熱學(xué)競賽輔導(dǎo)(2)(2013)

1、1 2011年10月 2 熱學(xué)主要公式熱學(xué)主要公式 2 3 1 mnP 1. 理想氣體的狀態(tài)方程理想氣體的狀態(tài)方程: 2. 理想氣體的壓強(qiáng)公式理想氣體的壓強(qiáng)公式 RTPV 3. 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能PV i NkT i E 22 4. 分子按速律分布分子按速律分布 de kT m N dN kT m 2 2/3 2 2 2 4 5. 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 zyx kTEE dddxdydzdCedN pk / )( kTmgh kTE ePPenn p/ 0 / 0 6. .三種速率三種速率 m kT 8 m kT3 2 m kT p 2 3 RT M b M V V aM P

2、 )( 22 2 7. .范德瓦爾斯方程范德瓦爾斯方程 8.8.平均自由程和平均碰撞頻率平均自由程和平均碰撞頻率 12.12.功功 PdVdA vndZ 2 2 Pd kT nd 22 22 1 dAdEdQ 13.13.熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律 9.9.粘滯系數(shù)粘滯系數(shù) 3 1 3 1 nm 10.10.熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù) V ck i n 3 1 23 1 11.11.擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散系數(shù) 3 1 D 4 14.14.熱容熱容量量 dT dQ C V Vm dT dQ C 1 19.19.熵變熵變 T dQ dS 2 1 12 T dQ SS 20.20.熵增加原理熵增加原理 0 S 2

3、1.21.熵與微觀態(tài)的關(guān)系熵與微觀態(tài)的關(guān)系 lnkS 16.16.絕熱過程方程絕熱過程方程CPV 15.15.邁爾公式邁爾公式RCC VmPm 17.17.熱機(jī)的效率熱機(jī)的效率 1 2 1 1 Q Q Q A 21 22 QQ Q A Q w 18.18.致冷系數(shù)致冷系數(shù) CTV 1 C T P 1 5 1 1、某種理想氣體分子的平動(dòng)自由度、某種理想氣體分子的平動(dòng)自由度t=3,t=3,轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r=2,r=2,振動(dòng)自由度振動(dòng)自由度s=1.s=1.當(dāng)氣體的溫度為當(dāng)氣體的溫度為T T時(shí)時(shí), ,一個(gè)分子一個(gè)分子 的平均總能量等于的平均總能量等于_,_,一摩爾該種氣體的內(nèi)一摩爾該種氣體的內(nèi)

4、 能等于能等于_. _. RTkT 2 7 , 2 7 )1(RTkT 2 5 , 2 5 )2( RTkT 2 3 , 2 3 )3(RTkT 2 1 , 2 1 )4( 2 2、右圖為某種氣體的兩條麥克斯韋速率分布曲線、右圖為某種氣體的兩條麥克斯韋速率分布曲線, ,則則 它們的最可幾速率它們的最可幾速率V VP1 P1_V _VP2 P2, ,溫度 溫度T T1 1_T_T2 2. . (1)V(1)VP1 P1V VP2 P2, T , T1 1TT2 2 (2)V(2)VP1 P1V TT2 2 (3)V(3)VP1 P1V VP2 P2, T , T1 1TV VP2 P2, T ,

5、 T1 1T1。工作于其中兩個(gè)任。工作于其中兩個(gè)任 選熱源之間的可逆卡諾熱機(jī)的循環(huán)效率最大可選熱源之間的可逆卡諾熱機(jī)的循環(huán)效率最大可 取值取值max=_。由這四個(gè)熱源共同參與。由這四個(gè)熱源共同參與 的某個(gè)可逆循環(huán)如圖所示，圖中每一條實(shí)線與的某個(gè)可逆循環(huán)如圖所示，圖中每一條實(shí)線與 其間輔助虛線同屬一條絕熱線。此循環(huán)過程效其間輔助虛線同屬一條絕熱線。此循環(huán)過程效 率率=_。 O V P T1 T2 T3 T4 解：解： 3 1 4 max 1 11 T T 2 2 4 1 3 1 111 T T T T 第第25屆（屆（2008）考題考題 10 第第22屆（屆（2005）考題考題 例例3 3：設(shè)某

6、種雙原子分子理想氣體，設(shè)某種雙原子分子理想氣體， 在溫度低于在溫度低于2 2T T0 0時(shí)等容摩爾熱容量為時(shí)等容摩爾熱容量為 5R/25R/2，在溫度高于，在溫度高于2 2T T0 0時(shí)等容摩爾熱時(shí)等容摩爾熱 容量為容量為7R/27R/2。該氣體所經(jīng)熱循環(huán)過。該氣體所經(jīng)熱循環(huán)過 程如圖所示，試求循環(huán)效率程如圖所示，試求循環(huán)效率。 V0 B A C D 3T0 T0 3V0O V P 解解1： BCAB QQQ 吸吸 B C V V TTRTTRTTRQln)3(2 2 5 23 2 7 00000 吸吸 3ln36 00 RTRTQ 吸吸 DACD QQQ 放放 A D V V RTTTRTT

