管理數(shù)量方法與分析 第二章概率分布二

1、管理數(shù)量方法與分析管理數(shù)量方法與分析 第二章第二章 概率及其概率分布概率及其概率分布 2.3.1 2.3.1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.1 2.3.1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1. 1. 數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值） 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值以概率隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值以概率 為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均，是隨機(jī)變量的分布中心。簡為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均，是隨機(jī)變量的分布中心。簡 稱稱期望。期望。 (1) (1) 離散型隨機(jī)變量是數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量是數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為： , kk pxXP 1 )( i

2、kk pxXE 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, ,則稱此級(jí)數(shù)的和為隨則稱此級(jí)數(shù)的和為隨 1i kk px 既有既有 機(jī)變量機(jī)變量 X X 的數(shù)學(xué)期望。記作的數(shù)學(xué)期望。記作 : :E(X )E(X ) 例例2.3.12.3.1 書書P63 P63 例題例題2.122.12 利潤（萬元）利潤（萬元）100150200 概率概率 甲方案甲方案0.20.70.1 乙方案乙方案0.280.60.12 試比較這兩種方案哪種比較好？試比較這兩種方案哪種比較好？ X Y 100150200 0.20.70.1 Y P 100150200 0.280.60.12 要比較甲、乙投資方案的優(yōu)勢(shì)，也就是要比較兩要比

3、較甲、乙投資方案的優(yōu)勢(shì)，也就是要比較兩 種方案誰獲得的平均利潤高，于是有：種方案誰獲得的平均利潤高，于是有： E（X）= =1000.2+1500.7+2000.1=145（萬元）（萬元） E E（X X）= =100= =1000.28+1500.28+1500.6+2000.6+2000.12=1420.12=142（萬元）（萬元） 計(jì)算結(jié)果表明，甲方案略好于乙方案。計(jì)算結(jié)果表明，甲方案略好于乙方案。 (2) 連續(xù)型隨機(jī)變量是數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量是數(shù)學(xué)期望 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為f(x), 若積分若積分 既有既有 記作記作 :E(X ). 絕對(duì)

4、收斂，則稱此積分值為絕對(duì)收斂，則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. dxxxf)( dxxxfEX)( 說說 明明 X的數(shù)學(xué)期望刻畫了的數(shù)學(xué)期望刻畫了X變化的平均值變化的平均值. 例例2.3.2 設(shè)設(shè) 解解 求：求： E(X), 其他其他 bxa ab xfX 0 1 2 1ab dx ab xdxxxfEX b a 例例2.3.32.3.3 書書P63 P63 例題例題2.132.13； 設(shè)市場對(duì)某種商品的需求量設(shè)市場對(duì)某種商品的需求量X X（單位：噸），它的分布（單位：噸），它的分布 密度為：密度為： f f（x x)=)= 0 , 2000 x4000 ， 其他其他 若出售這種商品若出

5、售這種商品1 1噸，可獲利噸，可獲利3 3萬元；若銷售不出萬元；若銷售不出 去，則每噸需付倉儲(chǔ)費(fèi)去，則每噸需付倉儲(chǔ)費(fèi)1 1萬元，應(yīng)組織多少噸貨萬元，應(yīng)組織多少噸貨 源才能使收益的數(shù)學(xué)期望最大？源才能使收益的數(shù)學(xué)期望最大？ 解：設(shè)解：設(shè)m m（噸）為組織貨源，（噸）為組織貨源，Y Y（萬元）為收益，則有：（萬元）為收益，則有： Y= 3m3m， xmxm 3x-（m-x），）， xm 而而E E（Y Y）= = = = = = 令令 即即 故應(yīng)組織故應(yīng)組織35003500噸貨源才能使收益的數(shù)字期望達(dá)到最大。噸貨源才能使收益的數(shù)字期望達(dá)到最大。 (3) (3) 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) a.

