第五章-相似原理與量綱分析7頁

1、第五章 相似理論與量綱分析51基本要求本章簡單闡述和實(shí)驗(yàn)有關(guān)的一些理論性的基本知識。其中，包括作為模型實(shí)驗(yàn)理論根據(jù)的相似性原理，闡述原型和模型相互關(guān)系的模型律，以及有助于選擇實(shí)驗(yàn)參數(shù)的量綱分析法。5.1.1識記幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似、動(dòng)力相似的定義，Re、Fr、Eu等相似準(zhǔn)則數(shù)的含義，量綱的定義。5.1.2領(lǐng)會流動(dòng)的力學(xué)相似概念，各個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)的物理意義，量綱分析法的應(yīng)用。5.1.3應(yīng)用量綱分析法推導(dǎo)物理公式，利用模型律安排模型實(shí)驗(yàn)。重點(diǎn)：相似原理，相似準(zhǔn)則，量綱分析法。難點(diǎn)：量綱分析法，模型律。52基本知識點(diǎn)521相似的基本概念為使模型流動(dòng)能表現(xiàn)出原型流動(dòng)的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動(dòng)上預(yù)測出原型

2、流動(dòng)的結(jié)果，就必須使兩者在流動(dòng)上相似，即兩個(gè)互為相似流動(dòng)的對應(yīng)部位上對應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動(dòng)應(yīng)滿足幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。原型流動(dòng)用下標(biāo)n表示，模型流動(dòng)用下標(biāo)m表示。1. 幾何相似兩流動(dòng)的對應(yīng)邊長成同一比例，對應(yīng)角相等。即相應(yīng)有 2. 運(yùn)動(dòng)相似兩流動(dòng)的對應(yīng)點(diǎn)上流體速度矢量成同一比例，即對應(yīng)點(diǎn)上速度大小成同一比例，方向相同。相應(yīng)有 ， 3. 動(dòng)力相似兩流動(dòng)的對應(yīng)部位上同名力矢成同一比例，即對應(yīng)的受同名力同時(shí)作用在兩流動(dòng)上，且各同名力方向一致，大小成比例。4. 流動(dòng)相似的含義幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)；動(dòng)力相似是決定二個(gè)流動(dòng)相似的主導(dǎo)因素；運(yùn)動(dòng)相似是幾

3、何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)；凡相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。522相似準(zhǔn)則描述流體運(yùn)動(dòng)和受力關(guān)系的是流體運(yùn)動(dòng)微分方程，兩流動(dòng)要滿足相似條件就必須同時(shí)滿足該方程，利用該方程可得到模型流動(dòng)和原型流動(dòng)在滿足動(dòng)力相似時(shí)各比例系數(shù)之間的約束關(guān)系即相似準(zhǔn)則。常用的相似準(zhǔn)數(shù)為:1. 雷諾數(shù)Re ，Re數(shù)表征了慣性力與粘滯力作用的對比關(guān)系。2. 弗汝德數(shù)Fr ，F(xiàn)r數(shù)表征慣性力與重力作用的對比關(guān)系。3. 歐拉數(shù)Eu ，Eu數(shù)表征壓力與慣性力作用的對比關(guān)系。4. 斯特勞哈勒數(shù)St ，St數(shù)是時(shí)變加速度與位變加速度的比值，標(biāo)志流動(dòng)的非定常性。523模型律1. 模型律的選擇動(dòng)力相似可以用相似準(zhǔn)數(shù)表

4、示，若原型和模型流動(dòng)動(dòng)力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等，如果滿足則稱為完全相似。但同時(shí)滿足所有相似準(zhǔn)數(shù)都相等，在實(shí)際上是很困難的，有時(shí)也是不必要的。實(shí)際上我們往往只需要考慮主要?jiǎng)恿ο嗨?，即只要起主?dǎo)作用的相似準(zhǔn)數(shù)相等即可。要達(dá)到主要?jiǎng)恿ο嗨凭蛻?yīng)該根據(jù)所研究或所需解決的原型流動(dòng)的性質(zhì)來選擇恰當(dāng)?shù)南嗨茰?zhǔn)數(shù)。2. 模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮囼?yàn)步驟：選定；求模型的幾何邊界；選模型律；實(shí)現(xiàn)相似，計(jì)算相應(yīng)物理量。524量綱分析法1. 量綱分析1） 量綱量綱是物理量的單位種類。注意量綱與單位的區(qū)別！基本量綱是具有獨(dú)立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個(gè)基本量綱：長度量綱L、時(shí)間量綱T和質(zhì)量量綱M。導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示。任

