線性代數 同濟大學3-3

1、1 updown 3 線性方程組的解 一 、線性方程組的解法 二、 線性方程組有解的判定條件 三、 推廣的定理 2 updown 解 1 2 2 1 1 2 2 1 A2 1 2 2 0 3 6 4 一 、 線性方程組的解法 例1 求解齊次線性方程組 x1 2x2 x3 x4 0 x1 x2 4x3 3x4 0 對系數矩陣 A施行初等行變換： x12x3 3x4 0, x2 2x3 x4 0, 3 updown 4 5 3 注意R(A)、R(A,b)、 未知量個數n、自由 未知量個數關系! R(A)=R(A,b) 5 3 1 2 2 4 3 0 0 0 0 即得與原方程組同解的方程組 x1 2

2、x3 x4, 由此即得 x2 2x3 x4, 4 updown 3 4 5 3 R(A)=R(A,b)=2 、n=4、 自由未知量個數=2 =4R(A) ( x3,x4 可任意取值). 令 x3 c1, x4 c2，把它寫成通常的參數 形式 5 3 1 2 x4 0 1 1 2 概念：線性方程組相容 方程組有解 3x1 x2 5x3 3x4 2, 1 2 3 1 1 r2 1 r 1 2 r3 1 r 5 updown 例 求解非齊次線性方程組 x1 2x2 3x3 x4 1, 2x1 x2 2x3 2x4 3. 解對增廣矩陣B進行初等變換， 5 3 2 B3 1 5 3 2 0 5 2 1

3、2 2 3 r3 r2 0 0 1 1 1 2 1 0 0 3 4 04 顯然，R(A) 2, R(B) 3,故方程組無解 R(A)=2 、 R(A,b)= 3、 n=4 概念：線性方程組不相容 方程組無解 1 1 10 1 1 1 1 0 例 求解非齊次方程組的通解 x1 x2 2x3 3x4 1 2 解 對增廣矩陣B進行初等變換 1 3 3 B1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 0 2 up 0 1 1 2 6 1 4 2 down 1 1 0 1 1 2 x3 2x4 1 2 7 updown 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2. 由于RA RB 2, 故方程組有解，且有

4、 x1 x2 x4 1 2 x1 x2 x4 1 2 x2 x 0 x 2 4 x3 0 x2 2x4 1 2 x4 0 x2 x4 R(A)=R(A,b)=2 、 n=4、 自由未知量個數=2 =4R(A) 8 updown 所以方程組的通解為 x2 1 0 0 3 4 其中x2 c1, x4 c2為自由未知量. ( c1, c2 R ) 9 updown 二、線性方程組有解的判定條件 問題： 如何利用系數矩陣 A和增廣矩陣 B的秩， 討論線性方程組 Ax b的解 定理1：n元線性方程組Ax=b (1)無解的充要條件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要條件R(A)=R(A,b)=n (

5、3)有無限多解的充要條件R(A)=R(A,b)n 10 updown 證 定理1：n元線性方程組Ax=b (1)無解的充要條件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要條件R(A)=R(A,b)=n (3)有無限多解的充要條件R(A)=R(A,b)n 設R(A)=r，不妨設 B A,b的行最簡形為 0 d r 1 11 updown (1)若R(A)R(B),則dr+1=1,對應矛盾方程：0=1.方程組無解. B1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b11 b21 br1 0 0 0 b1,n r b2,n r br ,n r 0 0 0 d 1 d 2 d

6、r 0 0 d1 dr n 12 updown 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 d2 dr1 0 0 b1,nr b2,nr br,nr 0 0 0 b11 b21 br1 0 0 0 r BB1 (2)若R(A)=R(B)= r = n, 則dr+1=0或不出現(xiàn), 且bij都不出現(xiàn)， x1 d 1 對應方程組： x 2 d 2 所以方程組解唯一. x n d n d1 dr BB1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 d2 0 0 0 b1,nr b2,nr br,nr 0 0 0 b11 b21 br1 0

