大學(xué)物理03剛體力學(xué)基礎(chǔ)

1、第第 3 章章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體力學(xué)基礎(chǔ) 第第 3 章章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體力學(xué)基礎(chǔ) 3.1 剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述 3.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理 3.3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 3.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理 3.6 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 3.7 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) 剛體：剛體： 既考慮物體的質(zhì)量既考慮物體的質(zhì)量, 又考慮形狀和大小，但忽又考慮形狀和大小，但忽 略其形變的略其形變的物體模型物體模型。 3.1 剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述 剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任

2、意兩質(zhì)量元之間剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間 相對(duì)距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。相對(duì)距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。 一、剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式一、剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式 可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問題?？梢杂觅|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問題。 剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻具有相同的速度和加速度。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻具有相同的速度和加速度。 1. 平動(dòng)平動(dòng) 剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行。剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行。 a. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) b. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 如：門、如：門、 窗的轉(zhuǎn)動(dòng)等。窗的轉(zhuǎn)動(dòng)等。 如：陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)。如：陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)。 3. 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) 可以分解

3、為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動(dòng)平可以分解為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動(dòng)平 面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)都平行于某一固定平面。剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)都平行于某一固定平面。 如：車輪滾動(dòng)。如：車輪滾動(dòng)。 可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢苑纸鉃殡S質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。 4. 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng) 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(即轉(zhuǎn)軸即轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng)。作圓周運(yùn)動(dòng)。 2. 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 研究方法：研究方法：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上 各點(diǎn)具有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各點(diǎn)具有相同的運(yùn)

4、動(dòng)狀態(tài)(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研 究剛體內(nèi)某一究剛體內(nèi)某一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面垂直于轉(zhuǎn)軸的平面(轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面)上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 就可了解整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。就可了解整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。 轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心O，參考軸，參考軸x， 1. 剛體的角位置與角位移剛體的角位置與角位移 2. 剛體的角速度剛體的角速度 角加速度角加速度 t d d 二、二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 角量角量 x O P r 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 2 2 d d t P點(diǎn)：角位置點(diǎn)：角位置 角位移角位移 3. . 線量與角量的關(guān)系：線量與角量的關(guān)系： t v at d d

5、2 2 r r v an 的的單單位位分分別別是是 SI:.rad/srad/s,rad, 2 rv rv 角速度角速度 的方向：的方向： r v / 角加速度的方向：角加速度的方向： 加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者反方向。加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者反方向。 r t r d d 對(duì)于對(duì)于勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：，則有： t 0 2 2 1 00 tt )(2 0 2 0 2 式中：式中： 00 , 是是 t =0 時(shí)刻的角速度和角位置時(shí)刻的角速度和角位置。 說(shuō)明：說(shuō)明：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)具有相同的角量，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)具有相同的角量， 但不同位置的

6、質(zhì)點(diǎn)具有不同的線量。但不同位置的質(zhì)點(diǎn)具有不同的線量。 勻加速直線運(yùn)動(dòng)：勻加速直線運(yùn)動(dòng)： )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 xxavv attvxx atvv 剛體是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，描述質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：剛體是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，描述質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程： t L M d d 1. 剛體是質(zhì)點(diǎn)系，剛體所受關(guān)于原點(diǎn)剛體是質(zhì)點(diǎn)系，剛體所受關(guān)于原點(diǎn)O 的力矩的力矩 等于合外力矩。等于合外力矩。 2. 只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩 Mz ，而平行于轉(zhuǎn)軸的外力分量產(chǎn)生的力矩，而平行于轉(zhuǎn)軸的外力分量產(chǎn)生的力矩 Mxy 則被軸則被軸 承上支承

7、力的力矩所抵消。承上支承力的力矩所抵消。 3.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理 一、剛體所受的力矩一、剛體所受的力矩 說(shuō)明說(shuō)明 o x y z F 取慣性坐標(biāo)系取慣性坐標(biāo)系 ， xyz o 軸為固定轉(zhuǎn)軸z F i 設(shè)第設(shè)第 i 個(gè)質(zhì)元受外力個(gè)質(zhì)元受外力 ， F i 并假定并假定 垂直于轉(zhuǎn)軸。垂直于轉(zhuǎn)軸。 iii FRM 軸軸z/ ii rooR x y z o o Ri F i i r i m i o o iii FrooM iii FrFoo 軸軸z 也被抵消也被抵消 iiiiiiz FrFrMsin 所受關(guān)于所受關(guān)于O 點(diǎn)的外力矩為：點(diǎn)的外力矩為： 剛體所受的關(guān)于定軸的合力矩：剛體