6、a. EcEc= =c,cc,c 是常數(shù)是常數(shù). 若若a aX Xb b, ,則則 a aEXEXb b. . b. b. E E( (cXcX) )= =cEcE( (X X) ),c,c 是常數(shù)是常數(shù). . c. E(XY)=EXEY. d. 若若X,YX,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則則E(XY)=EXEY. 推論推論 E(aX+bY)=aEX+bEY. (1) (1) 定義定義 在實(shí)際問題中常關(guān)心隨機(jī)變量與均值的偏離程度，在實(shí)際問題中常關(guān)心隨機(jī)變量與均值的偏離程度， 可用可用E|X-EX|E|X-EX|表示表示, ,但不方便但不方便; ;所以通常用所以通常用E E( (X-EXX-EX) )2

7、 2來度來度 量隨機(jī)變量量隨機(jī)變量X X與其均值與其均值E(X)E(X)的偏離程度的偏離程度 DX 設(shè)設(shè) X X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, ,稱稱 ( (X-EXX-EX) ) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X X 的離差的離差. .而而 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的離差的數(shù)學(xué)期望為的離差的數(shù)學(xué)期望為0,0,即有即有 E (X-EX)=0 定義定義 2 )()(EXXEXVarXD 設(shè)設(shè) X X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, ,若若E E( (X-EXX-EX) )2 2存在存在, ,則稱之為則稱之為 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X X 的方差的方差. .記作記作 D(X)D(X), ,或或 VarVar ( ( X X

8、).). 即：即： 而稱而稱 為均方差為均方差, ,根方差或標(biāo)準(zhǔn)差記為根方差或標(biāo)準(zhǔn)差記為( (X X) ) 2.2.方差方差 1 2 )( i ii pEXx dxxfEXxDX)()( 2 2 )(EXXEDX 離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 說明說明方差描述了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離方差描述了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離 程度。程度。D(X)D(X)越小，表明越小，表明X X的取值越集中在的取值越集中在E(X)E(X)附近。附近。 因因E(X)E(X)是一常數(shù)是一常數(shù), ,若用若用c c表示表示, ,則則D(XD(X) )實(shí)際上是實(shí)際上是X X的的 函數(shù)函數(shù), ,Y=X-c,Y=X-c,于

9、是于是D(X)=E(Y)D(X)=E(Y). . 2 2 EXEXDX 方差另一計(jì)算公式方差另一計(jì)算公式 例例2.3.4 設(shè)設(shè) 解解 求：求： E(X), 其他其他 bxa ab xfX 0 1 2 1ab dx ab xdxxxfEX b a 2222 3 1 )(aabbdxxfxXE 12 2 2 2 ab XEXEXD 記住結(jié)論記住結(jié)論 例例2.3.52.3.5 書書P65 P65 例題例題2.142.14；例題；例題2.152.15； 【例例2.152.15】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X具有概率密度具有概率密度 F（x）= 1+x， -1x0 1-x, 0 x1 0, , 其他其他 求

10、求D D（X X） 解：解： 01 10 ( )(1)(1)0EXxf x dxxx dxxx dx 01 2222 10 1 ()( )(1)(1) 6 E Xx f x dxxx dxxx dx （2 2）方差的性質(zhì)）方差的性質(zhì) a. DX0 Dc=0, c 是常數(shù)是常數(shù). . b. D(cX)=c2D(X) c c 是常數(shù)是常數(shù). . c.c.若若X,YX,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , 則則 D D( (aX+bYaX+bY)=)=a a2 2DXDX+ +b b2 2DYDY. . d.DX=0PX=c=1,c=EX. 3.3.幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望及方差幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望及方差 (1

11、)(1)兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 ppp X k 1 10 22 )(EXEXDX , pEX pqpp 2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量XB(n,p),則則E(X)=np,D(X)=np(1-p) (2) (2) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 設(shè)設(shè) X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布，則泊松分布，則 E(X)=,D(X)=. . 設(shè)設(shè) X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 a,b 的的均勻分布均勻分布,即即XU(a,b), ., 0 ,),/(1 )( 其其它它 bxaab xf )(XE b a dx ab x 1 2 ba )(XD 22 ) 2 ( 1ba dx ab x b a 12 )( 2 ab dxxxf)(

12、 22 )(EXEX (5) (5) 指數(shù)分布指數(shù)分布 設(shè)設(shè) XE(XE(),),則則X X 的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為： . 0, 0 0, )( x e xf 0 dxex x 2 2 1 b a xdx ex 2 1 dxxxf)( 22 )(EXEX 1 )(XE )(XD xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 2 )(,)( XDXE則則 設(shè)設(shè) X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為,2 的的正態(tài)分布正態(tài)分布,即即XN(,2 ), 設(shè)設(shè) XN(0,1 ), 則則E(X)=0, D(X)=1. 離散型離散型分布分布期望期望方差方差 XB(1,p)pp(1-p) XB(n,p)np