5、一物理量均可由基本量綱的指數(shù)乘積的形式來描述：2） 無量綱量無量綱量指物理量的量綱為1，用表示，實(shí)際是一個(gè)數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個(gè)物理量組合而成的綜合物理量。無量綱量可由幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成或由同類量的比值組成。無量綱量的優(yōu)點(diǎn)：客觀；不受運(yùn)動(dòng)規(guī)模的影響；可進(jìn)行超越函數(shù)的運(yùn)算。3） 量綱和諧原理量綱和諧性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個(gè)物理現(xiàn)象或一個(gè)物理過程用一個(gè)物理方程表示時(shí)，方程中各項(xiàng)的量綱應(yīng)該是一致的。推論：（1）凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，都可表示成由無量綱項(xiàng)組成的無量綱方程。（2）量綱和諧原理規(guī)定了一個(gè)物理過程與有關(guān)物理量之間的關(guān)系。2. p定理

6、：對于某個(gè)物理現(xiàn)象，如果存在n個(gè)變量互為函數(shù)，即。而這些變量中含有m個(gè)基本量，則可把這n個(gè)變量成（n-m）個(gè)無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即可合并n個(gè)物理量為（n-m）個(gè)無量綱數(shù)。p定理解題步驟如下：1） 確定關(guān)系式：確定所研究流動(dòng)問題所包含的各個(gè)物理量及其關(guān)系式：2） 確定基本量：從n個(gè)物理量中選取m個(gè)基本物理量作為基本量綱，一般，如A1，A2，A3；3） 確定無量綱變量數(shù)的數(shù)目(n-m)，并寫出其余物理量與基本物理量組成的表達(dá)式：為待定指數(shù)4） 確定無量綱數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各項(xiàng)的指數(shù)，從而定出各無量綱參數(shù)。5） 寫出描述物理現(xiàn)象的關(guān)系式：或者53典型例題例51 某水庫以長度比尺做

7、底孔放空模型實(shí)驗(yàn)，今在模型上測得放空時(shí)間為12小時(shí)，求原型上放空水庫所需的時(shí)間?！窘狻?取 ，即 所以 又 所以 討論：弗汝德數(shù)的適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動(dòng)的各種流動(dòng)（重力起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口出流、明渠流動(dòng)與隧洞流動(dòng)等。本題中水庫內(nèi)水的出流是重力出流，因此選擇重力相似準(zhǔn)則，即弗汝德數(shù)相等。例52 已知某船體長122 m， 航行速度15 m/s，現(xiàn)用船模在水池中實(shí)驗(yàn)船模長3.05 m。求船模應(yīng)以多大速度運(yùn)動(dòng)才能保證與原型相似。若測得船模運(yùn)動(dòng)阻力為20 N，實(shí)物船所受阻力等于多少。【解】 取 ，即 所以 又 所以 例53 有一直徑的輸油管道，輸送運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)為的

8、油，其流量。若在模型中采用直徑為5cm的圓管，求模型中用運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)為的水做試驗(yàn)時(shí)的流量?！窘狻?選用雷諾數(shù)相似準(zhǔn)則，即又， 討論：雷諾數(shù)的適用范圍：主要是受水流阻力即粘滯力作用的流體流動(dòng)，凡是有壓流動(dòng)，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類流動(dòng)相似要求雷諾數(shù)相等。另外，處于水下較深的運(yùn)動(dòng)潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證動(dòng)力相似的。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問題等。例54 一建筑物模型在風(fēng)速為5 m/s時(shí)，迎風(fēng)面壓強(qiáng)為50 N/m2，背風(fēng)面壓強(qiáng)為30 N/m2，若氣溫不變，風(fēng)速增至15 m/s時(shí)，建筑物迎風(fēng)面和背風(fēng)面的壓強(qiáng)各為多少？【解】采用