8、所受的關(guān)于定軸的合力矩： i iii i izz FrMMsin 剛體所受的關(guān)于剛體所受的關(guān)于O 的角動(dòng)量：的角動(dòng)量： )( i iii i i vmRLL iiiiii RvLrRzv ),( iiii vmRL 共面共面 iiiz LLsin 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 x z o o i R i r i m o o i v i L i y i iiii vmRsin iii vmr 對(duì)整個(gè)剛體：對(duì)整個(gè)剛體： i izz LL JLz 稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 為剛體關(guān)于轉(zhuǎn)軸為剛體關(guān)于轉(zhuǎn)軸 z 的角動(dòng)量。的角動(dòng)量。 2 i i ir m

9、J i ii i iii rmvmr)( 2 關(guān)于剛體角動(dòng)量的補(bǔ)充說(shuō)明關(guān)于剛體角動(dòng)量的補(bǔ)充說(shuō)明 m m b b L R sinbvrv vmrL sin22 2 mbmbvL 222 2sin2sinmRmbLLz J 結(jié)論：結(jié)論： 1、角動(dòng)量和角速度一般并不在同一個(gè)、角動(dòng)量和角速度一般并不在同一個(gè) 方向上方向上 2、角動(dòng)量與角速度在數(shù)值上也并不是、角動(dòng)量與角速度在數(shù)值上也并不是 以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為比例系數(shù)的正比關(guān)系以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為比例系數(shù)的正比關(guān)系 t L M z z d d 得到：得到： t J M d d J t JM d d = 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中J不

10、變不變， 則有：則有： 由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理： t L M d d 對(duì)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有：對(duì)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有： zz MMJL 而且而且 剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角 加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量成反比。量成反比。 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 推廣到推廣到 J 可變可變情形：情形： JtMdd 00 000 dd JJJtM J J t t t t tM 0 d稱為在稱為在 t0 到到 t t 時(shí)間內(nèi)作用在剛體時(shí)間內(nèi)作用在剛體 上的上的角沖量角沖量。 剛體定

11、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 是關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。是關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。 (與與 F = ma 比較比較) J t JM d d = 例例 3-1 定滑輪：定滑輪：m， r，J ，物體：，物體：m1， m2， 輕繩不能伸輕繩不能伸 長(zhǎng)，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。長(zhǎng)，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。 amTgm 111 amgmT 222 JrTrT 21 解：解： 由于考慮滑輪的質(zhì)量，由于考慮滑輪的質(zhì)量， 21 TT 問題中包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。問題中包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。 輪不打滑：輪不打滑： ra 聯(lián)立方程，可解得聯(lián)立方程，可解得 T1

12、 ，T2，a， 。 此裝置稱阿特伍德機(jī)此裝置稱阿特伍德機(jī)可用于測(cè)量重力加速度可用于測(cè)量重力加速度 g gm 1 gm 2 1 T 1 T 2 T 2 T a a r 例例3-2 均質(zhì)細(xì)棒：均質(zhì)細(xì)棒： m ， l ，對(duì)水平軸，對(duì)水平軸O： ，鉛，鉛 直位置時(shí)，一直位置時(shí)，一水平力水平力 F 作用于距作用于距 O為為 l 處，計(jì)算處，計(jì)算O 軸對(duì)棒軸對(duì)棒 的作用力的作用力( (稱軸反力稱軸反力) )。 2 3 1 mlJ F l O 解：解： JlF xx maNF c yy mamgN c 得：得： 1 2 3 l l FN x mgN y 設(shè)軸反力為設(shè)軸反力為 Nx，Ny。 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由轉(zhuǎn)動(dòng)

13、定律： 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律： 當(dāng)當(dāng) l =2l/3 時(shí)，時(shí)， Nx =0 ，此時(shí)的打擊點(diǎn)稱，此時(shí)的打擊點(diǎn)稱打擊中心打擊中心。 l 2l/3 時(shí)，時(shí)，Nx 0 ，l 2l/3 時(shí)，時(shí)， Nx 0 。 y N x N gm c 討論：討論： 2 2 l m 2 l m 0 例例3-3 半徑為半徑為 R1 和和 R2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J1 和和 J2 的兩個(gè)圓的兩個(gè)圓 柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為 0，現(xiàn)，現(xiàn) 將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶 著轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)