7、 0 0 （3）若R(A)=R(B)= r n, 則dr+1=0 或不出現(xiàn),對應方程組： x1 b11xr1 .b1,nrxn d1 . x b x x d 13 up down x2 21xr1 2,nr n d2 b.b x r r1 r1 .br,nr n r 14 updown x1 b11xr1 .b1,nrxn d1 . x b x x d 令自由未知數 xr1 c1 , . , xn cnr 即得方程（2）的含 n-r個參數的解 （3） 15 updown x1 b11xr1 .b1,nrxn d1 . x b x x d x1 b11c1 .b1,nrcnr d1 xr1 c1

8、 xn cnr 16 updown x1 b11 b1,nr d1 . cnr 1 0 0 xn 0 1 0 由于參數 c1 , . , cnr可取任意值，故方程 （2）有無窮多個解，這種含參數的解（4）稱 為線性方程組（1）的通解。 17 updown 定理1：n元線性方程組Ax=b (1)無解的充要條件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要條件R(A)=R(A,b)=n (3)有無限多解的充要條件R(A)=R(A,b)n 證明： （1）必要性是（2）、（3）充分性的逆否命題； 同理可證（2）（3）的必要性。 18 updown Ax b有唯一解小結 RA RB n RA RB n Ax

9、 b有無窮多解. 定理2：n元線性方程組Ax=b 有解的充要條件R(A)=R(A,b) 定理3：n元齊次線性方程組Ax=0 有非零解的充要條件R(A)n 特別的：當A是方陣時，Ax=0 有非零解的 充要條件是 | A |=0 （見教材25頁、77頁） x 2 x 19 updown 有解的充要條件 x2 a1 x3 a2 x4 a3 x5 a4 x1 a5 x1 例 證明方程組 x3 4 x5 是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情況下， 求出它的一切解 證明 對增廣矩陣B進行初等變換， 方程組的增廣矩陣為 B 0 a1 a3 x x 2 x x 4 0 RA RB a3 i 1 ai

10、 20 updown 5 ai 0 5 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 a1 a2 a4 i1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 a2 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 x1 x2 3 x3 x4 5 x5 x1 i 1 ai 0. x3 x4 x3 a3 a4 x5 21 updown 5 是 方程組有解的充要條件 a1 a2 a3 a4 x1 x2 x2 x3 由于原方程組等價于方程組 即 x4 x5 x1 a1 a2 a3 a4 x5 x2 a2 a3 a

11、4 x5 x4 a4 x5 x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5 22 updown x1 a1 a2 a3 a4 x5 由此得通解： x4 a4 x5 2 4 a4 0 （c1 為任意實數） 1 1 2 2 23 updown 例 設有線性方程組 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2 問取何值時 ,有解 ?有無窮多個解 ? 解法1 對增廣矩陣 B (A,b)作初等行變換， 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 24 updown B 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 1 當 1時, 0 1 1 1 1 x2 x2

12、c1 c 0 0 1 0 x 3 25 updown RA RB 3,方程組有無窮多解 . x1 1 x2 x3 其通解為 x3 x3 . x1 1 1 1 x2 1 2 0 c1 , c2 為任意實數 0 1 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 112 1 12 1 1 2 當 1時, 12 0 1 1 2 0 0 2 1 1 26 updown 這時又分兩種情形： 1) 2時,RA RB 3,方程組有唯一解 : ., 2 2 1 2 1 2 x3 x2 x1 2 0 1 1 0 B 0 1 1 2 1 112 1 1 0 27 updown RA RB,故方程組無解 . 2 3

13、 0 2) 2時, 1 1 B 0 3 0 0 0 1 0 4 6 3 2 1 112 1 12 28 updown 例 設有線性方程組 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2 問取何值時,有解?有無窮多個解? 解法2 1 | A| 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)1 1 1 因系數矩陣為方陣，故可用克拉默法則試解 1 1 ( 2)( 1)2 （1） 2, 1時,| A| 0,方程組有唯一解. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 其通解為 x2 x2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 29 down x1

14、 1 x2 x3 x3 x3 x2, x3為任意實數 . （2）當 1時, B 1 1 1 RA RB 3,方程組有無窮多解 . 1 1 1 0 0 0 （3） 2時, B 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 2 4 0 0 0 1 所以，R(A)=2,R(B)=3.方程無解。 up 30 updown 變換，則應分別對和 兩種情形進行討論。 注意： 討論含參數的線性方程組問題切忌作初等行 1 a 因為 a 可能為零因式，如不得已非作這種 a a 31 updown 三、推廣的定理 定理4：矩陣方程AX=B 有解的充要條件R(A)=R(A,B) 法1 證明：設 A 為mn矩陣 ，B為m

