簡單線性規(guī)劃15頁

1、典型例題一例1畫出不等式組表示的平面區(qū)域分析：采用“圖解法”確定不等式組每一不等式所表示的平面區(qū)域，然后求其公共部分解：把，代入中得 不等式表示直線下方的區(qū)域（包括邊界），即位于原點的一側(cè)，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區(qū)域如圖所示說明：“圖解法”是判別二元一次不等式所表示的區(qū)域行之有效的一種方法典型例題二例2 畫出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解分析：原不等式等價于而求正整數(shù)解則意味著，還有限制條件，即求解：依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，知表示的區(qū)域如下圖：對于的正整數(shù)解，先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為、說明：這類題可以將平面直角坐標系用網(wǎng)絡

2、線畫出來，然后在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)找出符合題設要求的整數(shù)點來典型例題三例3 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積分析：本題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，判斷其形狀進而求出其面積而要將平面區(qū)域作出來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論解：不等式可化為或；不等式可化為或在平面直角坐標系內(nèi)作出四條射線， ，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖 由于與、與互相垂直，所以平面區(qū)域是一個矩形根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和所以其面積為典型例題四例1若、滿足條件求的最大值和最小值分析：畫出可行域，平移直線找最優(yōu)解解：作出約

3、束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內(nèi)滑動時，由圖可知，直線過點時，取得最大值，當過點時，取得最小值 說明：解決線性規(guī)劃問題，首先應明確可行域，再將線性目標函數(shù)作平移取得最值典型例題五例5 用不等式表示以，為頂點的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出來，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應怎樣表示。解：直線的斜率為：，其方程為可求得直線的方程為直線的方程為的內(nèi)部在不等式所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時又在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖）所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組表

4、示說明：用不等式組可以用來平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線典型例題六例6 已知，求的最大、最小值分析：令，目標函數(shù)是非線性的而可看做區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和所以的最大、最小值分別是50和說明：題目中的目標函數(shù)是非線性的解決的方法類似于線性規(guī)劃問題可做出圖，利用圖進行直觀的分析典型例題七例7 設式中的變量、滿足下列條件求的最大值分析：先作出不等式組所表示的可行域，需要注意的是這里的，故只是可行域內(nèi)的整數(shù)點，然后作出與直線平等的直線再進行觀察解：作出直線和直線，得可行域如圖所示解方程組得交點又作直線，平

5、等移動過點時，取最大值，然而點不是整數(shù)點，故對應的值不是最優(yōu)解，此時過點的直線為，應考慮可行域中距離直線最近的整點，即，有，應注意不是找距點最近的整點，如點為可行域中距最近的整點，但，它小于，故的最大值為34說明：解決這類題的關(guān)鍵是在可行域內(nèi)找準整點若將線性目標函數(shù)改為非線性目標函數(shù)呢？典型例題八例8 設，式中的變量、滿足試求的最大值、最小值分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，本題的關(guān)鍵是目標函數(shù)應理解為可行域中的點與坐標原點的距離的平方解：作出直線，得到如圖所示的可行域由得由得由得由圖可知：當為點時，取最小值為2；當為點時，取最大值29說明：若將該題中的目標函數(shù)改為，如何來求的最大值、最小值

6、呢？請自己探求（將目標函數(shù)理解為點與點邊線的斜率）典型例題九例9 設，；，用圖表示出點的范圍分析：題目中的，與，是線性關(guān)系可借助于，的范圍確定的范圍解：由得由，得做出不等式所示平面區(qū)域如圖所示說明：題目的條件隱蔽，應考慮到已有的，的取值范圍借助于三元一次方程組分別求出，從而求出，所滿足的不等式組找出的范圍典型例題十例10某糖果廠生產(chǎn)、兩種糖果，種糖果每箱獲利潤40元，種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時間（單位：分鐘）混合烹調(diào)包裝153241每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設備至多能用12機器小時，烹調(diào)的設備至多只能用機器30機器小時，