14、相對(duì)滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿著轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿 相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓柱的最終角速度多大？相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓柱的最終角速度多大？ 11 , RJ 22 , RJ 0 11 , RJ 22 , RJ 0 設(shè)垂直于紙面向里為正向：設(shè)垂直于紙面向里為正向： 01111 JJtfR 無(wú)相對(duì)滑動(dòng)：無(wú)相對(duì)滑動(dòng)： 2211 RR 2 12 2 21 0211 2 RJRJ RRJ 分別對(duì)分別對(duì) o1 軸和軸和 o2 軸運(yùn)用角動(dòng)量定理。軸運(yùn)用角動(dòng)量定理。解：解： ff o1 1 N f 1 F o2 2 F 2 f N 222 JtRf 定義：定義： i iir m

15、J 2 1. 剛體由分立的質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)：剛體由分立的質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)： i iir mJ 2 2. 剛體為質(zhì)量連續(xù)體時(shí)：剛體為質(zhì)量連續(xù)體時(shí)： mrJd 2 單位單位( SI )： 2 mkg 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形 狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算 3.3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例3-4 求均質(zhì)細(xì)棒求均質(zhì)細(xì)棒( m ，l ) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： (1) 轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直，轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直， (2) 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒

16、垂直。轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直。 解：解： x l m mdd mxJd 2 22 12 1 d 2 2 mlxx l m l l l mlxx l m J 0 22 3 1 d (1) (2) 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明 是是關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 mrJd 2 Ox Oxdx dm dx dm 例例3-5 求質(zhì)量求質(zhì)量 m 半徑半徑 R 的的 (1) 均質(zhì)圓環(huán)，均質(zhì)圓環(huán)， (2) 均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤 對(duì)通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：解： d 2 dR R m m mrJd 2 2 0 2 d

17、2 )sin(R R m R 2 2 1 mR (1) 圓環(huán)：圓環(huán)： dsin 2 2 0 2 2 mR dm 2 4 1 mR o dm (2) 圓盤：圓盤： d2d 2 R m m mJJd 2 1 d 2 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)?？梢?，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)。 R R m 0 2 2 d2 2 1 剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 等于對(duì)通過質(zhì)心的平行等于對(duì)通過質(zhì)心的平行 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jc 加上剛體質(zhì)量加上剛體質(zhì)量 m 乘以兩平行轉(zhuǎn)軸乘以兩平行轉(zhuǎn)軸 間距離間距離 d 的平方。的平方。 2 c mdJJ 2 ioioi i ioi r

18、rmrmJ i iii drdrm cc i ii i ii rmdmdrm c 22 c 2 證明：證明： 0 c rm 二、平行軸定理二、平行軸定理 c o JcJ d io r c i r mi 2 c mdJ 例例3-6 計(jì)算掛鐘擺錘對(duì)計(jì)算掛鐘擺錘對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 m l 1 O m R 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 RlmRmlmJ 21 JJJ 2 11 3 1 lmJ 2 c2 mdJJ 解：解： 2 2 2 2 2 1 RlmRm 例例3-7 設(shè)一薄板，已知對(duì)板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分設(shè)一薄板，已知對(duì)板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分 別為別為Jx、Jy，

19、計(jì)算板對(duì)，計(jì)算板對(duì)z 軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz。 O x y z 解：解： i iiz rmJ 2 xy JJ 稱稱垂直軸定理垂直軸定理 (適用于薄板適用于薄板)。 如圓盤如圓盤(m、R)對(duì)過圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)過圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： yx JJJ yi xi r im i i iii yxm 22 222 2 1 4 1 4 1 mRmRmR 例例3-8 質(zhì)量為質(zhì)量為M=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為的實(shí)心滑輪，半徑為R=0.15m。一。一 根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為 m 的物體。求的物體。求( (1) )由由 靜止開始靜止開始1 1秒鐘后，物體

20、下降的距離。秒鐘后，物體下降的距離。( (2) )繩子的張力。繩子的張力。 解：解：maTmg R a MRTR 2 2 1 )sm(5 88 108 2 2 Mm mg a m)(5 . 215 2 1 2 1 22 ath N)(40516 2 1 T M m T gm 例例3-9 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，點(diǎn)， 距距A端端 l/3 。今使棒從靜止開始由水平位置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)， 求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時(shí)的角垂直位置時(shí)的角 速度和角加速度。速度和角

