2020年中考復(fù)習(xí) 幾何代數(shù)綜合題專題匯編

1、2020年中考復(fù)習(xí) 幾何代數(shù)綜合題的解法（2）1.(2018。永州)如圖，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），拋物線與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，3）.（1） 求拋物線的解析式；（2） 已知點(diǎn)F（0，-3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG+FG最小？如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3） 如圖，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M，N都在拋物線對稱軸的右側(cè)），當(dāng)MN最大時(shí)，求PON的面積。解析：(1)設(shè)拋物線y=a(x-1)2+4，將點(diǎn)E（0，3）代入求a，化為一般式得：y=-x2+2x

2、+3。（2） 作E關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)E ，連接FE交對稱軸于點(diǎn)P。由題 意可得E(2，3)，設(shè)直線解析式為y=kx+b，將E(2，3)，F(xiàn)（0，-3）兩點(diǎn)代入可得y=3x-3，當(dāng)X=1時(shí)，y=0，所以P（1，0）.根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，可知存在點(diǎn)G（P），使得EG+FG最小。（3） 設(shè)點(diǎn)N（n, -n2+2n+3）,過點(diǎn)N作NHOB,NGOA,垂足分別為點(diǎn)G、H。知道A(1,4), B（0，3）可求得直線AB的解析式：Y=-2X+6，這樣可得D（n,-2n+6），進(jìn)而求得ND=-n2+4n-3.由題意可得NMDBHDBFA,所以,BF=2,FA=4,這樣MN=又知1n3,所以當(dāng)n=2時(shí)，MN最大

3、，此時(shí)N(2，3).設(shè)直線PN解析式為y=x+b，N點(diǎn)代入得，y=x+2，所以PO=2.故PON的面積 =PONG=22=2.2.（2018.玉林）如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)p，連接PB，得PCBBOA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)M是點(diǎn)C，F(xiàn)間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.（1） 直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2） 當(dāng)m為何值時(shí)，MAB的面積S取得最小值和最大值？請說明理由；（3） 求滿足MPO=POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)。解析：(1)由PCBBOA可得

4、PC=OB=3,BC=OA=1,所以P（3，4），（0，4）.將P（3，4），C（0，4）代入解析式得，b=3, c=4，所以拋物線y=-x2+3x+4。（2） 過點(diǎn)M作MNx軸，垂足為N，則SAMB=S梯形MNOB-SAOB-SAMN,代入整理得；SAMB=-（m-3）2+5,又知0m4，且a=-1, Y0時(shí)，求BDF的面積的最大值；當(dāng)AEF=DBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。解析：（1）將A(-1,0),B(3,0),C（0，3）代入拋物線解析式：可得a=-1,b=2,c=3,所以y=-x2+2x+3.(2) 過點(diǎn)F作FGy軸,交DB于點(diǎn)G。利用兩點(diǎn)法可求得直線DB的解析式：y=-2x+6，則FG=

5、-x2+4x-3.所以SDBF=(-x2+4x-3)2 =-(x-2)2+1由-0，知當(dāng)x=2時(shí)，三角形的面積最大為1.當(dāng)AEF=DBE時(shí)，有如圖兩種情況，因?yàn)镋FDB，所以斜率相同，k值為-2，又知道過點(diǎn)E，可求得EF的解析式：y=-2x+2將其與y=-x2+2x+3建立方程組可得F（2-，2-2）.由對稱性可求得在橫軸下方時(shí)的解析式：y=2x-2再與y=-x2+2x+3建立方程組，可得F（-，-2-2）。4.（2018.衡陽）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，連接CP，過

6、點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E。（1） 求拋物線的解析式；（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)p不與O，B重合）上運(yùn)動至何處時(shí)，線段OE的長有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3） 在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN，MB，請問：MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1）將點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入拋物線解析式可求得，b=-2,c=-3,所以y=x2-2x-3.(3) 通過同角的余角相等得EPO=PCB, EOP=PBC-900,得EPOPCB，所以,設(shè)OE=y，OP=x，則y=-x2+x=-(x-)2+(0x3)又-0，所以當(dāng)x=時(shí)，OE有最

7、大值為。(4) 過點(diǎn)M作MGy軸，交BN于點(diǎn)G，設(shè)M（m,m2-2m-3）。由N、B兩點(diǎn)可求得直線BN的解析式：Y=x-3，可得G（m,m-3），則GM=-m2+3m，所以SMBN=（-m2+3m）3=-（m-）2+.當(dāng)M(，-)時(shí)，BMN的面積取得最大值。5.（2019.常德）如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），與坐標(biāo)軸交于B，C，D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）.（1）二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)的圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動點(diǎn)M，N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過點(diǎn)M，N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G，H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；（3）當(dāng)矩形MNHG的