7、包裝的設備只能用機器15機器小時，試用每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤分析：找約束條件，建立目標函數(shù)解：設生產(chǎn)種糖果箱，種糖果箱，可獲得利潤元，則此問題的數(shù)學模式在約束條件下，求目標函數(shù)的最大值，作出可行域，其邊界 由得，它表示斜率為，截距為的平行直線系，越大，越大，從而可知過點時截距最大，取得了最大值解方程組 即生產(chǎn)種糖果120箱，生產(chǎn)種糖果300箱，可得最大利潤19800元說明：由于生產(chǎn)種糖果120箱，生產(chǎn)種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的混合時間為1202300720（分），烹調(diào)時間512043001800（分），包裝時間3120300660（分），這說明該計劃已完全利用了混合設

8、備與烹調(diào)設備的可用時間，但對包裝設備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松馳”部分，有待于改進研究典型例題十一例11甲、乙、丙三種食物的維生素、含量及成本如下表：甲乙丙維生素（單位/千克）600700400維生素（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物營養(yǎng)研究所想用千克甲種食物，千克乙種食物，千克丙種食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000單位維生素和63000單位維生素（1）用、表示混合物成本（2）確定、的值，使成本最低分析：找到線性約束條件及目標函數(shù)，用平行線移動法求最優(yōu)解解：（1）依題意：、滿足 成本（元）（2）依題意

9、 作出不等式組所對應的可行域，如圖所示聯(lián)立作直線則易知該直線截距越小，越小，所以該直線過時，直線在軸截距最小，從而最小，此時750520400850元 千克，千克時成本最低典型例題十二例12 某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計劃每天各生產(chǎn)不少于15，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1需煤9，電力4，勞力3個（按工作日計算）；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1需煤4，電力5，勞力10個；甲產(chǎn)品每噸價7萬元，乙產(chǎn)品每噸價12萬元；但每天用煤最不得超過300噸，電力不得超過200，勞力只有300個問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少，才能既保定完成生產(chǎn)任務，又能為國家創(chuàng)造最多的財富分析：先設每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為和，建立約束條件和目標函數(shù)

10、后，再利用圖形直觀解題解：設每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品，乙產(chǎn)品，總產(chǎn)值，依題意約束條件為：目標函數(shù)為約束條件表示的可行域是五條直線所圍成區(qū)域的內(nèi)部的點加上它的邊線上的點(如圖陰影部分)現(xiàn)在就要在可行域上找出使取最大值的點作直線，隨著取值的變化，得到一束平行直線，其縱截距為，可以看出，當直線的縱截距越大，值也越大從圖中可以看出，當直線經(jīng)過點時，直線的縱截距最大，所以也取最大值解方程組得故當，時，(萬元)答：第天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20，乙產(chǎn)品24，這樣既保證完成任務，又能為國家創(chuàng)造最多的財富428萬元 說明：解決簡單線性規(guī)劃應用題的關(guān)鍵是：(1)找出線性約束條件和目標函數(shù)；(2)準確畫出可行域；(3)利用的幾何意義，

11、求出最優(yōu)解如本例中，是目標函數(shù)的縱截距典型例題十三例13 有一批鋼管，長度都是4000，要截成500和600兩種毛坯，且這兩種毛坯數(shù)量比大于配套，怎樣截最合理？分析：先設出未知數(shù)，建立約束條件和目標函數(shù)后，再按求最優(yōu)解是整數(shù)解的方法去求解：設截500的根，600的根，根據(jù)題意，得且作出可行域，如下圖中陰影部分目標函數(shù)為，作一組平行直線，經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線為過的直線，這時由，為正整數(shù)，知不是最優(yōu)解在可行域內(nèi)找整點，使可知點，均為最優(yōu)解答：每根鋼管截500的2根，600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的