21、加速度。 解：解： 2 c mdJJ 2 2 2 9 1 612 1 ml l mmlJ 0 0 l g ml mgl J M 2 3 9 6 2 方向：方向： c O B A gm c O B A (2) t JM d d t ml l mg d d 9 1 cos 6 2 dcos 2 3 d l g dcos 2 3 d 2 00 l g l g l g 2 3 sin 2 3 2 1 2 0 2 l g3 0 gm d d 9 1 2 ml 例例3-10 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的 水平面上。若它的初角速度為水平面上。若它的初角速度

22、為 0 0，繞中心，繞中心o o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)旋轉(zhuǎn)，問經(jīng) 過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為 ） drr 解：解： rmgFrMddd rr R m md2d 2 2 2d 2 d R rgrm M mgR R rmgr MM r 3 2d2 d 0 2 2 ! !ddrmgrF R o 2 d2 R rmr t JM d d t mRmgR d d 2 1 3 2 2 0 0 0 d 4 3 d g R t t g R t 4 3 0 t mRmgR d d 2 1 3 2 2 0 0 0 d 4 3 d g R 2 0 8 3 g R 為其轉(zhuǎn)過的角度。為其

23、轉(zhuǎn)過的角度。 mgRM 3 2 t mR d d d d 2 1 2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理： t J M d d 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律：剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng) 對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保 持不變。持不變。 適用于剛體，非剛體和物體系。適用于剛體，非剛體和物體系。 3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 0=M .0 d d t J 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)， 有有 00 JJ 即即(常量常量) 一、一、 剛體剛體( J 不變不變)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒 若若

24、 M=0，則，則 J =常量，而剛體的常量，而剛體的 J 不變，故不變，故 的的 大小，方向保持不變。大小，方向保持不變。 此時(shí)，即使撤去軸承的支撐作用，此時(shí)，即使撤去軸承的支撐作用， 剛體仍將作剛體仍將作 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀 可以作定向裝置。可以作定向裝置。 如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。 o 二、非剛體二、非剛體( J 可變可變)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒 當(dāng)當(dāng) J 增大，增大， 就減小，就減小，當(dāng)當(dāng) J 減小，減小， 就增大。就增大。 常量常量 00 JJ 如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動(dòng)，如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動(dòng)， 恒星塌縮恒星塌縮 (R0， 0) (R，

25、 ) 中子星中子星 的形成等。的形成等。 u 0 人與轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對(duì)豎直人與轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對(duì)豎直 軸的角動(dòng)量守恒：軸的角動(dòng)量守恒： JJ 00 ) 2 1 ( 2 1 22 2 2 10 2 1 tumRmRm 2 2 1 2 2 0 2 1t Rm um 例例3-11 水平轉(zhuǎn)臺(tái)水平轉(zhuǎn)臺(tái)(m1 、 R ) 可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角 速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在臺(tái)中心，相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度立在臺(tái)中心，相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度u沿沿 半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時(shí)間半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時(shí)間 t，臺(tái)轉(zhuǎn)過了多少角度。臺(tái)轉(zhuǎn)過了多少角度。 解：解： t t 0 dd 臺(tái)

26、轉(zhuǎn)過臺(tái)轉(zhuǎn)過的的角度角度： R m m ut m m u R 2/1 1 2 2/1 1 2 0 ) 2 ( arctan ) 2 ( 三、物體系的角動(dòng)量守恒三、物體系的角動(dòng)量守恒 若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對(duì)軸的若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對(duì)軸的 力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒：力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒： 常量常量 i ii J 如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。 角動(dòng)量守恒條件角動(dòng)量守恒條件 例例3-12 摩擦離合器摩擦離合器 飛輪飛輪1：J1、 1 1 摩擦 摩擦輪輪2： J2 靜靜 止，

27、兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。 兩輪對(duì)共同轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒兩輪對(duì)共同轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒 2111 JJJ 21 11 JJ J 解：解： 試與下例的齒輪試與下例的齒輪嚙合過程比較。嚙合過程比較。 21 例例3-13 兩圓盤形齒輪半徑兩圓盤形齒輪半徑r1 、 r2 ，對(duì)通過盤心垂直于對(duì)通過盤心垂直于 盤面轉(zhuǎn)軸的盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1 、 J2，開始開始 1 1輪以輪以 0 0轉(zhuǎn)動(dòng)，然轉(zhuǎn)動(dòng)，然 后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。 兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故對(duì)兩軸分兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故對(duì)兩軸分