13、np(1-p) X() 連續(xù)型連續(xù)型XU(a,b)(a+b)/2 (b-a)2/12 XE()1/1/2 XN(,2)2 常見分布的期望與方差常見分布的期望與方差 2.3.2 2.3.2 二維隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 1. 1. 二維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量及其概率分布 (1) (1) 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的定義的定義 設(shè)設(shè) E E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), ,樣本空間為樣本空間為 =e e ， X X= =X X( (e e) ) 和和 Y Y= =Y Y( (e e) ) 是定義在是定義在 上的兩個(gè)隨機(jī)變上的兩個(gè)隨機(jī)變 量量. .稱由它們構(gòu)

14、成的一個(gè)向量稱由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 ( (X X, , Y Y) ) , ,叫做叫做二維二維 隨機(jī)向量隨機(jī)向量，或，或二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量. . 一般用一般用( (X X, , Y Y) ) 表表 示示. . 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值. e X(e) Y(e) 例子例子 (1) (1) 考察某地區(qū)考察某地區(qū)1515歲少年的身體狀況歲少年的身體狀況, ,令令: : X:X:該地區(qū)該地區(qū)1515歲少年的身高歲少年的身高; ; Y:Y:該地區(qū)該地區(qū)1515歲少年的體重歲少年的體重; ; 則則( (X,YX,Y) )就是一個(gè)二維隨機(jī)變量就是一個(gè)二維隨機(jī)變量. . (2)

15、 (2) 考察某地區(qū)氣候狀況考察某地區(qū)氣候狀況, ,令令: : X:X:該地區(qū)溫度該地區(qū)溫度; ; Y:Y:該地區(qū)濕度該地區(qū)濕度; ; 則則( (X,YX,Y) )就是一個(gè)二維隨機(jī)變量就是一個(gè)二維隨機(jī)變量. . 說明說明 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )在幾何上可看作平面上的隨機(jī)點(diǎn)。在幾何上可看作平面上的隨機(jī)點(diǎn)。 (1) (1) 二維隨機(jī)變量也稱二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)變量也稱二維隨機(jī)向量 (2) (2) 應(yīng)將二維隨機(jī)變量應(yīng)將二維隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )= =( (X X( (e e) ),Y,Y( (e e) ) e eS S 看作一個(gè)整體看作一個(gè)整體, , X X和和Y

16、 Y之間是有聯(lián)系的之間是有聯(lián)系的. . (3) (3) 事件事件 X Xx x, ,Y Yy y 表示事件表示事件 X Xxx 和事件和事件 YyYy 的積的積. . 說明說明 根據(jù)根據(jù)二二維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )的取值情況的取值情況, ,仍可分為離仍可分為離 散型與非離散型散型與非離散型-連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量. . 2. 2. 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 1, 10 11 ij ijij pp此此時(shí)時(shí)， 定義定義 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )的取值是有限個(gè)或可列個(gè)無的取值是有限個(gè)或可列個(gè)無 窮數(shù)對(duì)窮數(shù)對(duì), ,則則( (X,YX,Y

17、) )為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量. . 設(shè)設(shè)( (X,YX,Y) )為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量, ,其所有可能其所有可能 取值為取值為(xi,yj)(i=1,2,; j=1,2,), 事件事件X=xi,Y=yj的概率的概率 PX=xi,Y=yj=pij 則稱則稱pij=PX=xi,Y=yj (i=1,2,; j=1,2,)為二維離散型為二維離散型 隨機(jī)變量隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )的分布律的分布律.也稱也稱X X與與Y Y的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律. . X X與與Y Y的聯(lián)合分布律可用表格形式表示的聯(lián)合分布律可用表格形式表示 邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布邊

18、緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布 邊緣分布邊緣分布 稱二維隨機(jī)變量稱二維隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )關(guān)于分量關(guān)于分量X X( (Y Y) )分布分布 為二元隨機(jī)變量為二元隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )關(guān)于關(guān)于X X（關(guān)于關(guān)于Y Y）的邊緣分布的邊緣分布 )( ji pp 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 PXi=xi,Yj=yj=pij 11 ), 2 , 1(), 2 , 1( ji ijij jpip則則稱稱 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y) X(Y)的的邊緣分布律邊緣分布律. . 記為記為: : 既有既有: 11 ), 2 , 1

