采樣定理簡介

1、一、采樣定理簡介采樣定理，又稱香農(nóng)采樣定律、 奈奎斯特采樣定律，是信息論，特別是通訊與信號處理 學(xué)科中的一個重要基本結(jié)論 .E. T. Whittaker ( 1915年發(fā)表的統(tǒng)計理論)，克勞德香農(nóng) 與 Harry Nyquist 都對它作出了重要貢獻(xiàn)。另外， V. A. Kotel nikov也對這個定理做了重要貢獻(xiàn)。采樣是將一個信號 (即時間或空間上的連續(xù)函數(shù))轉(zhuǎn)換成一個數(shù)值序列(即時間或空間上的離散函數(shù))。采樣得到的離散信號經(jīng)保持器后，得到的是階梯信號，即具有零階保持器的特性。如果信號是帶限的，并且采樣頻率高于信號最高頻率的一倍，那么，原來的連續(xù)信號可以從采樣樣本中完全重建出來。帶限信號

2、變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制， 也就是說它的離散時刻采樣表現(xiàn)信號細(xì)節(jié)的能力是非常有限的。采樣定理是指，如果信號帶寬小于奈奎斯特頻率(即采樣頻率的二分之一)，那么此時這些離散的采樣點能夠完全表示 原信號。高于或處于奈奎斯特頻率的頻率分量會導(dǎo)致混疊現(xiàn)象。大多數(shù)應(yīng)用都要求避免混疊，混疊問題的嚴(yán)重程度與這些混疊頻率分量的相對強度有關(guān)。采樣過程所應(yīng)遵循的規(guī)律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說明采樣頻率與信號頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號離散化的基本依據(jù)。采樣定理是1928年由美國電信工程師 H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述這

3、一定理，因此在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年信息論的創(chuàng)始人.香農(nóng)對這一定理加以明確地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又 稱為香農(nóng)采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時域采樣定理和頻域 采樣定理。采樣定理在數(shù)字式遙測系統(tǒng)、時分制遙測系統(tǒng)、信息處理、數(shù)字通信和采樣控制理論等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。時域采樣定理頻帶為F的連續(xù)信號f(t)可用一系列離散的采樣值f(t1),f(t1 A t) , f(t1 2At),.來表示，只要這些采樣點的時間間隔 t W 1/2F，便可根據(jù)各采樣值完全恢復(fù)原來的信號f(t)。時域采樣定理的另一種表述方式是：當(dāng)時間信號函數(shù)f(t)

4、的最高頻率分量為fM時,f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于1/2fM的采樣值來確定，即采樣點的重復(fù)頻率 f 2fM。時域采樣定理是采樣誤差理論、隨機變量采樣理 論和多變量采樣理論的基礎(chǔ)。頻域采樣定理 對于時間上受限制的連續(xù)信號 f(t)(即當(dāng)|t | T時,f(t)=0, 這里 T=T2-T1是信號的持續(xù)時間)， 若其頻譜為F(3),則可在頻域上用一系列離散的采樣值來 表示，只要這些采樣點的頻率間隔 w = n / tm 。二、采樣簡介從信號處理的角度來看，此采樣定理描述了兩個過程：其一是采樣，這一過程將連續(xù) 時間信號轉(zhuǎn)換為離散時間信號；其二是信號的重建，這一過程離散信號還原成連續(xù)信號。

5、連續(xù)信號在時間（或空間）上以某種方式變化著，而采樣過程則是在時間（或空間） 上，以T為單位間隔來測量連續(xù)信號的值。T稱為采樣間隔。在實際中，如果信號是時間的函數(shù)，通常他們的采樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級。采樣過程產(chǎn)生一系列的數(shù)字，稱為樣本。樣本代表了原來地信號。每一個樣本都對應(yīng)著測量這一樣本的特定時間點，而采樣間隔的倒數(shù)，1/T即為采樣頻率，fs，其單位為樣本/秒，即赫茲。信號的重建是對樣本進行插值的過程，即，從離散的樣本xn中，用數(shù)學(xué)的方法確定連續(xù)信號x（t）。三、對采樣定理的分析從采樣定理中，我們可以得出以下結(jié)論：如果已知信號的最高頻率 fH，采樣定理給出了保證完全重建信號的最低采