28、 別用角動(dòng)量定理：別用角動(dòng)量定理： 01111d JJtFr 222d JtFr 2211 rr 得：得： 2 21 2 12 2 201 1 rJrJ rJ 2 21 2 12 2101 2 rJrJ rrJ 解：解： 0 1 2 2 F 1 例例3-14 均質(zhì)細(xì)棒：均質(zhì)細(xì)棒：m1、 l ，水平軸水平軸O，小球：，小球：m2與棒與棒 相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如圖，設(shè)碰撞時(shí)間很短，棒保如圖，設(shè)碰撞時(shí)間很短，棒保 持豎直，求碰后棒的角速度。持豎直，求碰后棒的角速度。 v v 系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O軸角動(dòng)量守恒軸角動(dòng)量守恒 2 2 13 1 2 v lmlmlvm lm vvm 1 2 3 注意：

29、注意：系統(tǒng)總動(dòng)量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。系統(tǒng)總動(dòng)量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。 只當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，只當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，Nx=0，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒：，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒： 解：解： vmlmvmvmvm 212 1 2c12 3 2 2 2 13 1 3 2 2 )(v lmlmlvm v v O 一、一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 ii iiii rmvmE 222 k 2 1 2 1 2 c mdJJ 22 ck 2 1 mdJE 2 c 2 c 2 1 2 1 mvJ 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和隨質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為剛體繞過質(zhì)

30、心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和隨質(zhì)心 （繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)）的平動(dòng)。（繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)）的平動(dòng)。 2 2 1 J 2 c 2 1 mv 3.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理 o c 由平行軸定理：由平行軸定理： 222 c 2 1 2 1 mdJ 二、力矩的功二、力矩的功 1. 平行于定軸的外力對(duì)質(zhì)元不做功。平行于定軸的外力對(duì)質(zhì)元不做功。 2. 由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對(duì)距離不由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對(duì)距離不 變，一對(duì)內(nèi)力做功之和為零。變，一對(duì)內(nèi)力做功之和為零。 ijijij rfA dd i i AA i ij ijii rfFA d)( ijijij rrr d)(d ijijij frr 說(shuō)明說(shuō)明

31、r ij i r d j r d ijij rr d ij r d i j 0 iiiiii sFrFAdcosdd d i M 合外力對(duì)剛體做的元功：合外力對(duì)剛體做的元功： i i i i MAAddd 力矩的功：力矩的功： 0 dMA 功率：功率： t A P d d z P r i F i d i s d i 設(shè)作用在質(zhì)元設(shè)作用在質(zhì)元 mi上的外力上的外力 位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。 i F iiii rFdsin dM M t M d d 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 t JM d d 2 0 2 2 1 2 1 dd 00 JJJMA 合外力矩對(duì)剛體所作

32、的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 d d d d d d J t J 四、剛體的重力勢(shì)能四、剛體的重力勢(shì)能 以地面為勢(shì)能零點(diǎn)，剛體和地球以地面為勢(shì)能零點(diǎn)，剛體和地球 系統(tǒng)的重力勢(shì)能：系統(tǒng)的重力勢(shì)能： i ii gzmEp gmi z O i c r i ii m zm mg c mgz 五、五、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理 將重力矩作的功用重力勢(shì)能差表示：將重力矩作的功用重力勢(shì)能差表示： )(d 0ccp 0 mgzmgzM 得得 ) 2 1 () 2 1 (d 2 00c 2 c 0 JmgzJmgzM 其中，其中，M是除重力以外的

33、其它外力矩。是除重力以外的其它外力矩。 剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的機(jī)械能守恒定律 2 0 2 2 1 2 1 JJA 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理 若若M=0，則則 常量 2 c 2 1 Jmgz 例例 3-15 均質(zhì)細(xì)棒均質(zhì)細(xì)棒m， l ，水平軸水平軸O，開始棒處于水平狀態(tài)，開始棒處于水平狀態(tài)， 由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時(shí)：由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時(shí)： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，(3) 質(zhì)心的加速度，質(zhì)心的加速度，(4) 軸的支反力。軸的支反力。 解：解： 0 22 1 2 l mgJ l g3 (2) 2 k 2 1 JE