15、l 矩陣 則X 為nl矩陣。把X 和B按列分塊，記為 X (x1, x2,., xl) B (b1,b2,.bl) 則矩陣方程 AX=B 等價于l個向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 設 R(A)=r ，且A的行最簡形為 A 則 A有r 個非零行，且 A的后 m r 行全為零行. 再設 1 2 1 2 ( , ) ( , , , )( , , , ) l l A B A b b A b b )( , A b ( , ) ( 1,2, , ) i i A b i l 32 up down 定理4：矩陣方程AX=B 有解的充要條件R(A)=R(A,B) 證明：設 A 為mn矩陣 ，B為m

16、l 矩陣 矩陣方程 AX=B 等價于 Axi bi(i 1,2,.,l) 設 R(A)=r, 且A的行最簡形為A 則 A有r 個非零行，且 A的后 m r 行全為零行. r ,b ,b 從而 r AX B有解 Axi bi有解 R (A,bi) R(A) bi 的后 m r 個元全為零 再設 1 2 1 2 ( , ) ( , , , )( , , , ) l l A B A b b A b b )( , A b ( , ) ( 1,2, , ) i i A b i l ( , ) ( ) i R A b R A i b 的后 個元全為零 m r m r up down 定理4：矩陣方程AX=

17、B 有解的充要條件R(A)=R(A,B) 設 R(A)=r, 且A的行最簡形為A 則 A有r 個非零行，且 A的后 m r 行全為零行. r ,b ,b 從而 r AX B有解 Axi bi有解 （b1,b2,bl）的后 行全為零行. R(A,B) r R(A) 33 34 updown 定理4：矩陣方程AX=B 有解的充要條件R(A)=R(A,B) 法2 證明：設 A 為mn矩陣 ，B為ml 矩陣 則X 為nl矩陣。把X 和B按列分塊，記為 X (x1, x2,., xl) B (b1,b2,.bl) 則矩陣方程 AX=B 等價于l個向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 設 R(A)

18、=R(A,B) 2i xi ni 35 down R(A) R(A,bi) 從而由定理2知 l 個向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 都有解， 所以矩陣方程AX=B有解 設矩陣方程AX=B有解 從而 l 個向量方程 Axi bi(i 1,2,.,l) 都有解， 設解為 (i 1,2,.,l) up 1i 設 R(A)=R(A,B) R(A) R(A,bi) R(A,B) 36 updown 記 A (a1,a2,.an) 有 1ia1 2ia2 .nian bi 對矩陣(A,B) (a1,a2,.an,b1,.bl) 作初等列變換 cni 1ic1 2ic2 .nicn(i 1,2,

19、.,l) 把(A,B)的第n1列,.,第n l列都化成0 c 即（A,B)(A,0) 所以 R(A)=R(A,B) B AT CT 37 updown 定理5：設AB=C，則 R(C) minR(A),R(B) 證明： AB C AX C 有解 X B 由定理4得，R(A)=R(A,C) 而R(C) R(A,C) R(C) R(A) T 同上可得， R(CT ) R(BT ) R(C) R(B) R(C) minR(A),R(B) 38 updown 內容小結 定理1：n元線性方程組Ax=b (1)無解的充要條件R(A)R(A,b) (2)有唯一解的充要條件R(A)=R(A,b)=n (3)有無限多解的充要條件R(A)=R(A,b)n 定理2：齊次線性方程組 Ax 0 Ax 0只有零解 RA n Ax 0有非零解 RA n 定理3：矩陣方程AX=B有解 R(A)=R(A,B) 定理4：設AB=C，則 R(C) minR(A),R(B) Ax 0與A Ax 0同解, 39 updown 思考題1 T 答: 相等. 因為對于任一實向量 x 0, 當Ax 0時, T T T T 即AxTAx 0 Ax 0; 由此可知 T 故 RATA RA. 40 updown 思考題2 討