高等數(shù)最新課件曲率完整版

1、 一、一、 弧微弧微 分分 )(xfy 設(shè)設(shè) 在在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導數(shù)內(nèi)有連續(xù)導數(shù), 其圖形為其圖形為 AB, 弧長弧長)(xsAMs x s MM MM x MM MM MM x yx 22 )()( MM MM 2 )(1 x y x s xs x 0 lim)( 2 )(1 y x A B )(xfy a b x o y x M xx M y 1lim 0 MM MM x 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則弧長微分公式為則弧長微分公式為 tyxsdd 22 )(xs 2 )(1 y xysd)(1d 2 或或 22 )(d)(ddyxs xxd xd x

2、o y x M yd T 幾何意義幾何意義:sdTM ;cos d d s x sin d d s y 若曲線由參數(shù)方程表示若曲線由參數(shù)方程表示: )( )( tyy txx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式 在光滑弧上自點在光滑弧上自點 M 開始取弧段開始取弧段, 其長為其長為,s對應(yīng)切線對應(yīng)切線 , 定義定義 弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率s s K M M s 點點 M 處的曲率處的曲率 s K s 0 lim sd d 注意注意: 直線上任意點處的曲率為直線上任意點處的曲率為 0 ! 機動機動 目錄目錄 上頁上頁

3、下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為 例例1. 1. 求半徑為R 的圓上任意點處的曲率 . 解解: 如圖所示如圖所示 , Rs s K s 0 lim R 1 可見可見: R 愈小愈小, 則則K 愈大愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害圓弧彎曲得愈厲害 ; R 愈大愈大, 則則K 愈小愈小 , 圓弧彎曲得愈小圓弧彎曲得愈小 . s R M M 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 有曲率近似計算公式有曲率近似計算公式,1時當 y y tan) 22 ( 設(shè) y arctan得 xyd)arctan(d x y y d 1 2 xysd1d 2 故曲率計算公式為故曲率計算公式為

4、 s K d d 2 3 )1( 2 y y K yK 又又 曲率曲率K K 的計算公式的計算公式 )(xfy 二階可導二階可導,設(shè)曲線弧設(shè)曲線弧 則由則由 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明說明: : (1) 若曲線由參數(shù)方程若曲線由參數(shù)方程 )( )( tyy txx 給出給出, 則則 2 3 )1( 2 y y K (2) 若曲線方程為若曲線方程為, )(yx則則 2 3 )1( 2 x x K 2 3 )( 22 yx yxyx K 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 2. 我國鐵路常用立方拋物線 3 6 1 x lR y

5、 作緩和曲線作緩和曲線, 處的曲率處的曲率.) 6 ,(, )0,0( 2 R l lBO 點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停 說明說明: 鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車 平穩(wěn)安全平穩(wěn)安全, 求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲線在其兩個端點 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 且且 l R. 其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, 離心力必須離心力必須 連續(xù)變化連續(xù)變化 , 因此鐵道的因此鐵道的 曲率應(yīng)連續(xù)變化曲率應(yīng)連續(xù)變化 . 例例2. 2. 我國鐵路常用立方拋物線 3 6 1 x lR y 作緩和曲線

6、作緩和曲線, 且且 l R. 處的曲率處的曲率.) 6 ,(, )0,0( 2 R l lBO 其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, 求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲線在其兩個端點 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解:,0時當lx R l 2 0 x lR y 1 yK x lR 1 顯然顯然 ;0 0 x K R K lx 1 2 2 1 x lR y R B y ox 3 6 1 x lR y l 例例3. 3. 求橢圓 tby tax sin cos )20(t在何處曲率最大在何處曲率最大? 解解: 故曲率為

7、故曲率為 ba 2 3 )cossin( 2222 tbta ;sintax ;costby taxcos tbysin 2 3 )( 22 yx yxyx K K 最大最大tbtatf 2222 cossin)( 最小最小 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ttbttatfsincos2cossin2)( 2 tba2sin)( 22 求駐點求駐點: 的導數(shù)數(shù) 表示對參 t x ,0)( t f令,0t得, 2 , 2 3 2, 設(shè)設(shè) tbatf2sin)()( 22 t )(tf 0 2 2 3 2 2 b 2 b 2 a 2 b 2 a 從而從而 K 取最大值取