34、(3) 2 3 2 2 cn g l a F x F y 0 ct maFx(4) cn mamgFymgmgmgFy 2 5 2 3 (1) 2 l mg 0 2 ct l a 例例3-16 細(xì)桿細(xì)桿A ： (m, L)可繞可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，水平處?kù)o止釋放，水平處?kù)o止釋放， 在豎直位置與靜止物塊在豎直位置與靜止物塊B； (m) 發(fā)生彈性碰撞，求碰后發(fā)生彈性碰撞，求碰后： (1) vB B ，(2) 2 ， (3) max 。 2 1 2 1 2 1 JmgL L g mLJ 3 3 1 1 2 解：解： 22 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 B B mvJJ LmvJJ L g g

35、LvB 3 2 1 3 2 1 2 碰后反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。碰后反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。 B A max 2 2 cos1 2 1 2 1 mgLJ 1 .41 4 3 cos maxmax B A 例例3-17 圓錐體圓錐體R，h，J，表面有淺槽，令以，表面有淺槽，令以0轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)， 小滑塊小滑塊m 由靜止從頂端下滑，不計(jì)摩擦，求滑到底部滑由靜止從頂端下滑，不計(jì)摩擦，求滑到底部滑 塊速度塊速度、圓錐體角速度。圓錐體角速度。 解：解： 系統(tǒng)機(jī)械能守恒：系統(tǒng)機(jī)械能守恒： )( 2 1 2 1 2 1 22222 0 RumJmghJ h R u 對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒：對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒： ) 2 0 mRJJ （

36、 討論剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。討論剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。 回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對(duì)稱的剛體繞對(duì)稱回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對(duì)稱的剛體繞對(duì)稱 軸軸高速自轉(zhuǎn)高速自轉(zhuǎn)的裝置。的裝置。 當(dāng)當(dāng) M =0 時(shí)，角動(dòng)量及角速度矢量保持恒定時(shí)，角動(dòng)量及角速度矢量保持恒定 定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀。 當(dāng)當(dāng) 回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用時(shí)，如：陀螺傾斜回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用時(shí)，如：陀螺傾斜 ？ 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 回轉(zhuǎn)效應(yīng)?；剞D(zhuǎn)效應(yīng)。 3.6 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 設(shè)陀螺質(zhì)量為設(shè)陀螺質(zhì)量為m，以角速度，以角速度 自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)。 重力對(duì)固定點(diǎn)重力對(duì)固定點(diǎn)o o的力矩：的力矩： gmrM sinmgrM 繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量： c JL

37、 由角動(dòng)量定理的微分式：由角動(dòng)量定理的微分式： tMLdd 顯然，顯然， ,LM L時(shí)刻改變方向而大小不變時(shí)刻改變方向而大小不變進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)。 1. 陀螺陀螺 mg o r L d d LL d tmgrtMLdsindd dsindsind c JLL tmgrJdsindsin c c d d J mgr t 進(jìn)動(dòng)角速度：進(jìn)動(dòng)角速度： 2. 進(jìn)動(dòng)軸通過定點(diǎn)且與外力平行。進(jìn)動(dòng)軸通過定點(diǎn)且與外力平行。 1. (或或p)與與 有關(guān)有關(guān)，與與無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。 3. 進(jìn)動(dòng)方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。進(jìn)動(dòng)方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。 4. 較小時(shí)，較小時(shí)， 有周期性變化，稱為有周期性變化，稱為章

38、動(dòng)章動(dòng)。 L LL d L d d o 說(shuō)明說(shuō)明 改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？ mg o r L d LL d L 2. 杠桿回轉(zhuǎn)儀杠桿回轉(zhuǎn)儀 當(dāng)重物移近時(shí)，受力矩當(dāng)重物移近時(shí)，受力矩 M 作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。 平衡時(shí)，保持平衡時(shí)，保持 大小方向不變。大小方向不變。 c JL c pc d d ddd J M t JLL d L d )(tL )d(ttL o 俯視圖俯視圖 M tMLdd 回轉(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：飛機(jī)，輪船，導(dǎo)彈中的指向儀，回轉(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：飛機(jī)，輪船，導(dǎo)彈中的指向儀， 炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來(lái)復(fù)線。炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來(lái)復(fù)線。 改變方向，情況如何？改變方向，情況如何

