常系數(shù)齊次線性微分方程62846PPT學習教案

1、會計學1 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程62846 ), ,2, 1()(nkxyk 設(shè) 分別是方程分別是方程 的特解的特解,是方程是方程 ),2, 1()()()(nkxfyxQyxPy k n k k yy 1 則 )()()( 1 xfyxQyxPy n k k 的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 以上關(guān)于解的結(jié)構(gòu)均可推廣到以上關(guān)于解的結(jié)構(gòu)均可推廣到 n 階線性非齊次方程階線性非齊次方程. 第1頁/共21頁 )(,),(),( 21 xyxyxy n 設(shè) 是對應(yīng)齊次方程的是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性個線性 )(*)()()( 2211 xy

2、xyCxyCxyCy nn 無關(guān)特解無關(guān)特解, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程 )()()( ) 1( 1 )( xfyxayxay n nn )()(xyxY )(* xy 是非齊次方程的特解是非齊次方程的特解, 則非齊次方程則非齊次方程 的通解為的通解為 齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 第2頁/共21頁 7.7 7.7 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程 說明說明: 解本類方程是最簡單的解本類方程是最簡單的, 只需要求特征方程只需要求特征方程(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根 經(jīng)轉(zhuǎn)化后經(jīng)轉(zhuǎn)化后 第七章第七章 因為他不需要積分因為他不需要積分 第3頁

3、/共21頁 ),(0為常數(shù)qpyqypy xr ey 和它的導數(shù)只差常數(shù)因子和它的導數(shù)只差常數(shù)因子, 代入得代入得 0)( 2 xr e qprr 0 2 qrpr 稱為微分方程的特征方程稱為微分方程的特征方程, 1. 當當 04 2 qp 時時, 有兩個相異實根有兩個相異實根 , 21 r ,r 方程有兩個線性無關(guān)的特解方程有兩個線性無關(guān)的特解: , 1 1 xr ey , 2 2 xr ey 因此方程的通解為因此方程的通解為 xrxr eCeCy 21 21 ( r 為待定常數(shù)為待定常數(shù) ), xr er函數(shù)為常數(shù)時因為, 我們猜想的解為我們猜想的解為 則微分則微分 其根稱為特征根其根稱為

4、特征根. 第4頁/共21頁 04 2 qp 時時, 特征方程有兩個相等實根特征方程有兩個相等實根 21 rr 則得微分方程有一個特解則得微分方程有一個特解 1 2 ( ) rx yC x e 設(shè)另一特解設(shè)另一特解 (目的是找出與目的是找出與y1線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解) 代入方程得代入方程得: 1 xr e 1 ()p CrC0qC 2 11 (2)CrCr C 1 r注意 是特征方程的二重根是特征方程的二重根 0C 取取 C(x) = x , 則得則得 , 1 2 xr exy 因此原方程的通解為因此原方程的通解為 1122 yC yC y , 2 p . 1 1 xr ey 2 111 (

5、2)()0Crp Crprq C (常系數(shù)變易法常系數(shù)變易法) 1 r x yCe 也是解也是解 1 12 () r x CC x e 第5頁/共21頁 04 2 qp 時時, 特征方程有一對共軛復(fù)根特征方程有一對共軛復(fù)根 irir 21 , 原方程的通解為原方程的通解為 )sincos( 21 xCxCey x 小結(jié)小結(jié): 0yp yq y ,0 2 qrpr 特征方程特征方程: xrxr eCeCy 21 21 21, :rr特征根 21 rr 實根實根 2 21 p rr xr exCCy 1 )( 21 ir , 21 )sincos( 21 xCxCey x 特特 征征 根根通通 解

6、解 以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 . (推導略推導略) ( ,)p q為常數(shù) 得通解得通解. 第6頁/共21頁 若特征方程含若特征方程含 k 重復(fù)根重復(fù)根 ,ir 若特征方程含若特征方程含 k 重實根重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項 xrk k exCxCC)( 1 21 xxCxCCe k k x cos)( 1 21 sin)( 1 21 xxDxDD k k 則其通解中必含則其通解中必含 對應(yīng)項對應(yīng)項 )(0 1 ) 1( 1 )( 均為常數(shù) knn nn ayayayay 特征方程特征方程: 0 1 1 1 nn

7、nn ararar 將不同根對應(yīng)的項加在一起得原方程通解將不同根對應(yīng)的項加在一起得原方程通解(系數(shù)要區(qū)分開系數(shù)要區(qū)分開). 第7頁/共21頁 032 yyy求方程 的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程 , 032 2 rr 特征根特征根: ,3,1 21 rr 因此原方程的通解為因此原方程的通解為 xx eCeCy 3 21 例例2. 求解初值問題求解初值問題 0 d d 2 d d 2 2 s t s t s ,4 0 t s2 0 d d t t s 解解: 特征方程特征方程 012 2 rr 有重根有重根 ,1 21 rr 因此原方程的通解為因此原方程的通解為 t etCCs )(