7、RQln2 2 5 23 2 7 00000 放放 3ln6 00 RTRTQ 放放 %6 .23 3ln36 3ln6 11 吸吸 放放 Q Q 11 解解2：（正確）：（正確） BCAB QQQ 吸吸 B C V V TTRTRTRQln)3( 2 5 3 2 7 000 吸吸 3ln38 00 RTRTQ 吸吸 DACD QQQ 放放 A D V V RTTRTRQln 2 5 3 2 7 000 放放 3ln8 00 RTRTQ 放放 %5 .19 3ln38 3ln8 11 吸吸 放放 Q Q 12 例例4：在圖示的密閉容器內(nèi)有一空腔，加熱容器會(huì)使在圖示的密閉容器內(nèi)有一空腔，加熱容器

8、會(huì)使 腔壁產(chǎn)生熱輻射，在空腔內(nèi)形成包含各種頻率的光子腔壁產(chǎn)生熱輻射，在空腔內(nèi)形成包含各種頻率的光子 氣。而后腔壁會(huì)繼續(xù)向空腔輸運(yùn)各種頻率的光子，光氣。而后腔壁會(huì)繼續(xù)向空腔輸運(yùn)各種頻率的光子，光 子氣中各種頻率的光子也會(huì)輸運(yùn)到腔壁，在給定溫度子氣中各種頻率的光子也會(huì)輸運(yùn)到腔壁，在給定溫度 下達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。平衡時(shí)，可等效地將腔壁處理成既下達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。平衡時(shí)，可等效地將腔壁處理成既 不產(chǎn)生新的熱輻射光子，也不吸收腔內(nèi)有的光子，這不產(chǎn)生新的熱輻射光子，也不吸收腔內(nèi)有的光子，這 相當(dāng)于假設(shè)腔壁對(duì)光子氣中的光子是全反射的，于是相當(dāng)于假設(shè)腔壁對(duì)光子氣中的光子是全反射的，于是 光子可類比成理想氣體。已知腔內(nèi)

9、光子氣的能量密度光子可類比成理想氣體。已知腔內(nèi)光子氣的能量密度 u與溫度與溫度T的的4次方成正比，試求光子氣壓強(qiáng)次方成正比，試求光子氣壓強(qiáng)P與溫度與溫度T 的關(guān)系。的關(guān)系。 空腔空腔 第第23屆（屆（2006）考題）考題 13 光子氣的光子氣的 能量密度能量密度 解解：頻率為頻率為的光子，質(zhì)量為的光子，質(zhì)量為 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 2 c h m uhncmnP 3 1 3 1 3 1 2 其中其中 hnu 即為光子氣中即為光子氣中光子的光子的能量密度。能量密度。 于是，光子的總壓強(qiáng)為于是，光子的總壓強(qiáng)為 uuPP 3 1 3 1 因因 uT4 所以所以 PT4 14 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要

10、內(nèi)容 例例5: 1mol剛性雙原子理想氣體經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)，剛性雙原子理想氣體經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)， 求循環(huán)效率。求循環(huán)效率。 O P VV12V1 P1 2P1 a b c 解：解：氣體對(duì)外作功氣體對(duì)外作功 11 2 1 VPA （1） ）a b 過程過程 111111 2 5 2 2 5 VPVPVPEab 11111 )2(VPVVPAab 吸熱：吸熱：0 ababab AEQ 利用利用 1 Q A 計(jì)算效率計(jì)算效率 實(shí)際是放熱。實(shí)際是放熱。 （2） bc 過程過程 bcbc QVPVPVPE 111111 2 5 )2( 2 5 吸熱吸熱 15 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 O P VV1

11、2V1 P1 2P1 a b c （3）ca 過程過程 過程方程設(shè)為：過程方程設(shè)為： VP 這里：這里： 1 1 V P 1 3P 1 1 1 3PV V P P 取一微小過程尋找絕熱點(diǎn)取一微小過程尋找絕熱點(diǎn)尋找吸熱到放熱的轉(zhuǎn)變點(diǎn)，尋找吸熱到放熱的轉(zhuǎn)變點(diǎn)， PdVdEdQ PdVPVd 2 5 PdVVdPPdV 2 5 2 5 而過程方程而過程方程 dV V P dP 1 1 dVV V P PdQ 1 1 2 5 2 7 dVV V P P 1 1 1 2 2 7 3 16 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 dVV V P PdQ 1 1 1 2 2 7 3 （a）當(dāng)）當(dāng)V V P P 1 1 1