39、？ p M 改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？ L d d )(tL )d(ttL o 俯視圖俯視圖 M 3.7 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) 基本方程：基本方程： 平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng) 自由度：自由度：3 平動(dòng)（平動(dòng)（2）+ 轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)（1） 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律： t v mF c d d 相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理：相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理： t L M d d t v mF c d d t JM d d 若外力為保守力，則機(jī)械能守恒：若外力為保守力，則機(jī)械能守恒： EVJmvc 22 2 1 2 1 不是獨(dú)立方程！不是獨(dú)立方程！ 若運(yùn)動(dòng)受到約束，則所受外力中除主動(dòng)力外還存

40、在著約束力，而若運(yùn)動(dòng)受到約束，則所受外力中除主動(dòng)力外還存在著約束力，而 約束力在解出運(yùn)動(dòng)前是未知的，因此除基本方程外還需列出相應(yīng)的約束力在解出運(yùn)動(dòng)前是未知的，因此除基本方程外還需列出相應(yīng)的 約束方程，才能構(gòu)成完整的方程組。約束方程，才能構(gòu)成完整的方程組。 c maF cc JFdM 2 c 12 1 mlJ 2 c 12 ml Fd m F a 解：解： d =0 時(shí)，時(shí)， =0，剛體只有平動(dòng)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)。，剛體只有平動(dòng)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)。 例例3-18 長(zhǎng)長(zhǎng) l 質(zhì)量質(zhì)量 m 的勻質(zhì)細(xì)桿放在光滑的水平面上，以的勻質(zhì)細(xì)桿放在光滑的水平面上，以 水平力水平力 垂直作用在細(xì)桿上，作用點(diǎn)距質(zhì)心為垂直作用在細(xì)桿上，

41、作用點(diǎn)距質(zhì)心為 d ，計(jì)算，計(jì)算 作用瞬間細(xì)桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。作用瞬間細(xì)桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。 F F c . d F 例例3-19 一勻質(zhì)圓球一勻質(zhì)圓球(r )從靜止開始沿一粗糙斜面純滾動(dòng)從靜止開始沿一粗糙斜面純滾動(dòng) 而下，斜面傾角為而下，斜面傾角為 ，球從上端滾到下端球心高度相差，球從上端滾到下端球心高度相差 為為 h ，計(jì)算小球滾到下端時(shí)質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。，計(jì)算小球滾到下端時(shí)質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。 c gm N F t F 解：解： ct sinmaFmg 0cos N mgF ct JrF ra c sin 7 5 c ga 2 c 5 2 mrJ 純滾動(dòng)條件：

42、純滾動(dòng)條件： rv c gh r7 101 sav cc 2 也可由機(jī)械能守恒計(jì)算：也可由機(jī)械能守恒計(jì)算： 2 c 2 c 2 1 2 1 Jmvmgh gh r7 101 ghha 7 10 sin/2 c sin 7 5 c ga rv c mg N f c mafmgsin JRf Rac )(sin 2 mRJmgR 上式即相對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律上式即相對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)，在一定條件下還可選瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心作剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)，在一定條件下還可選瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心作 為角動(dòng)量定理的參考點(diǎn)。為角動(dòng)量定理的參考點(diǎn)。 瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心（瞬心）瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心（瞬心） 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可看作

43、每一時(shí)刻都繞平面上或平面外某點(diǎn)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可看作每一時(shí)刻都繞平面上或平面外某點(diǎn) 的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，一般而言，此點(diǎn)在不同時(shí)刻在不同的位置上。即的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，一般而言，此點(diǎn)在不同時(shí)刻在不同的位置上。即 轉(zhuǎn)動(dòng)中心是隨時(shí)間改變的，故稱瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。轉(zhuǎn)動(dòng)中心是隨時(shí)間改變的，故稱瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。 A B A B A B A B p A B vA vBA B vA vB vB vA A B 長(zhǎng)長(zhǎng)2l，質(zhì)量，質(zhì)量m，均勻剛性棒，放在光滑水平面上，下端與水平面接，均勻剛性棒，放在光滑水平面上，下端與水平面接 觸。棒的運(yùn)動(dòng)方程？觸。棒的運(yùn)動(dòng)方程？ x y C O p 基本方法基本方法：mgNma c cos c NlJ mg N sin c ly 約束方程約束方程 sincos, cos 2 cc c llya l J N 2 c 3 1 mlJ 最后得最后得0coscossin 3 1 cos 2 l g 利用相對(duì)瞬心的角動(dòng)量定理利用相對(duì)瞬心的角動(dòng)量定理： 222 p cos 3 1 mlmlJ