12、6根，600的1根最合理說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：設截500的根，600的根，則即其中、均為整數(shù)作出可行域，如下圖所示中陰影部分目標函數(shù)為，作一組平行直線，經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點相距最遠的直線為過點的直線先求點的坐標，解得，故，即，調(diào)整為，經(jīng)檢驗滿足條件，所以每根截500的2根，600的5根最合理本題解法錯誤主要是在作一組平行直線時沒能準確作出，而得到經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線為過點的直線此錯誤可檢驗如下：如果直線通過點，它是經(jīng)過可行域內(nèi)的點且到原點距離最遠的直線，那么，即由于，為整數(shù)，所以點不是最優(yōu)解但在可行域內(nèi)除點外，不可能再有其他點滿足，只能在可行域內(nèi)找滿足的點如果還沒有整

13、數(shù)點，則只能在可行域內(nèi)找滿足的整數(shù)點但我們知道，滿足題意，這樣，就出現(xiàn)了矛盾，從而判斷解法錯誤，即通過點的直線并不是通過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線典型例題十四例14 某工廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)產(chǎn)品1要用煤9，電力4，3個工作日；生產(chǎn)產(chǎn)品1要用煤4，電力5，10個工作日又知生產(chǎn)出產(chǎn)品1可獲利7萬元，生產(chǎn)出產(chǎn)品1可獲利12萬元，現(xiàn)在工廠只有煤360，電力200，300個工作日，在這種情況下生產(chǎn)，產(chǎn)品各多少千克能獲得最大經(jīng)濟效益分析：在題目條件比較復雜時，可將題目中的條件列表解：設這個工廠應分別生產(chǎn)，產(chǎn)品，可獲利萬元根據(jù)上表中的條件，列出線性約束條件為目標函數(shù)為(萬元)畫出如圖所示的可行

14、域，做直線，做一組直線與平行，當過點時最大由得點坐標為把點坐標代入的方程，得(萬元)答：應生產(chǎn)產(chǎn)品20，產(chǎn)品24，能獲最大利潤428萬元說明：把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的難點在于找出題目中的所有線性約束條件同時本題的可行域形狀較復雜，要注意分析目標函數(shù)的斜率和各邊界斜率的關(guān)系：從而確定在何處取得最優(yōu)解解應用題時還應注意設出未知量和做答這兩個必要步驟典型例題十五例15 某公司每天至少要運送180貨物公司有8輛載重為6的型卡車和4輛載重為10的型卡車，型卡車每天可往返4次，型卡車可往返3次，型卡車每天花費320元，型卡車每天花費504元，問如何調(diào)配車輛才能使公司每天花費最少分析：設型卡車輛，型卡

15、車輛問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題同時應注意到題中的，只能取整數(shù)解：設型卡車輛，型卡車輛，則即目標函數(shù)做如圖所示的可行域，做直線在可行域中打上網(wǎng)格，找出，等整數(shù)點做與平行，可見當過時最小，即(元)說明：整數(shù)解的線性規(guī)劃問題如果取最小值時不是整數(shù)點，則考慮此點附近的整數(shù)點典型例題十六例16 某工廠利用兩種燃料生產(chǎn)三種不同的產(chǎn)品、，每消耗一噸燃料與產(chǎn)品、有下列關(guān)系：現(xiàn)知每噸燃料甲與燃料乙的價格之比為，現(xiàn)需要三種產(chǎn)品、各50噸、63噸、65噸問如何使用兩種燃料，才能使該廠成本最低？分析：由于該廠成本與兩種燃料使用量有關(guān)，而產(chǎn)品、又與這兩種燃料有關(guān)，且這三種產(chǎn)品的產(chǎn)量也有限制，因此這是一道求線性目標函數(shù)在線性

16、約束條件下的最小值問題，這類簡單的線性規(guī)劃問題一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最優(yōu)解解：設該廠使用燃料甲噸，燃料乙噸，甲每噸元，則成本為因此只須求的最小值即可又由題意可得、滿足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖）由得由得作直線，把直線向右上方平移至可行域中的點時，最小成本為答：應用燃料甲噸，燃料乙噸，才能使成本最低說明：本題中燃料的使用不需要是整數(shù)噸，若有些實際應用問題中的解是整數(shù)解，又該如何來考慮呢？典型例題十七例17 咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000