8、21 利用初始條件得利用初始條件得 , 4 1 C 于是所求初值問題的解為于是所求初值問題的解為 t ets )24( 2 2 C 第8頁/共21頁 yxy 的通解的通解. 解解: 令令 12 ,rri 代入原方程得代入原方程得: 12 cossinuCxCx 特征方程特征方程: 2 10,r 特征根特征根 : 原方程通解原方程通解: 求求 ,xyu,yxu.yu 0.uu 0uu 的通解的通解: 12 cossinyCxCxx 注注:本題為二階方程本題為二階方程,但不是上節(jié)中的但不是上節(jié)中的 可降階方程也不是本節(jié)中二階線可降階方程也不是本節(jié)中二階線 性常系數(shù)齊次方程性常系數(shù)齊次方程. 0yy

9、 對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程: 特征方程特征方程: 2 10,r 12 ,rri 特征根特征根 : 對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解 12 cossinyCxCx 觀察一個原方程的特解觀察一個原方程的特解 * yx 12 cossinyCxCx 原方程通解原方程通解: +x 第9頁/共21頁 052 )4( yyy求方程 的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程 , 052 234 rrr 特征根特征根: irrr21, 0 4,321 因此原方程通解為因此原方程通解為 xCCy 21 )2sin2cos( 43 xCxCe x 例例5. .0 )4()5( yy解方程 解解: 特征方程特征方程

10、: , 0 45 rr 特征根特征根 : 1, 0 54321 rrrrr 原方程通解原方程通解: 1 CyxC2 2 3x C 3 4x C x eC5 第10頁/共21頁 02)( 22222 rr . )0(0 d d 4 4 4 w x w 解方程 解解: 特征方程特征方程: 44 r 即即 0)2)(2( 2222 rrrr 其根為其根為 ),1( 2 2,1 ir )1( 2 4,3 ir 方程通解方程通解 : w 2 12 (cossin) 22 x eCxCx x e 2 ) 2 sin 2 cos( 43 xCxC 第11頁/共21頁 .02 )4( yyy解方程 解解: 特

11、征方程特征方程: 012 24 rr 0)1( 22 r即 特征根為特征根為 ,ri 則方程通解則方程通解 : xxCCycos)( 31 xxCCsin)( 42 (二重根二重根) 第12頁/共21頁 例例8 (P341第第5題題) 一圓柱形浮筒一圓柱形浮筒,直徑直徑D=0.5米米,鉛直放在水鉛直放在水 中中,當稍向下壓后突然放開當稍向下壓后突然放開,浮筒在水中上下振動的周期為浮筒在水中上下振動的周期為 2秒秒,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量. 解解: 建數(shù)軸如圖建數(shù)軸如圖: x o 浮筒離開平衡處浮筒離開平衡處o的位移為的位移為x 據(jù)題意得據(jù)題意得: 2 2 2 (0.25)9800 d x x

12、m dt 612.5 0 xx m 通解通解 612.5612.5 sincosxatbt mm (a,b為任意實數(shù)為任意實數(shù)) 周期周期 612.5 2 /2T m 所以所以 612.5 m 194.96(kg). 第13頁/共21頁 ),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根特征根: 21 , rr (1) 當當時時, 通解為通解為 xrxr eCeCy 21 21 21 rr (2) 當當時時, 通解為通解為xr exCCy 1 )( 21 21 rr (3) 當當 時時, 通解為通解為 )sincos( 21 xCxCey x ir 2, 1 可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解可推廣到高階

13、常系數(shù)線性齊次方程求通解 . 第14頁/共21頁 求方程求方程 0 yay 的通解的通解 . 答案答案: :0a 通解為通解為 xCCy 21 :0a 通解為通解為 xaCxaCysincos 21 :0a 通解為通解為 xaxa eCeCy 21 第15頁/共21頁 作業(yè)作業(yè) P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3 第16頁/共21頁 123 ,2,3, xxx yeyxeye 求一個以 為特解的為特解的 三三 階常系數(shù)線性齊次微分方程階常系數(shù)線性齊次微分方程. 解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根根據(jù)給定的特解知特征方程有根 : ,

14、1 21 rr 3 1r 因此特征方程為因此特征方程為 2 ) 1( r (1)0r 即即 32 10rrr 0yyyy 故所求方程為故所求方程為 其通解為其通解為 123 () xx yCC x eC e 原題為選擇題原題為選擇題 1. 第17頁/共21頁 2xx yaebe 2 2 xx yaebe 2 4 xx yaebe 解解: 給出以給出以 (a,b為任意常數(shù)為任意常數(shù))為通解的微分方程為通解的微分方程 (1) (2) (1)+(2)得得: 2 6 x yybe 即即 2 6 x yy be (2)2(1)得得: x ae 2 3 yy (3) (4) 將將(3),(4)式代入式代入

15、得得: 2 36 y yyyy 即即 20yyy 23 x yyae 即即 由通解知特征方程有根由通解知特征方程有根 : 12 1,2,rr 特征方程為特征方程為 (1)(2)0rr 2 20rr 20yyy 故所求方程為故所求方程為 P327 2(2) 2 12 xx yC eC e 以 2. 2x yaxbe 2 , x yabe 12 0,2,rr ? 第18頁/共21頁 是所求方程對應(yīng)的齊次方程的解是所求方程對應(yīng)的齊次方程的解 2 123 , xxxxxx yxeyxeeyxeee 設(shè)設(shè) 是某二階線性非齊次微分方程的解是某二階線性非齊次微分方程的解,求此微分方程求此微分方程. 解解: 21 , x yye 3121 ()()yyyy 2