規(guī)律探索型問(wèn)題

1、規(guī)律探索型問(wèn)題規(guī)律探索型問(wèn)題 一類(lèi)一類(lèi) ：從特殊到一般從特殊到一般 通過(guò)對(duì)給定情通過(guò)對(duì)給定情 況的觀(guān)察、分析況的觀(guān)察、分析 ，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 （一）、數(shù)量的統(tǒng)計(jì)（一）、數(shù)量的統(tǒng)計(jì) 例例1、你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗 的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸， 反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條， 如圖所示： 這樣捏合到第 次后可拉出128根細(xì)面條7 第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合 例例2 下列每個(gè)圖是由若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊 （抱括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n1）盆花，每個(gè)圖案花盆的總數(shù) 是S按此規(guī)律推斷，S與n的關(guān)系式是 n=2 S=3 n=3 S

2、=6 n=4 S=9 答案：答案：S與與n的關(guān)系式為的關(guān)系式為3（n-1）。）。 例例3 下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成， 通過(guò)觀(guān)察可以發(fā)現(xiàn)： （1）第四個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是 ； （2）第n個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是 ； 13 3n+1 （二）、歸納等式的變化規(guī)律（二）、歸納等式的變化規(guī)律 例例1 給出下列算式： 32-12=8=81 52-32=16=82 72-52=24=83 92-72=32=84 觀(guān)察上面一系列等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 試用含n(n1的整數(shù))的等式來(lái)表示這個(gè)規(guī) 律 。 (2n+1) - (2n-1)=8n 例例2. 研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)

3、律？ 13+1=4=22 24+1=9=32 35+1=16=42 46+1=25=52 觀(guān)察上面一系列等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 請(qǐng)?jiān)囉煤琻(n1的整數(shù))的等式將你找出的規(guī)律用公式表 示出來(lái): 。 n（n+2）+1=(n+1)2 例例3觀(guān)察下列算式： 12-02=1+0=122-12=2+1=332- 22=3+2=542-32=4+3=7 (1)通過(guò)以上的算式，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用含n(n1的 整數(shù))的等式表示出來(lái)； (2)用簡(jiǎn)潔的文字語(yǔ)言表達(dá)上述規(guī)律。 解：解：(1) n2（n-1）2n+n-1=2n-1，其中，其中n為為 大于等于大于等于1的自然數(shù)。的自然數(shù)。 (2) 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的平方

4、差等于這兩個(gè)數(shù)相鄰兩個(gè)自然數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù) 之和之和 序號(hào) 3 2 1 方 程方程的解 1 2 16 xx 1 3 18 xx 1 4 110 xx x1=3 x2=4 x1=4 x2=6 x1=5 x2=8 例例4 觀(guān)察上述表中方程的特點(diǎn)，寫(xiě)出這一列方程中第n個(gè) 方程和它的解。 答案答案：1 ) 1( 142 nxx n x1=n+2 x2=2n+2 （三）式的變形（三）式的變形 例例1 觀(guān)察下列各式： （1）按照上述規(guī)律猜想 應(yīng)等于多少？ 15 4 4 15 4 4 8 3 3 8 3 3 3 2 2 3 2 2 24 5 5 （2）針對(duì)上述各式反應(yīng)的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為大 于等于2

5、的整數(shù)）表示的等式 11 22 n n n n n n 24 5 5 24 5 5答案：答案： 解：解： kmmkmm k 11 )( 例例2、觀(guān)察下列等式、觀(guān)察下列等式 3 1 2 1 32 1 7 1 5 1 75 2 5 1 2 1 52 3 7 1 3 1 73 4 請(qǐng)你用含請(qǐng)你用含m、k表示上面的變形規(guī)律？并利用此規(guī)律計(jì)算表示上面的變形規(guī)律？并利用此規(guī)律計(jì)算 10199 1 . 75 1 53 1 31 1 101 50 ) 101 1 1 ( 2 1 ) 101 1 99 1 . 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1 ) 10199 2 . 75 2 53 2 3

6、1 2 ( 2 1 10199 1 . 75 1 53 1 31 1 例例3、在ABC 中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的任 意一點(diǎn)，AD交BE于點(diǎn)O.某學(xué)生在研究問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了 如下的事實(shí): C A B D E O 圖圖 A B C D E O 圖圖 B A CD E O 圖圖 當(dāng) 時(shí)，有 （如圖1） 11 1 2 1 AC AE 12 2 3 2 AD AO 當(dāng) 時(shí)，有 （如圖2） 21 1 3 1 AC AE 22 2 4 2 AD AO 當(dāng) 時(shí)，有 （如圖3） 31 1 4 1 AC AE 32 2 5 2 AD AO 下一頁(yè) nAD AO 2 2 解：解： 例4在圖4中，依照上述研