8、最大值 . 這說明橢圓在點這說明橢圓在點 ,0ab時則2,0t )0,(a處曲率處曲率 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 計算駐點處的函數(shù)值計算駐點處的函數(shù)值: y x b a b a ,)( 取最小值tf 最大最大. 三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 T y xo ),(D R ),(yxM C 設(shè)設(shè) M 為曲線為曲線 C 上任一點上任一點 , 在點在點 在曲線在曲線 K RDM 1 把以把以 D 為中心為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點為半徑的圓叫做曲線在點 M 處的處的 曲率圓曲率圓 ( 密切圓密切圓 ) , R 叫做叫做曲率半徑曲率半徑, D 叫做

9、叫做曲率中心曲率中心. 在點在點M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系: (1) 有公切線有公切線;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 . M 處作曲線的切線和法線處作曲線的切線和法線, 的凹向一側(cè)法線上取點的凹向一側(cè)法線上取點 D 使使 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)曲線方程為, )(xfy 且且,0 y 求曲線上點求曲線上點M 處的處的 曲率半徑及曲率中心曲率半徑及曲率中心),(D 設(shè)點設(shè)點M 處的曲率圓方程為處的曲率圓方程為 222 )()(R 故曲率半徑公式為故曲率半徑公式為 K R 1 2 3 )1 ( 2 y y

10、 滿足方程組滿足方程組 , 222 )()(Ryx),(在曲率圓上yxM )(MTDM y y x 的坐標公式的坐標公式 . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 T C y xo ),(D R ),(yxM 由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式 y yy x )1 ( 2 y y y 2 1 (注意注意y與與 y 異號異號 ) 當點當點 M (x , y) 沿曲沿曲 線線 )(xfy 移動時移動時, 的軌跡的軌跡 G 稱為曲線稱為曲線 C 的的漸屈線漸屈線 , 相應(yīng)的曲率中心相應(yīng)的曲率中心 C y x o ),(yxM ),(D R T 曲率中心公式可看成漸曲率中心

11、公式可看成漸 曲線曲線 C 稱為曲線稱為曲線 G 的的漸伸線漸伸線 . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 屈線的參數(shù)方程屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為參數(shù)為x). 點擊圖中任意點動畫開始或暫停點擊圖中任意點動畫開始或暫停 例例4. 4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨 削其內(nèi)表面削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適問選擇多大的砂輪比較合適? 解解: 設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為 tby tax sin cos ),20(abx 由例由例3可知可知, 橢圓在橢圓在)0,( a o y x 處曲率最大處曲率最大 , 即曲率半徑最小即曲率半徑最小, 且為且為 R 2

12、3 )cossin( 2222 tbta ba 0t a b2 顯然顯然, 砂輪半徑不超過砂輪半徑不超過 a b2 時時, 才不會產(chǎn)生過量磨損才不會產(chǎn)生過量磨損 , 或有的地方磨不到的問題或有的地方磨不到的問題. a b 例例3 3 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( 仍為擺線仍為擺線 ) )sin( a )cos1 ( a 例例5. 5. 求擺線 )cos1 ( )sin( tay ttax 的漸屈線方程的漸屈線方程 . 解解: x y y , cos1 sin t t x y y t )( d d 2 )cos1 ( 1 ta 代入曲率中心公式代入曲率中心公式 , )si

13、n(tta ) 1(cos ta 得得 ,t令 a a 2 擺線擺線 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 y o x M o 擺線擺線 半徑為半徑為 a 的圓周沿直線無滑動地滾動時的圓周沿直線無滑動地滾動時 , 點擊圖中任意點動畫開始或暫停點擊圖中任意點動畫開始或暫停 M o y x t a 其上定點其上定點 M 的軌跡即為擺線的軌跡即為擺線 . )sin(ttax )cos1 (tay 參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線擺線的漸屈線 點擊圖中任意點動畫開始或暫停點擊圖中任意點動畫開始或暫停 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.

14、 弧長微分弧長微分xysd1d 2 或或 22 )(d)(ddyxs 2. 曲率公式曲率公式 s K d d 2 3 )1 ( 2 y y 3. 曲率圓曲率圓 曲率半徑曲率半徑 K R 1 y y 2 3 )1 ( 2 曲率中心曲率中心 y yy x )1 ( 2 y y y 2 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考與練習思考與練習 1. 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系? 答答: 有公切線有公切線 ;凹向一致凹向一致 ;曲率相同曲率相同. 2. 求雙曲線求雙曲線 1yx 的曲率半徑的曲率半徑 R , 并分析何處并分析何處 R 最小最小? 解解:,