8、周長最大時(shí)，能否在二次函數(shù)的圖象上找到一點(diǎn)P，使PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1）設(shè)拋物線為y=a(x-1)2+4，將B（-1，0）代入求a，可得：y=-x2+2x+3.(2) 設(shè)M(x2,c),N（x1,c），則x1,x2是方程x2-2x+c-3=0的兩根，所以配方及根與系數(shù)關(guān)系得：MN=x2-x1=，設(shè)4-c=t2,則c=4-t2，矩形MNHG的周長=2（NH+MN）=2(4-t2+2t)=-2(t-1)2+10.因?yàn)?20，所以當(dāng)t=1時(shí)，矩形MNHG的周長最大值為10.(3) 由（2）知當(dāng)t=1時(shí)，c=3，此時(shí)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即

9、NH=3,MN=2,可求得矩形面積為6，這樣就知道了SPNC=.當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，直線DC解析式為：y=-x+3，設(shè)M（m,-m2+2m+3）,則H(m,-m+3)。所以PH=-m2+3m,SPNC=（-m2+3m）3=，解方程得m=.當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，SPNC=S梯形EPNO+SNOC-SPEC, 整理得=解得：m1=,m2=因此，該點(diǎn)橫坐標(biāo)為m=或m1=或m2=.6.（2019.益陽)在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為A的拋物線與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，已知A(1,4),B（3，0）.（1） 求拋物線的解析式；（2） 探究：如圖，連接OA，過點(diǎn)D作DEOA交BA的延長線于點(diǎn)E，連接

10、OE交AD于點(diǎn)F，M是BE的中點(diǎn)，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；（3） 應(yīng)用：如圖，P(m, n )是拋物線在第四象限的圖象上的點(diǎn)，且m+n=-1，連接PA,PC，在線段PC上確定一點(diǎn)N，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點(diǎn)N的坐標(biāo)。解析：（1）設(shè)拋物線y=a(x-1)2+4，將點(diǎn)B（3，0）可求a值，得y=-x2+2x+3.(2) 因?yàn)镸點(diǎn)為EB的中點(diǎn)，所以有SEOM=SBOM ,又DEAO,所以SEOA=SDOA , 因此有SDOF=SAEF , S四邊形ADOM=SBOM , 即OM能將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分。（4） 連接AC，過點(diǎn)D作DHAC,

11、交PC的延長線于H,連接AH，就將此問題轉(zhuǎn)化為（2）來解決了。根據(jù)題意可求得P(4,-5),再求出直線PC的解析 式：y=-x-1，AC的解析式：y=2x+2,直線DH的解析式：y=2x+3.再由y=-x-1與y=2x+3組成 方程組可求得H（- ， ）。再求出PH的中點(diǎn)坐標(biāo)N（，-）。7.（2019.山西）如圖，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（1m4）.連接AC，BC，DB，DC。（1） 求拋物線的解析式；（2） 當(dāng)BCD的面積等于AOC的面積的時(shí)，求m的值；（3） 在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動

12、點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1）將A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+6中可求得，a,b的值，所以y=-x2+x+6.(3) 過D作DEy軸，交BC于點(diǎn)E.由B(4,0)，C（0，6）可得直線BC的解析式：y=-x+6, E(m ,-m+6)所以DE=-m2+3m.所以SAOC=DE4,即26=2（-m2+3m）解得：m1=3,m2=1（舍去）(3)由（2）可知D（3，），D、B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，當(dāng)以DB為邊時(shí)N點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該為，分別代入y=-x2+x+

13、6可求主得相應(yīng)的N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，N1（1-，-），N4（1+，-）是由點(diǎn)B平移得到的，則M1，M4就應(yīng)該是D點(diǎn)平移得到的M1(-,0),M4(,0).N2(-1,)J 由D點(diǎn)平移得到的，所以M2(0,0)以BD為對角線，此時(shí)DN3x軸，交拋物線于N3，由對稱性知N3(-1,)向右平移得到D，所以B向右平移可得到M3（8，0）故以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(-,0),M4(,0)，M2(0,0)，M3（8，0）。8.（2019.鹽城）如圖，二次函數(shù)y=k（x-1）2+2的圖象與一次函數(shù)y=kx-k+2的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x軸、y軸

