線代基本復(fù)習(xí)題

1、2010年度第二學(xué)期線性代數(shù)期末考試安排預(yù)計(jì)考試時間：2011年5月7日 考場班級課室容量期末答疑安排答疑時間：2011.04.27答疑地點(diǎn): 平時上課的課若干公式|A*|=|A|n-1, A*A=| A|I，|AT|=|A|，|lA|=ln|A|，j(A)的特征值j(l) 基本問題l Ch1計(jì)算行列式, 求逆矩陣l Ch2判斷線性相關(guān)性, 求秩, 求最大無關(guān)組l Ch2解線性方程組(齊次的和非齊次的)l Ch3求矩陣（方陣）特征值和特征向量l Ch3矩陣的對角化l Ch4向量組的正交化l Ch4二次型的正交標(biāo)準(zhǔn)化l Ch4二次型正定性的判斷一、 Ch1計(jì)算行列式1.12 （P35）計(jì)算下列行

2、列式(2) 二、 求逆矩陣1.7（P34）利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣:(1) 三、 Ch2判斷線性相關(guān)性2.1 （P63）討論下列向量組的線性相關(guān)性(3) 四、 Ch2求秩, 求最大無關(guān)組2.2 （P63）求下列矩陣的秩(3)補(bǔ)充: 最大無關(guān)組有五、 Ch2解線性方程組(齊次的)2.3 求解下列齊次線性方程組(1) ;(1) 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換得簡化行階梯形(Reduced row echelon form, RREF). 對應(yīng)的同解方程組為,方程組的解為.六、 Ch2解線性方程組(非齊次的)2.5 求下列非齊次線性方程組的通解(1)對方程組的增廣矩陣作行初等變換, 將之化為

3、簡化行階梯形立刻得到方程組的解七、 Ch3求特征值和特征向量3.1（P80）求下列矩陣的特征值和特征向量 (3) (3)解特征方程得特征值.對于特征值, 解齊次線性方程組. 其系數(shù)矩陣,可見特征向量為.對于特征值, .可見特征向量為(不全為0).八、 Ch3矩陣的對角化3.10將下列矩陣對角化, 并求, 使(為對角陣)(1) 解特征方程得特征值.對于, 得特征向量. 選.對于, 得特征向量 (k2, k3不全為0). 選.令, 則有.九、 Ch4向量組的正交化4.5（P107）設(shè)試用施密特正交化方法把這組向量正交規(guī)范化.正交化:單位化:十、 Ch4二次型的正交標(biāo)準(zhǔn)化4.20（P108） 用正交

4、變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 (2)二次型的矩陣為. 解特征方程,得的特征值,.對于特征值, , 取特征向量.對于特征值, . 取特征向量.對于特征值, . 取特征向量.是正交的. 令,則是正交的. 作正交變換, 則給出的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.十一、 Ch4二次型正定性的判斷4.23判別下列二次型的正定性:(1)(2)(1)二次型的矩陣的各階主子式依次為.故二次型是負(fù)定的.(2) 二次型的矩陣的各階主子式依次為.故二次型是正定的.若干聯(lián)系向量組構(gòu)成矩陣線性組合向量能由向量組線性表示有解向量組線性相關(guān)有非零解(=向量個數(shù)=未知數(shù)個數(shù))基礎(chǔ)解系含個解向量.部分定理定理2.1若線性無關(guān), 而線性相關(guān). 則可

5、以由線性表示.定理2.2()線性相關(guān)的充要條件是至少有一個向量是其余向量的線性組合.定理2.3 線性相關(guān)的向量組添加向量后仍線性相關(guān)；線性無關(guān)的向量組的子向量組必線性無關(guān)；線性無關(guān)的向量組中的每個向量擴(kuò)大同樣的維數(shù)，得到的新向量組仍然線性無關(guān)。定理2.4m個行向量線性相關(guān)的充要條件是定理2.5矩陣A的秩等于r的充要條件是A中有r個行向量線性無關(guān)，但任意r+個行向量（如果存在）都線性相關(guān)。定理2.8 設(shè)有向量組T，如果(1)在T中有r個向量線性無關(guān)。(2)T中任意一個向量都可以由向量組線性表示。則是向量組T的一個最大無關(guān)組。引理2.1設(shè)向量組可由向量組線性表示.如果,則線性相關(guān).定理2.9齊次線