12、 2 2 7 即：即： 1 4 7 VV 0 dQ系統(tǒng)吸熱系統(tǒng)吸熱 （b）當(dāng)）當(dāng)V V P P 1 1 1 2 2 7 即：即： 1 4 7 VV 0 dQ 系統(tǒng)放熱系統(tǒng)放熱 O P VV12V1 P1 2P1 a b c （c）當(dāng)）當(dāng) 1 1 1 2 2 7 V P P 即：即： 1 4 7 VV 0 dQ系統(tǒng)既不放系統(tǒng)既不放 熱也不吸熱熱也不吸熱 1 4 7 V ce 過程吸熱過程吸熱 dQQce 1 1 4 7 1 1 1 2 2 7 3 V V dVV V P P 11 16 27 VP 17 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 總吸熱為：總吸熱為： cebc QQQ 11111 16 27 2

13、 5 VPVP 11 16 67 VP 效率為效率為 %9 .11 67 8 16 67 2 1 11 11 1 VP VP Q A O P VV12V1 P1 2P1 a b c 1 4 7 V 18 第第27屆（屆（2010）考題）考題 例例5: n摩爾剛性單原子分子理想氣體經(jīng)循環(huán)過程摩爾剛性單原子分子理想氣體經(jīng)循環(huán)過程ABCA 和相關(guān)狀態(tài)量如圖所示，其中和相關(guān)狀態(tài)量如圖所示，其中AB是斜直線，是斜直線，BC是等溫是等溫 線，線，CA是等壓線。求：是等壓線。求： （1）每段過程對(duì)外所做的功；）每段過程對(duì)外所做的功； （2）每段過程中）每段過程中, 系統(tǒng)內(nèi)能的增加和吸收的熱量；系統(tǒng)內(nèi)能的增加

14、和吸收的熱量； （3）此循環(huán)過程的效率。）此循環(huán)過程的效率。 （注：（注：ln2=0.693, ln3=1.099, ln5=1.609） O P V V02V0 P0 2P0 C A B 4V0 19 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 例例6：絕熱汽缸內(nèi)有一不導(dǎo)熱的隔板，把汽缸分成絕熱汽缸內(nèi)有一不導(dǎo)熱的隔板，把汽缸分成A， B兩室兩室,每室中有質(zhì)量相同的同種單原子分子理想氣體每室中有質(zhì)量相同的同種單原子分子理想氣體, 它們的壓強(qiáng)都是它們的壓強(qiáng)都是P0，體積都是，體積都是V0，溫度都是，溫度都是T0。今通。今通 過過A 室中的電熱絲室中的電熱絲L對(duì)氣體加熱，轉(zhuǎn)給氣體的熱量為對(duì)氣體加熱，轉(zhuǎn)給氣體的熱量為

15、Q， 達(dá)到平衡時(shí)，達(dá)到平衡時(shí)，A室的體積是室的體積是B室的二倍，試求兩室中氣室的二倍，試求兩室中氣 體的溫度。體的溫度。 AB L 解：解： A室室 初態(tài)初態(tài) 0 P 0 V 0 T 末態(tài)末態(tài)P A V A T B室室 初態(tài)初態(tài) 0 P 0 V 0 T 末態(tài)末態(tài)P B V B T 20 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程 NkTPV 有有 AA NkTPV BB NkTPV 兩式相除，得到兩式相除，得到 2 1 A B A B V V T T 即：即：)1(02 BA TT 由于汽缸的體積是不變的，電熱絲的熱量全部變成了由于汽缸的體積是不變的，電熱絲的熱量全部變

16、成了 兩室的內(nèi)能增量：兩室的內(nèi)能增量： QNkTNkTNkT BA 0 2 3 2 2 3 2 3 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?2()3( 3 2 0 NkTQ Nk TT BA （1）（）（2）兩式聯(lián)立，可求得：）兩式聯(lián)立，可求得： )3( 9 4 0 NkTQ Nk TA )3( 9 2 0 NkTQ Nk TB 21 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 )3( 9 4 0 NkTQ Nk TA )3( 9 2 0 NkTQ Nk TB 據(jù)據(jù) 000 NkTVP 有有 Nk T VP 0 00 因此末態(tài)兩室的溫度為因此末態(tài)兩室的溫度為 )3( 9 4 00 00 0 VPQ VP T TA )3( 9 2 0