14、交于C，D兩點(diǎn)，且k0。（1） 求A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2） 若OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k的值；（3） 二次函數(shù)的圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ODC=2BEC?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。解析：（1）將y=k（x-1）2+2與y=kx-k+2建立方程組，解得：x1=1 , x2=2所以A(1,2) , B(2, 2+k )。（3） 由（1）知A(1,2) , B(2, 2+k )，根據(jù) 勾股定理可得0A2=5,AB2=k2+1， OB2=4+(2+k)2.當(dāng)OA=OB時(shí)，得4+(2+k)2=5，解得：k= -1或k=-3.當(dāng)OA=AB時(shí)，有k2+1=5

15、，解得：k=2, 因?yàn)閗0，所以k=-2。因此，OAB以O(shè)A為腰的等腰三角形，k= -1或k=-3或k=-2。(4) 當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，連接BE，作BE的垂直平分線交x軸于F，連接FB，則BFH=2BEC，過B作BHx軸，垂足為H.設(shè)BF=FE=m，BH=2+k，F(xiàn)H=2-1-m=1-m。由勾股定理得(1-m)2+(2+k)2=m2 ,解得：m=,所以FH=。又C（1-，0），所以O(shè)C=1-， OD=2-k。當(dāng)BFH=ODC=時(shí)，有，即，解得，k=因?yàn)閗0，所以k=-。當(dāng)點(diǎn)Bx軸下方時(shí)，如圖同理可求得k=因?yàn)閗0，所以k=.9.(2019.張家界)已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)過點(diǎn)A

16、（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC=3.(1) 求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3) 點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖象上一動點(diǎn)，當(dāng)PBC的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；(4) 若點(diǎn)Q為線段OC上的一動點(diǎn)，問AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由。解析：（1）將A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，代入y=ax2+bx+3中，可得a、b的值，所以y=x2-4x+3.配成頂點(diǎn)式，可得D(2,-1).（2）已知A（1，0），B（3，0）D(2,-1)，由勾股定理逆定理可得BD

17、A=900，由對稱性知AD=BD,所以DBA=DAB=450,又知OB=OC,所以MBA=MAB=450,故四邊形ADBM為正方形；（3）過點(diǎn)P作PHy軸，交BC于H，設(shè)P（m,m2-4m+3）,則H(m,-m+3),可得PH=-m2+3m.SPCB=(-m2+3m)3 =-(m-)2+(0m3)所以當(dāng)m=時(shí)，P（，-）PBC的面積最大(4)以C為頂點(diǎn)CO為一邊作300角，交x軸于G，過Q作QFCG，垂足為F。根據(jù)垂線段最短知當(dāng)A、Q、F在一條直線時(shí)AQ+QF最小，又知QF=QC，所以此時(shí) AQ+=QC值最小。因?yàn)镺G=3，GC0=GAF=300所以O(shè)G=,所以AG=1+，解三角形得AF=（1

18、+） =。10.（2019.岳陽)如圖，AOB的三個(gè)頂點(diǎn)A，O，B分別落在拋物線y=x2+x上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-2。（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）（1） 求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2） 將AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900得到AOB，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M為拋物線的對稱軸上一定點(diǎn)，且A恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，連接OM，AM，求AOM的面積；（3） 如圖，延長OB交拋物線于點(diǎn)C，連接AC，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得以A，O，D為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明 理由。解析：（1）將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)-4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)-2，分別代入y=x

19、2+x可得A(-4,-4),B(-1,-2).(2) 由AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900得到AOB得，B(2,1)，A(4,-4),將B，A兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4建立方程組可求得a=,b=-3,所以y=x2-3x+4,可得對稱軸x=6. 另外直線OA解析式可求是y=-x。因?yàn)锳恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，所以AMOA。設(shè)直線AM的解析式為：y=x+b，將A（4，-4）代入得，b=-8，即y=x-8, 當(dāng)x=6時(shí)，y=-2，所以M（6，-2），OA=4,AM=2.因此 SOAM=OAAM=8.(3) 直線OB過原點(diǎn)，可求其解析式為：y=-x，將其與y=x2-3x+4建立方程組可得C（8，-4）知ACx軸，容易得CAO=1350，因?yàn)镺A與x軸夾角是450，所以AOD中，只能是DOA=1350,點(diǎn)D應(yīng)該在x、y的正半軸上。當(dāng)AOD與AOC相似有以下四種情況：若AODOAC，則, 這里OA=4,OA=4,AC=4.所以O(shè)D=4，D（0，