6、性方程組（2.11），當(dāng)其系數(shù)矩陣的秩時，只有唯一的零解；當(dāng)時，有無窮多個解。定理2.11非齊次線性方程組（2.17）有解的充要條件是，他的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。定理2.12設(shè)是齊次線性方程組（2.11）的一個基礎(chǔ)解系，是相應(yīng)的非齊次線性方程組（2.17）的一個特解，則（2.17）通解為：基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量。定理3.1 階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值。定理3.2 設(shè)階方陣A 有互不相同的特征值，(iE A)= 0的基礎(chǔ)解系為。 則；線性無關(guān)。定理3.3 設(shè)n階方陣A = ( a ij ) 的特征值為1 ,2 , ，n ，則有（1）1 +2 + +n = a11 +

7、a22 + + an n (4.9)(2) 12 n = | A| (4.10)定理3.4 設(shè)A為n階方陣，(A) = a0I + a1A + am Am ，若為A的特征值，則() = a0 + a1+ + am m是(A)的特征值。定理3.5 若n階方陣A與B相似，則它們具有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。定理3.6 n階矩陣A與n階對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。P73定理3.6 階矩陣與階對角陣相似的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量.P74定理3.6推論3.2 若階矩陣有個相異的特征值, 則與對角陣相似.P73性質(zhì)3.2 若階方陣與相似, 則(1), (2).定理3.

8、7 n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重特征值對應(yīng)著個線性無關(guān)的特征向量（證明略）。 定理4.1 對任意n 維向量和y ,恒有 定理4.2 若n維向量組是正交向量組，則線性無關(guān)。定理4.3 設(shè)n維向量組線性無關(guān)，令=則得到的是正交向量組，且與等價。 上述定理4.3從線性無關(guān)組導(dǎo)出正交向量組的過程稱為施密特(Schmidt)正交化過程。它不僅滿足與等價，還滿足:對任何，向量組與等價。定理4.4 （1） 方陣A是正交矩陣充分必要條件為A的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。（2） 方陣A是正交矩陣的充分必要條件為A的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 定理4.5 正交變換不改變向量的內(nèi)積，從而不改變

9、向量的模、夾角和距離。定理4.6 實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。定理4.7 設(shè)1、2是對稱矩陣A的兩個特征值，P1、P2是對應(yīng)的特征向量。若12，則P1與P2正交。定理4.8 若i是實(shí)對稱矩陣A的k重特征值，則存在k個屬于i的線性無關(guān)的特征向量（證明略）。定理4.9 設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使P -1AP = = 其中1,2, n 是A的特征值。定理4.10 任給可逆矩陣C，令B=CTAC，如果A為對稱矩陣，則B亦為對稱矩陣，且 R(B)=R(A) 定理4.11 任給二次型f()=TA,總有正交變換=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形f=1y12+2y22+nyn2其中為A的所有特征值。 了解 二次型f=TA可通過可逆線性變換 =Py化為標(biāo)準(zhǔn)形 f=c1y12+c2y22+cryr2且 r=R(A)(ci0,i=1,2, ,r; r稱為f的慣性指標(biāo))（Sylvester定理）二次型f=TA通過可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形后，系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個數(shù)（稱為二次型f或矩陣A的慣性指標(biāo)）不變。定理4.12 實(shí)二次型f=TA為正定的的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正。定理4.13 若A是n階實(shí)對稱矩陣，則下列命題等價： （1）TA是正定二次型（或A是正定矩陣）； （2）A的正慣性指標(biāo)為n。