9、Eu相似準(zhǔn)則， 因?yàn)?所以，迎風(fēng)面壓強(qiáng) 背風(fēng)面壓強(qiáng)討論：一般，兩流動(dòng)的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來保證流動(dòng)相似。例55 假設(shè)流量Q與管徑D、喉管直徑d、流體密度、壓強(qiáng)差及流體的動(dòng)力粘滯系數(shù)有關(guān)，試用定理分析文丘里管的流量表達(dá)式?！窘狻?據(jù)題意擬定函數(shù)關(guān)系式：選擇 D，為獨(dú)立變量，則可建立3個(gè)無量綱數(shù)：對： 1求解上述方程組可得：所以 同理可得 將各數(shù)代入得 討論：從本例題可以看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。但是用量綱分析法所確定的物理方程中包含

10、待定系數(shù)，這個(gè)系數(shù)要通過實(shí)驗(yàn)來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實(shí)驗(yàn)來確定這個(gè)系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。例56 試用量綱分析法證明風(fēng)洞運(yùn)行時(shí)所需功率為，式中N為功率，為流體密度，為動(dòng)力粘性系數(shù)，L為風(fēng)洞的特征長度。【解】 本題共5個(gè)變量，選3個(gè)基本量綱，則無量綱數(shù)為2。選定、L、 為基本量，則，顯見 所以 54習(xí)題1. 當(dāng)水溫為20，平均速度為4.5 m/s，直徑為0.3 m水平管線某段的壓降為68.95 kN/m2。如果用比例為6的模型管線，以空氣為工作流體，當(dāng)平均流速為30 m/s時(shí)，要求在相應(yīng)段產(chǎn)生55.2 kN/m2的壓強(qiáng)降。計(jì)算力學(xué)相似所要求的空氣壓強(qiáng)，設(shè)空

11、氣溫度為20。（答案：15 at）2. 為了確定吸風(fēng)口附近的速度分布，取比例為10作為模型設(shè)計(jì)。模型吸風(fēng)口的流速為13 m/s，距風(fēng)口軸線0.2 m處測得流速為0.5 m/s。若實(shí)際風(fēng)速為18 m/s，怎樣換算成原型流動(dòng)的速度？（答案：0.69 m/s）3. 為研究輸水管道上直徑600 mm閥門的阻力特性，采用直徑300 mm的閥門用氣流做模型實(shí)驗(yàn)。已知輸水管道的流量為0.283 m3/s，水的運(yùn)動(dòng)粘度，空氣的運(yùn)動(dòng)粘度，試求模型的氣流量。（答案：2.26 m3/s）4. 潛艇長50 m，水面航速6 m/s.在水池中作模型試驗(yàn)，以確定該潛艇在水面航行時(shí)的阻力。若船模的幾何尺度是實(shí)船的l/50，求

12、船模在水池中的拖曳速度。（答案：0.85 m/s）5. 溢水堰模型設(shè)計(jì)比例為20，當(dāng)在模型上測得模型流量為時(shí)，水流推力，求實(shí)際流量和推力。（答案：537 m3/s；2400 kN）6. 為了研究汽車的性能，在風(fēng)洞中進(jìn)行汽車的模型試驗(yàn)。已知風(fēng)洞風(fēng)速，測得模型上的阻力。若汽車高，行車速度。試求模型的高度及汽車所受到的阻力。（答案：1 m；1.5 kN）7. 溢流壩泄流模型實(shí)驗(yàn)，模型長度比尺為60，溢流壩的泄流量為500m3s。試求：(1)模型的泄流量； (2)模型的堰上水頭，原型對應(yīng)的堰上水頭是多少？題57圖（答案：；）8. 用油泵抽貯油池中的石油，現(xiàn)需用實(shí)驗(yàn)方法確定最小油位h。已知原型設(shè)備中吸入管直徑，運(yùn)動(dòng)粘度，流量，長度比尺，試確定：（1）模型中運(yùn)動(dòng)粘度，流量，流速（2）若模型中出現(xiàn)漩渦的最小液柱高度，求（答案：，）9. 假設(shè)自由落體的下落距離s與落體的質(zhì)量m、重力加速度g及下落時(shí)間t有關(guān)，試用量綱分析法導(dǎo)出自由落體下落距離的關(guān)系式。 （答案：）10. 一長度為l的物體以速度U在密度為，粘性系數(shù)為的流體中運(yùn)動(dòng)，試以量綱分析的方法導(dǎo)出物體所受到的阻力D的無量綱數(shù)的表示式。（答案：）11.