17、0 00 0 VPQ VP T TB 22 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 例例7：某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程某理想氣體經(jīng)歷的正循環(huán)過程 ABCDA和正和正 循環(huán)過程循環(huán)過程 AEFGA,各自效率分別為各自效率分別為1和和2，試證，試證 2:1=4 : 3 A B E G F D C V02V0 0 3 7 V P0 2P0 3P0 P 0 V 證明：證明： 對(duì)于循環(huán)過程對(duì)于循環(huán)過程 ABCDA A-B和和B-C 為吸熱過程為吸熱過程 000000 22 2 2 VP i VP i VP i EQ ABAB BCBCBC AEQ 000000000 )2()2(22 2 22 2 VPiVVPVP

18、i VP i 共吸熱共吸熱 001 )2 2 3 (VPiQQQ BCAB 23 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 A B E G F D C V02V0 0 3 7 V P0 2P0 3P0 P 0 V 001 )2 2 3 (VPiQQQ BCAB 此循環(huán)過程對(duì)外作功為此循環(huán)過程對(duì)外作功為 0000001 )2)(2(VPVVPPA 效率：效率： 43 2 1 1 1 iQ A 對(duì)于循環(huán)過程對(duì)于循環(huán)過程 AEFGA A-E和和E-F 為吸熱過程為吸熱過程 000000 2 3 2 ViPVP i VP i EQ AEAE EFEFEF AEQ 000000000 )2(2) 3 7 (33 23

19、7 3 2 VPiVVPVP i VP i 共吸熱共吸熱 002 )43(VPiQQQ EFAE 24 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 002 )43(VPiQQQ EFAE A B E G F D C V02V0 0 3 7 V P0 2P0 3P0 P 0 V 此循環(huán)過程對(duì)外作功為此循環(huán)過程對(duì)外作功為 0000002 3 8 ) 3 7 )(3(VPVVPPA 效率：效率： 43 3 8 2 2 2 iQ A 所以所以3:4: 12 證畢。證畢。 25 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 例例8：兩個(gè)與大氣接觸的汽缸分別存有同種理想氣體，兩個(gè)與大氣接觸的汽缸分別存有同種理想氣體， 細(xì)管絕熱閥門細(xì)管絕熱閥門

20、K關(guān)閉，缸內(nèi)氣體溫度和體積各為關(guān)閉，缸內(nèi)氣體溫度和體積各為 11,V T 和和 22,V T，兩缸上方均有輕質(zhì)可動(dòng)活塞，活塞與缸壁，兩缸上方均有輕質(zhì)可動(dòng)活塞，活塞與缸壁 間無空隙且無摩擦，系統(tǒng)與外界絕熱。間無空隙且無摩擦，系統(tǒng)與外界絕熱。 （1）將閥門）將閥門K緩慢打開，試求缸內(nèi)氣體混合平衡后緩慢打開，試求缸內(nèi)氣體混合平衡后 的總體積；的總體積； （2）設(shè)該種氣體的定容摩爾熱容量為）設(shè)該種氣體的定容摩爾熱容量為 Vm C，開始時(shí)，開始時(shí) 兩邊氣體摩爾數(shù)同為兩邊氣體摩爾數(shù)同為，試求按（，試求按（1）問所述氣體）問所述氣體 混合平衡后系統(tǒng)熵增量混合平衡后系統(tǒng)熵增量 S K 11,V T 22,V

21、T 26 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 K 11,V T 22,V T 解解（1）混合后的體積設(shè)為混合后的體積設(shè)為V 外界對(duì)氣體作功等于內(nèi)能增量，即：外界對(duì)氣體作功等于內(nèi)能增量，即： 20100210 222 )(VP i VP i VP i VVVP 0)() 1 2 ( 210 VVVP i 得到：得到： 21 VVV （2）系統(tǒng)體積沒有變化，沒有體變功，又是絕熱過程，）系統(tǒng)體積沒有變化，沒有體變功，又是絕熱過程， 系統(tǒng)的內(nèi)能不變，應(yīng)有：系統(tǒng)的內(nèi)能不變，應(yīng)有： )()( 221121 TCTCTC VmVmVm 由于由于)( 21 所以：所以： 2 21 TT T 27 熱學(xué)主要內(nèi)容熱學(xué)主要內(nèi)容 混合過程熵變?yōu)榛旌线^程熵變?yōu)?RL SSS 21 2 21 4 )( ln)( TT TT RC Vm 22 21 1 21 2 )()( TT T TT T VmVm T dTRC T dTRC 22 21 1 21 2 TT T TT T PmPm T dTC T dTC 28 例例9：在兩端絕熱封頂，半徑在兩端絕熱封頂，半徑R2=7.5cm的長容器內(nèi)，同的長容器內(nèi)，同 軸地固定著半徑軸地固定著半徑R1=5cm長鈾棒，兩者之間夾著一層空氣。長鈾棒，兩者之間夾著一層空氣。 鈾因裂