19、(), 2 , 1( ji ijjiji jppipp X X與與Y Y的邊緣分布律可用表格形式表示的邊緣分布律可用表格形式表示 3. 3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量 定義定義 與二維離散隨機(jī)變量與二維離散隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )的討論類似的討論類似. . 對(duì)于二維隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量 ( ( X X, ,Y Y ) ) 分布函數(shù)分布函數(shù) F F ( (x x , , y y ) )， yx dudvvufyxF),(),( 則稱則稱 ( ( X X, ,Y Y ) ) 是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù) f f ( (x x , , y y )

20、)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量 ( ( X X, ,Y Y ) )的概率密的概率密 度，或稱為度，或稱為 X X 和和 Y Y 的聯(lián)合概率密度函數(shù)。的聯(lián)合概率密度函數(shù)。 如果存在非負(fù)函數(shù)如果存在非負(fù)函數(shù) f f ( (x x , , y y ) )，使得對(duì)于任意的使得對(duì)于任意的 x x，y y有：有： 概率密度的概率密度的性質(zhì)：性質(zhì)： ;0),(10 yxf ;1),(),(2 0 Fdxdyyxf 連續(xù)，則有連續(xù)，則有在點(diǎn)在點(diǎn)若若),(),(30yxyxf 40 設(shè)設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在落在 G 內(nèi)內(nèi) 的概率為：的概率為： G dxdyy

21、xfGYXP.),(),( 這個(gè)公式非常重要！這個(gè)公式非常重要！ ).,( ),( 2 yxf yx yxF 在幾何上在幾何上 z = f (x , y) 表示空間的一個(gè)曲面，上式表示空間的一個(gè)曲面，上式 即表示即表示 P(X,Y) G的值等于以的值等于以 G 為底，以曲面為底，以曲面 z = f (x , y)為頂?shù)闹w體積為頂?shù)闹w體積. 邊緣分布邊緣分布 稱二維隨機(jī)變量稱二維隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )關(guān)于分量關(guān)于分量X X( (Y Y) )分分 布為二元隨機(jī)變量布為二元隨機(jī)變量( (X,YX,Y) )關(guān)于關(guān)于X X（關(guān)于關(guān)于Y Y）的邊緣分布的邊緣分布 若二維連續(xù)型隨機(jī)變量若二維連

22、續(xù)型隨機(jī)變量( (X,Y)X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 f(f(x,yx,y) ) 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X X與與Y Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為f fX X( (x x), ), f fY Y( (y)y). . dyyxfxf X ， dxyxfyfY， 仿照一維隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算，可仿照一維隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算，可 以計(jì)算二維隨機(jī)變量的以計(jì)算二維隨機(jī)變量的 期望與方差期望與方差. . 定義：定義： yFxFyxF YX ， 設(shè)設(shè) ( ( X X , ,Y Y ) ) 是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量, ,其聯(lián)合分布其聯(lián)合分布 函數(shù)為函數(shù)為 F ( X ,Y )

23、， 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X與與Y Y的邊緣分布函數(shù)分別為的邊緣分布函數(shù)分別為F FX X( (x x) ) 和和F FY Y( (y y),), 如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的x,yx,y，均有，均有 則稱則稱 X X , ,Y Y 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。 yYPxXPyYxXP ，既既有有 4. 4. 二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 jiij yYxXPp ， ，21 ji ii xXPp ， 21 i jj yYPp ， 21 j jiij ppp 設(shè)設(shè) ( ( X X , ,Y Y ) ) 是二維隨機(jī)變量

24、，其聯(lián)合分布率為是二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布率為 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X與與Y Y的邊緣分布率分別為的邊緣分布率分別為 如果對(duì)于任意的如果對(duì)于任意的i i, j, j，均有，均有 則稱則稱 X X , ,Y Y 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. . yfxfyxf YX ， 設(shè)設(shè) ( ( X X , ,Y Y ) ) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密 度函數(shù)為度函數(shù)為f (x ,y )f (x ,y )，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量X X與與Y Y的邊緣概率的邊緣概率 密度函數(shù)分別密度函數(shù)分別fX(x), fY(y), 如果對(duì)于幾乎所有的如果對(duì)于幾乎所有的x,yx,y，有