7、究結(jié)論，當(dāng) 時(shí)， 請(qǐng)你猜想用n表示 的一般結(jié)論，（其中n是正整 數(shù)） AD AO nAC AE 1 1 A BCD E O 圖 上一頁(yè) 例例5. 觀(guān)察下列各式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 13=3， 而 3=22-1 35=15，而15=42-1 57=35，而35=62-1 79=63，而63=82-1 1315=195，而195=142-1 將你猜想到的規(guī)律用含n(n1的整數(shù))的等式表示出來(lái) 解：（解：（2n-1）（）（2n+1）=（2n）2-1，其中，其中n是大于是大于1的的 自然數(shù)自然數(shù) 或者或者n（n+2）=（n+1）2-1，其中，其中n表示奇數(shù)表示奇數(shù) 例例1、 已知數(shù)據(jù)已知數(shù)據(jù) 、 、

8、、 、試猜想第試猜想第5 個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)與第n個(gè)數(shù)（個(gè)數(shù)（n是正整數(shù)），分別是是正整數(shù)），分別是 。 3 1 5 2 7 3 9 4 （四）其它（四）其它 11 5 ， （）答案：答案： 12 n n 練習(xí)練習(xí)2、觀(guān)察下面一列數(shù)的規(guī)律并填空：、觀(guān)察下面一列數(shù)的規(guī)律并填空：0，3， 8，15，24，則它的第，則它的第2002個(gè)個(gè) 數(shù)數(shù) 是是 。 答案：答案：( ) 12002 2 二類(lèi)：二類(lèi)： 由一般聯(lián)想到特殊由一般聯(lián)想到特殊 例1 、n條直線(xiàn)最多有幾個(gè)交點(diǎn)？ n條直線(xiàn)最多有1+2+3+4+（n-1）個(gè)交點(diǎn) 2條直線(xiàn)條直線(xiàn) 1個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn) 2條直線(xiàn)條直線(xiàn) 1+2=3個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn) 4條直線(xiàn)條直線(xiàn) 1

9、+2+3=6個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn) 解：解： 例例2、 從一個(gè)銳角的頂點(diǎn)向銳角的內(nèi)部作從一個(gè)銳角的頂點(diǎn)向銳角的內(nèi)部作n條射線(xiàn)，共條射線(xiàn)，共 形成多少個(gè)角？形成多少個(gè)角？ 解：解： 2條射線(xiàn)條射線(xiàn) 1個(gè)角個(gè)角 3條射線(xiàn)條射線(xiàn) 1+2個(gè)角個(gè)角 4條射線(xiàn)條射線(xiàn) 1+2+3個(gè)角個(gè)角 n+2條射線(xiàn)共組成條射線(xiàn)共組成1+2+（n+1）個(gè)角）個(gè)角 三角形的個(gè)數(shù)三角形的個(gè)數(shù)12345 n 火柴棒的根數(shù)火柴棒的根數(shù) 357119 2n+1 星星 期期 日日 星星 期期 一一 星星 期期 二二 星星 期期 三三 星星 期期 四四 星星 期期 五五 星星 期期 六六 12345 6789101112 131415161718

10、19 20212223242526 2728293031 星星 期期 日日 星星 期期 一一 星星 期期 二二 星星 期期 三三 星星 期期 四四 星星 期期 五五 星星 期期 六六 12345 6789101112 13141516171819 20212223242526 2728293031 34 10 11 a 橫排中右邊的數(shù)橫排中右邊的數(shù) 比左邊的數(shù)比左邊的數(shù)大大1 縱列中下面的數(shù)縱列中下面的數(shù) 比上面的數(shù)比上面的數(shù)大大7 a+1 a+7 a+8 星星 期期 日日 星星 期期 一一 星星 期期 二二 星星 期期 三三 星星 期期 四四 星星 期期 五五 星星 期期 六六 12345

11、6789101112 13141516171819 20212223242526 2728293031 橫排中右邊的數(shù)比左邊的數(shù)橫排中右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大大1 縱列中下面的數(shù)比上面的數(shù)縱列中下面的數(shù)比上面的數(shù)大大7 10911 17 3 a a+1 a-1 a-7 a+7 星星 期期 日日 星星 期期 一一 星星 期期 二二 星星 期期 三三 星星 期期 四四 星星 期期 五五 星星 期期 六六 12345 6789101112 13141516171819 20212223242526 2728293031 星星 期期 日日 星星 期期 一一 星星 期期 二二 星星 期期 三三 星星 期期

12、四四 星星 期期 五五 星星 期期 六六 12345 6789101112 13141516171819 20212223242526 2728293031 234 91011 161718 aa-1a+1 a-7 a+7 a-8a-6 a+6a+8 橫排中右邊的數(shù)比左邊的數(shù)橫排中右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大大1 縱列中下面的數(shù)比上面的數(shù)縱列中下面的數(shù)比上面的數(shù)大大7 觀(guān)察下面的幾個(gè)算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？觀(guān)察下面的幾個(gè)算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 121 112121 111212321 111121234321 利用上面的規(guī)律，請(qǐng)猜出 111112 。 123454321 葛店鎮(zhèn)黨委、政府十分重視本地

