微分的近似計算PPT學習教案

1、會計學1 微分的近似計算微分的近似計算 , , 0)()( 00 很小時很小時 且且處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點若若 x xfxxfy 例例1 1 ?,05. 0 ,10 問面積增大了多少問面積增大了多少厘米厘米 半徑伸長了半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后半徑半徑 解解, 2 rA 設設.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rr rrdAA 205. 0102 ).( 2 厘米厘米 .)( 0 xxf 00 xxxx dyy 第1頁/共13頁 ;)(. 1 0附近的近似值 附近的近似值在點在點求求xxxf )()( 00 xfxxfy .)( 0 xxf .)()()( 000 x

2、xfxfxxf )(很小時很小時x 例例1 1.0360cos o 的近似值的近似值計算計算 解解,cos)(xxf 設設)( ,sin)(為弧度為弧度xxxf , 360 , 3 0 xx 第2頁/共13頁 . 2 3 ) 3 (, 2 1 ) 3 ( ff ) 3603 cos(0360cos o 3603 sin 3 cos 3602 3 2 1 .4924. 0 ;0)(. 2附近的近似值附近的近似值在點在點求求 xxf .)0()0()(xffxf ,)()()( 000 xxfxfxxf ., 0 0 xxx 令令 第3頁/共13頁 常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x .)

3、1ln()5( ;1)4();(tan)3( );(sin)2(; 1 11)1( xx xexxx xxxx n x x n 為弧度為弧度 為弧度為弧度 證明證明,1)()1( n xxf 設設 ,)1( 1 )( 1 1 n x n xf . 1 )0(, 1)0( n ff xffxf)0()0()( .1 n x 第4頁/共13頁 例例2 2.計算下列各數(shù)的近似值計算下列各數(shù)的近似值 解解 .)2(;5 .998)1( 03. 0 3 e 33 5 . 110005 .998)1( 3 ) 1000 5 . 1 1(1000 3 0015. 0110 )0015. 0 3 1 1(10

4、 .995. 9 03. 01)2( 03. 0 e.97. 0 第5頁/共13頁 由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法 等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差， 而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結果也會有誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結果也會有誤 差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量誤差. 定義：定義： ., , 的絕對誤差的絕對誤差叫做叫做那末那末為為 它的近似值它的近似值如果某個量的精度值為如果某個量的精度值為 aaAa A .的相對誤差的相對誤差叫做叫做的比值的比值而絕對誤差與而

5、絕對誤差與a a aA a 問題問題:在實際工作中在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得 ? 第6頁/共13頁 辦法辦法: :將誤差確定在某一個范圍內將誤差確定在某一個范圍內. . . , , , , 的相對誤差限的相對誤差限 叫做測量叫做測量而而的絕對誤差限的絕對誤差限叫做測量叫做測量那末那末 即即又知道它的誤差不超過又知道它的誤差不超過 測得它的近似值是測得它的近似值是如果某個量的精度值是如果某個量的精度值是 A a A aA aA A A A A 通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤絕對誤 差差與與相對誤差相對誤差. 第7

6、頁/共13頁 例例3 3 . ,005. 041. 2 誤差誤差并估計絕對誤差與相對并估計絕對誤差與相對 求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長為正方形邊長為 解解則則面積為面積為設正方形邊長為設正方形邊長為,yx. 2 xy ,41. 2時時當當 x).(8081. 5)41. 2( 22 my 41. 241. 2 2 xx xy .82. 4 ,005. 0 x 邊長的絕對誤差為邊長的絕對誤差為 005. 082. 4 y 面積的絕對誤差為面積的絕對誤差為 ).(0241. 0 2 m y y 面積的相對誤差為面積的相對誤差為 8081. 5 0241. 0 %.4 . 0 第8頁/共1

7、3頁 近似計算的基本公式近似計算的基本公式 .)0()0()(xffxf 00 xxxx dyy .)( 0 xxf ),()()()( 000 xxxfxfxf ,很很小小時時當當 x ,0時時當當 x 第9頁/共13頁 一、一、填空題：填空題： 1 1、 利用公式利用公式)()()( 000 xxxfxfxf 計算計算)(xf 時，要求時，要求_很小很小. . 2 2、 當當0 x時 ， 由 公 式時 ， 由 公 式dyy 可 近 似 計 算可 近 似 計 算 _)1ln( x； _tan x，由此得，由此得 _45tan ；_002. 1ln . . 二二、 利利用用微微分分計計算算當當

8、x由由 45變變到到0145 , 時時，函函數(shù)數(shù) xycos 的的增增量量的的近近似似值值( (017453. 01 弧弧度度) ). . 三三、 已已知知單單擺擺的的振振動動周周期期 g l T 2 ，其其中中980 g厘厘 米米/ /秒秒 2 2， ，l為為擺擺長長（單單位位為為厘厘米米） ，設設原原擺擺長長為為 2 20 0 厘厘米米，為為使使周周期期T增增大大 0 0. .0 05 5 秒秒，擺擺長長約約需需加加長長多多 少少？ 練練 習習 題題 第10頁/共13頁 四四、 求求近近似似值值： 1 1、 136tan；2 2、 5002. 0arcsin； 3 3、 3 996. .

9、五、設五、設0 A，且，且 n AB ，證明，證明 1 n nn nA B ABA，并計算，并計算101000的近似值的近似值 . . 六、已知測量球的直徑六、已知測量球的直徑D有有 1%1%的相對誤差，問用公式的相對誤差，問用公式 3 6 DV 計算球的體積時，相對誤差有多大？計算球的體積時，相對誤差有多大？ 七、 某廠生產(chǎn)七、 某廠生產(chǎn) （教材（教材 2-182-18 圖） 所示的扇形板， 半徑圖） 所示的扇形板， 半徑R=200=200 毫米，要求中心角毫米，要求中心角 為為 55產(chǎn)品檢驗時，一般用測量產(chǎn)品檢驗時，一般用測量 弦長弦長L的辦法來間接測量中心角的辦法來間接測量中心角 ，如果測量弦長，如果測量弦長L 時的誤差時的誤差 L = =0.10.1 毫米，問由此而引起的中心角測量毫米，問由此而引起的中心角測量 誤差誤差 是多少？是多少？ 第11頁/共13頁 一、一、1 1、 0 xx ； 2 2、002. 0,01309. 0, xx. . 二、二、0021. 0 2160 2 . . 三、約需加長三、約需加長 2.232.23