)系，汽車的消耗量之間有一定的關(guān)系，汽車的消耗量 w 是汽車是汽車 速度速度 v 的函數(shù)的函數(shù). 根據(jù)實際生活，思考下面兩個問題：根據(jù)實際生活，思考下面兩個問題： （1）是不是汽車的速度越快，）是不是汽車的速度越快， 汽油的消耗量越大汽油的消耗量越大? （2）當汽車的行駛路程一定時，是車速快省油還是）當汽車的行駛路程一定時，是車速快省油還是 車速慢的時候省油呢？車速慢的時候省油呢？ 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就

9、說 汽油的使用效率汽油的使用效率越高（即越省油）。越高（即越省油）。 若用若用G來表示每千米平均的汽油消耗量，則來表示每千米平均的汽油消耗量，則 這里的這里的w是汽油消耗量，是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程是汽車行駛的路程 w G = s 如何計算每千米路如何計算每千米路 程的汽油消耗量？程的汽油消耗量？ 例例2、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的 平均消耗率平均消耗率 g（即每小時的汽油消耗量，（即每小時的汽油消耗量， 單位單位: L / h） 與汽車行駛的與汽車行駛的平均速度平均速度v（單位（單位: km）之間，有如圖的）之間，有如圖的

10、函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 g = f (v) ，那么如何根據(jù)這個圖象中的數(shù)據(jù)來，那么如何根據(jù)這個圖象中的數(shù)據(jù)來 解決汽油的使用效率最高的問題呢？解決汽油的使用效率最高的問題呢？ v(km/h) g (L/h) O120903050 5 10 15 分析：分析：每千米平均的汽油消耗量每千米平均的汽油消耗量 ，這里，這里 w是汽油是汽油 消耗量，消耗量，s是汽車行駛的路程是汽車行駛的路程 w=gt，s=vt w G = s gtg vtv w G = s P(v，g) 的幾何意的幾何意 義是什么？義是什么？ g v 如圖所示，如圖所示， 表示經(jīng)過原點表示經(jīng)過原點 與曲線上的點與曲線上的點 P(v，g)的直

11、線的直線 的斜率的斜率k g v min (90)kf 所以由右圖可知，當直線所以由右圖可知，當直線OP 為曲線的切線時，即斜率為曲線的切線時，即斜率k取取 最小值時，汽油使用效率最高最小值時，汽油使用效率最高 0.07 例例3、經(jīng)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的、經(jīng)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的 耗油量耗油量y（升）關(guān)于行駛速度（升）關(guān)于行駛速度x（千米（千米/小時）的函數(shù)解析式小時）的函數(shù)解析式 可以表示為：可以表示為： 若已知甲、乙兩地相距若已知甲、乙兩地相距100千米。千米。 （I）當汽車以）當汽車以40千米千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到小時的速度勻速行

12、駛時，從甲地到 乙地要耗油為乙地要耗油為 升升; （II）若速度為若速度為x千米千米/小時，則汽車從甲地到乙地需小時，則汽車從甲地到乙地需 行駛行駛 小時，記耗油量為小時，記耗油量為h(x)升，其解析式為升，其解析式為: . (III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油 最少？最少為多少升？最少？最少為多少升？ 3 13 8(0120). 12800080 yxxx 17.5 1 0 0 x 32( )(8).(0120), 1280008012804 h xxxxx xx 32( )

13、(8).(0120), 1280008012804 h xxxxx xx 例例3、經(jīng)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的、經(jīng)統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的 耗油量耗油量y（升）關(guān)于行駛速度（升）關(guān)于行駛速度x（千米（千米/小時）的函數(shù)解析式小時）的函數(shù)解析式 可以表示為：可以表示為： 若已知甲、乙兩地相距若已知甲、乙兩地相距100千米。千米。 (III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油 最少？最少為多少升？最少？最少為多少升？ 3 13 8(0120). 12800080 yxxx 解：設(shè)當汽車以解：設(shè)當汽車以x