13、企業(yè)的發(fā)葛店鎮(zhèn)黨委、政府十分重視本地企業(yè)的發(fā) 展，葛店水泥制管廠(chǎng)就是我鎮(zhèn)的一家民營(yíng)企業(yè)。展，葛店水泥制管廠(chǎng)就是我鎮(zhèn)的一家民營(yíng)企業(yè)。 為了更好地節(jié)約場(chǎng)地，工人師傅們按下面的圖為了更好地節(jié)約場(chǎng)地，工人師傅們按下面的圖 示堆放水泥管。示堆放水泥管。 請(qǐng)你猜一下，如果堆放了請(qǐng)你猜一下，如果堆放了10層，一共有多少根層，一共有多少根 水泥管呢？水泥管呢？ 2（12） 2 n（1n） 2 4（14） 2 3（13） 2 1236 123 123410 1234n n (n(n為大于為大于1 1的自然數(shù)的自然數(shù)) ) （共（共n層）層） 擺第擺第 1 1 個(gè)個(gè)“小屋子小屋子”需要需要 5 5 枚枚 棋子棋子

14、 ， 擺第擺第 2 2 個(gè)個(gè)“小屋子小屋子”需要需要 枚枚 棋子棋子 ， 擺第擺第 3 3 個(gè)個(gè)“小屋子小屋子”需要需要 枚枚 棋子棋子 ， 1111 1717 第n 個(gè)屋 子 123410n 棋子的個(gè) 數(shù) 51117 用不同方法計(jì)算棋子數(shù) 第幾子123410n 棋子數(shù)51117 一種長(zhǎng)方形餐桌的四周可坐一種長(zhǎng)方形餐桌的四周可坐6 6人人 用餐用餐, ,現(xiàn)把現(xiàn)把n n張這樣的餐桌按如圖方張這樣的餐桌按如圖方 式拼接起來(lái)式拼接起來(lái), ,問(wèn)四周可坐多少人用餐？問(wèn)四周可坐多少人用餐？ 若用餐的人數(shù)有若用餐的人數(shù)有4242人人, ,則這樣的餐桌則這樣的餐桌 需要多少?gòu)?？需要多少?gòu)垼?一種長(zhǎng)方形餐桌的四

15、周可坐一種長(zhǎng)方形餐桌的四周可坐6 6人用餐人用餐, ,現(xiàn)把現(xiàn)把n n張這樣的張這樣的 餐桌按如圖方式拼接起來(lái)餐桌按如圖方式拼接起來(lái), ,問(wèn)四周可坐多少人用餐？問(wèn)四周可坐多少人用餐？ 若用餐的人數(shù)有若用餐的人數(shù)有4242人人, ,則這樣的餐桌需要多少?gòu)垼縿t這樣的餐桌需要多少?gòu)垼?餐桌數(shù)餐桌數(shù)n n 人數(shù)人數(shù)6 6 特殊入手特殊入手 一般結(jié)論一般結(jié)論 歸納猜想歸納猜想 探索探索 我可以將它們分 成五類(lèi):數(shù)字規(guī)律 探索型、代數(shù)式 規(guī)律探索型、幾 何變換規(guī)律探索 型、排列規(guī)律探 索型、數(shù)形結(jié)合 規(guī)律探索型. 誰(shuí)又能幫我逐 個(gè)總結(jié)呢? 我試一 試吧!類(lèi)型一類(lèi)型一:數(shù)字?jǐn)?shù)字型型 類(lèi)型二類(lèi)型二:代數(shù)式型代數(shù)

16、式型 類(lèi)型三類(lèi)型三:幾何變換型幾何變換型 類(lèi)型四類(lèi)型四:排列型排列型 類(lèi)型五類(lèi)型五:數(shù)形結(jié)合型數(shù)形結(jié)合型 觀(guān)察一列數(shù)3，8，13，18， 23，28依此規(guī)律，在 此數(shù)列中比2000大的最小 整數(shù)是 。 如何從數(shù)字規(guī)如何從數(shù)字規(guī) 律探索型中探律探索型中探 索規(guī)律索規(guī)律? 分析上例：分析上例：觀(guān)察上數(shù)列觀(guān)察上數(shù)列,可發(fā)現(xiàn)規(guī)律可發(fā)現(xiàn)規(guī)律:后一后一 個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大5,故第故第n個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為3+5(n- 1)=5n-2,所以所以5n-22000,解得解得:n400.4,則則 答案為答案為5401-2=2003. 通過(guò)上例請(qǐng)總結(jié)如何從數(shù)通過(guò)上例請(qǐng)總結(jié)如何從數(shù) 字規(guī)律探索型中探索規(guī)律字規(guī)律探索型中探索規(guī)律? ? 對(duì)于此類(lèi)型的題目對(duì)于此類(lèi)型的題目,我們應(yīng)該我們應(yīng)該 先觀(guān)察排列的規(guī)律先觀(guān)察排列的規(guī)律, 然后把它然后把它 們轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)們轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù),并根據(jù)規(guī)律用并根據(jù)規(guī)律用 代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等 式等數(shù)學(xué)模型表示事物的數(shù)式等數(shù)學(xué)模型表示事物的數(shù) 量關(guān)系、變化規(guī)律的過(guò)程。量關(guān)系、變化規(guī)律的過(guò)程。 學(xué)學(xué) 生生 總總 結(jié)結(jié) 第第1 1列列第第2 2列列第第3 3列列