25、，有 則稱則稱 X ,Y X ,Y 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。 說明說明: : 上式對(duì)上式對(duì)f f( (x,yx,y) )的所有連續(xù)點(diǎn)的所有連續(xù)點(diǎn)( (x,yx,y) )必須成立必須成立. . 連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 2.4.1 2.4.1 大數(shù)定律大數(shù)定律 2 2. .4 4. .2 2 中心極限定理中心極限定理 2.4.1 2.4.1 大數(shù)定律大數(shù)定律 1. 1. 貝努力貝努力(Bernoulli)(Bernoulli)大數(shù)定律大數(shù)定律 事件的頻率值隨著使用次數(shù)的增加穩(wěn)定地在某一事件的頻率值隨著使用次數(shù)的增加穩(wěn)定地在某一 值附近擺動(dòng)，多次測(cè)量的結(jié)果的平均

26、值與真值無值附近擺動(dòng)，多次測(cè)量的結(jié)果的平均值與真值無 限接近，這是為什么？限接近，這是為什么？ , 1|lim p n m P n . 0|lim p n m P n 或或 設(shè)設(shè)m m為為n n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), , p p是事件是事件 則對(duì)于任意則對(duì)于任意0,0,有有A A發(fā)生的概率發(fā)生的概率, , 此定律說明此定律說明 m/nm/n表示表示n n次實(shí)驗(yàn)中，事件次實(shí)驗(yàn)中，事件A A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率， P P表示事件表示事件A A在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率，在實(shí)驗(yàn)次數(shù)在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率，在實(shí)驗(yàn)次數(shù) n n很大時(shí)，事件很大時(shí)，事件A A發(fā)生的頻

27、率與概率有較大偏差的可發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可 能性很小，其是概率論中事件概率的統(tǒng)計(jì)定義的理能性很小，其是概率論中事件概率的統(tǒng)計(jì)定義的理 論依據(jù)，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的實(shí)際推斷原理的論依據(jù)，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的實(shí)際推斷原理的 理論依據(jù)理論依據(jù). . 2. 2. 辛欣大數(shù)定律辛欣大數(shù)定律 數(shù)學(xué)期望與方差，數(shù)學(xué)期望與方差，, 2 , 1, 2 kDXEX kk , 1| 1 |lim 1 n k k n X n P . 0| 1 |lim 1 n k k n X n P或或 設(shè)有隨機(jī)變量序列設(shè)有隨機(jī)變量序列X X1 1,X,X2 2，,X Xn n 相互獨(dú)立 相互獨(dú)立, , 且有相同且有相

28、同 則對(duì)于任意則對(duì)于任意0,0,有有 定律說明：定律說明： 的的算算術(shù)術(shù)序序列列獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量 n XXX, 21 ，它它是是測(cè)測(cè)量量中中取取平平均均值值學(xué)學(xué)期期望望平平均均值值依依概概率率收收斂斂到到數(shù)數(shù) 的的算算術(shù)術(shù)平平均均次次測(cè)測(cè)量量值值的的理理論論依依據(jù)據(jù)，即即), 2 , 1(nkxn k 的的理理論論依依據(jù)據(jù)。值值為為零零件件真真值值的的代代替替值值 2.4.2 2.4.2 中心極限定理中心極限定理 1. 1. 獨(dú)立同分布中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理 ), 2 , 1( , 0 2 kDX k lim 1 x n nX P n k k n ).( 2

29、 1 2 2 xdte xt 設(shè)有獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列設(shè)有獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列X1,X2，,Xn, 且且 ,則則 E(Xk)=, 中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是 統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。 此定理也稱林德貝格此定理也稱林德貝格勒維中心極限定理勒維中心極限定理 2.2.德莫佛德莫佛- -拉普拉斯拉普拉斯(De Moivre-Laplace)(De Moivre-Laplace)中心中心 極限定理極限定理 此定理說明此定理說明, ,在在n n相當(dāng)大時(shí)相當(dāng)大時(shí), ,X Xn n近似服從參數(shù)近似服從參數(shù)npnp, , npnp(1-(1-p p) )的正態(tài)分布的正態(tài)分布. .既有既有 )1( limx pnp npX P n n xt dte 2 2 2 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X Xn nBB( (n,pn,p), (0), (0p p1),1),則對(duì)于任意實(shí)數(shù)則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,x,均有均有 bXaP n npq npb npq npX npq npa P n )()( npq npa npq npb 1. 1. 局部極限定理局部極限定理 當(dāng)當(dāng)n n充分大時(shí)，有充分大時(shí)，有 npq