6、樣頻率。這 一最低采樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特采樣率，通常表示為fN。相反，如果已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完全重建信號所允許的最高信號頻率。以上兩種情況都說明，被采樣的信號必須是帶限的，即信號中高于某一給定值的頻率 成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重建信號中這些頻率成分的影響可忽略不計。 在第一種情況下，被采樣信號的頻率成分已知，比如聲音信號，由人類發(fā)出的聲音信號中， 頻率超過5 kHz的成分通常非常小，因此以 10 kHz的頻率來采樣這樣的音頻信號就足夠了。 在第二種情況下，我們得假設(shè)信號中頻率高于采樣頻率一半的頻率成分可忽略不計。這通常是用一個低通濾波器來實現(xiàn)的。（一）混疊

7、如果不能滿足上述采樣條件，采樣后信號的頻率就會重疊，即高于采樣頻率一半的頻 率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，而重建出來的信號稱為原信號的混疊替身，因為這兩個信號有同樣的樣本值。一個頻率正好是采樣頻率一半的弦波信號，通常會混疊成另一相同頻率的波弦信號， 但它的相位和幅度改變了。以下兩種措施可避免混疊的發(fā)生：1. 提高采樣頻率，使之達(dá)到最高信號頻率的兩倍以上；2. 引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數(shù)；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器抗混疊濾波器可限制信號的帶寬，使之滿足采樣定理的條件。從理論上來說，這是可 行的，但是在實際情況中是不可能做到的。因為濾波器

8、不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號，所以，采樣定理要求的帶寬之外總有一些“小的”能量。不過抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計。（二）減采樣當(dāng)一個信號被減采樣時，必須滿足采樣定理以避免混疊。為了滿足采樣定理的要求， 信號在進行減采樣操作前，必須通過一個具有適當(dāng)截止頻率的低通濾波器。這個用于避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。為了不失真地恢復(fù)模擬信號，采樣頻率應(yīng)該不小于模擬信號頻譜中最高頻率的2倍，即Fs2Fmax采樣率越高，稍后恢復(fù)出的波形就越接近原信號，但是對系統(tǒng)的要求就更高，轉(zhuǎn)換電路必須具有更快的轉(zhuǎn)換速度。（三）重構(gòu)原信號任何信號都可以看做是不同頻率的正弦（余弦）信號的疊加

9、，因此如果知道所有組成 這一信號的正（余弦）信號的幅值、頻率和相角，就可以重構(gòu)原信號。由于信號測量、分解 及時頻變換的過程中存在誤差，因此不能100%地重構(gòu)原信號，重構(gòu)的信號只能保證原信號誤差在容許范圍內(nèi)。四、帶通采樣定理抽樣定理指出，由樣值序列無失真恢復(fù)原信號的條件是f S2 f h，為了滿足抽樣定理，要求模擬信號的頻譜限制在0f h之內(nèi)（fh為模擬信號的最高頻率）。為此，在抽樣之前，先設(shè)置一個前置低通濾波器，將模擬信號的帶寬限制在fh以下，如果前置低通濾波器特性不良或者抽樣頻率過低都會產(chǎn)生折疊噪聲。例如，話音信號的最高頻率限制在3400H Z,這時滿足抽樣定理的最低的抽樣頻率應(yīng)為fS=68

10、00HZ,為了留有一定的防衛(wèi)帶，CCITT規(guī)定話音信號的抽樣率 fS=8000HZ,這樣就留出了 8000-6800=1200HZ作為濾波器的防衛(wèi)帶。 應(yīng)當(dāng)指出，抽樣頻率fS不是越高越好，太高時， 將會降低信道的利用率（因為隨著fS升高，數(shù)據(jù)傳輸速率也增大，則數(shù)字信號的帶寬變寬，導(dǎo)致信道利用率降低。）所以只要能滿足fS 2f h,并有一定頻帶的防衛(wèi)帶即可。以上討論的抽樣定理實際上是對低通信號的情況而言的，設(shè)模擬信號的頻率范圍為f0fh，帶寬B=fh - f0. 如果f0B，則稱之為帶通信號，載波 12路群信號（頻率范圍為 60108KHZ）就屬于帶通 型信號。對于低通型信號來講，應(yīng)滿足fS 2fh的條件，而對于帶通型信號，如果仍然按照這個抽樣，雖然能滿足樣值頻譜不產(chǎn)生重疊的要求，但是無疑fS太高了（因為帶通信號的 fh高），將降低信道頻寬的利用率，這是不可取的。設(shè)f（t）頻帶為（fi , fh），仍按f s=2f h抽樣，頻譜圖中有很多空隙，那么是否可降低抽樣 頻率呢經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)帶通信號的最高頻率fh如果是其帶寬的整數(shù)倍的話，例如fh=2B,當(dāng)抽樣頻率fs=2（fh fl ）=2 B時，其頻譜并不發(fā)生混疊。如果最高頻率fh不是信號帶寬B的整數(shù)倍，即：fh=KB其中