14、 km/h的速度行駛時，從甲地到乙地的速度行駛時，從甲地到乙地 的耗油量為的耗油量為h(x) L，則，則 3 13100 ( )(8). 12800080 h xxx x 2 180015 (0120) 12804 xx x 33 22 80080 ( )(0120) 640640 xx h xx xx 練習：已知某廠每天生產(chǎn)練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為件產(chǎn)品的成本為 2 25000200() 40 x cx元 若要使平均成本最低，則每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？若要使平均成本最低，則每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 解：設(shè)平均成本為解：設(shè)平均成本為y元，每天生產(chǎn)元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則件產(chǎn)品，則 2

15、5000 200 40 cx y xx 25000 2200250 40 x x 25000 1000 40 x x x 當且僅當，即時等號成立 每天應生產(chǎn)每天應生產(chǎn)1000件產(chǎn)品件產(chǎn)品 練習：已知某廠每天生產(chǎn)練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為件產(chǎn)品的成本為 2 25000200() 40 x cx元 變題：若受到設(shè)備的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)變題：若受到設(shè)備的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件件 產(chǎn)品，則要使平均成本最低，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？產(chǎn)品，則要使平均成本最低，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？ 解：設(shè)平均成本為解：設(shè)平均成本為y元，每天生產(chǎn)元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則件產(chǎn)品，則 2500

16、0 200 40 cx y xx 2 250001 40 y x 001000 01000 yx yx 由，可求得 由，可求得 練習：已知某廠每天生產(chǎn)練習：已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為件產(chǎn)品的成本為 2 25000200() 40 x cx元 變題：若受到產(chǎn)能的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)變題：若受到產(chǎn)能的影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件件 產(chǎn)品，則要使平均成本最低，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？產(chǎn)品，則要使平均成本最低，每天應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？ 函數(shù)在函數(shù)在(0，1000)上是減函數(shù)上是減函數(shù) 800 xy當時， 取最小值 故每天應生產(chǎn)故每天應生產(chǎn)800件產(chǎn)品件產(chǎn)品 基本不等式法：基本不等式法

17、： “一正、二定、三相等、四最值一正、二定、三相等、四最值”； 導數(shù)法：導數(shù)法： 一定義域、二導數(shù)符號、三單調(diào)性、四最值一定義域、二導數(shù)符號、三單調(diào)性、四最值”。 最小。站才能使）需要修建多少個增壓（ 的函數(shù)表示為）試將（ 萬元。設(shè)余下的工程費用為 ）萬元費用為（增壓站之間的輸油管道 公里的相鄰兩萬元，鋪設(shè)距離為費用為 建一個增壓站的工程建增壓站。經(jīng)預算，修 輸油管道和等距離修建好的輸油站之間鋪設(shè) 程只需在該兩段已經(jīng)油站已經(jīng)建好，余下工 段輸油管道兩端的輸公里寬的沙漠地帶，這 的輸油管道通過某地需要修建一條大型 練習： y xy y xx x 2 1 432 120 3 所獲得的利潤最大。 該

18、商品的值，使商場每日銷售銷售價格 ，試確定千克元）若該商品的成本為（ 的值）求（ 千克。該商品 千克時，每日可售出元已知銷售價格為 為常數(shù)，其中 ）滿足關(guān)系式千克元（單位 價格（單位：千克）與銷售每日的銷售量 經(jīng)驗表明，該商品某商場銷售某種商品的 福建高考）練習：（ x a axx x a y x y 32 1 11 5 ,63,)6(10 3 : 2011 2 并求出最低總造價。處理池的總造價最低？ 各為多少時，污水）污水處理池的長和寬（ 義域。函數(shù)關(guān)系式，并指出定 ）的（元與污水處理池長）寫出總造價（ 蓋）厚度忽略不計，且池無 元（池壁平方米元，池底建造單價為每 單價為每米元，中間兩條隔墻建造為每米 如果池外周壁建造單價長寬都不能超過 于地形限制，的三級污水處理池，由為 平面圖為矩形，且面積如圖，某工廠擬建一座 練習： 2 1 80248 400 ,16 200 2 mxy m m 小結(jié)：小結(jié)： 在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到求在什么條件下求在什么條件下