具有外部環(huán)境的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性介紹.doc

1、專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)：1111100117Hebei Normal University of Science & Technology本 科 畢業(yè)論文（自然科學(xué)）題目：具有外部環(huán)境的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析院（系、部）：學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：職稱2014年 05月 26日河北科技師范學(xué)院教務(wù)處制資料目錄1. 學(xué)術(shù)聲明 ,2. 河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 ,3. 河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論文任務(wù)書,4. 河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論文計(jì)劃書,5. 河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論文中期檢查表,6. 河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論文答辯記錄表,7.河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論成績(jī)?cè)u(píng)定匯總表,8.河北科技師范學(xué)

2、院本科畢業(yè)論文工作總結(jié),9. 文獻(xiàn)綜述 ,10.外文翻譯及原文 ,1 1頁(yè)114 頁(yè)1 1頁(yè)1 3頁(yè)1 1頁(yè)1 1頁(yè)1 2頁(yè)1 1頁(yè)1 5頁(yè)118 頁(yè)河北科技師范學(xué)院本科畢業(yè)論文具有外部環(huán)境的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析院（系、部）名稱：專業(yè)名稱 ：學(xué)生姓名 ：學(xué)生學(xué)號(hào) ：指導(dǎo)教師 ：2014年 05月 24日河北科技師范學(xué)院教務(wù)處制學(xué)術(shù)聲明本人呈交的學(xué)位論文，是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，所有數(shù)據(jù)、圖片資料真實(shí)可靠。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文的研究成果不包含他人享有著作權(quán)的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集體，均已在文中以明確的方式標(biāo)明。本學(xué)

3、位論文的知識(shí)產(chǎn)權(quán)歸屬于河北科技師范學(xué)院。本人簽名：日期：指導(dǎo)教師簽名：日期：目錄目錄摘 要 .IAbstract.II1引言 .11.1論文研究的背景與意義 .11.2群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究現(xiàn)狀 .11.3本文主要研究?jī)?nèi)容 .22群集模型 .33二次型吸引 /排斥分布函數(shù) .54穩(wěn)定性分析 .65數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn) .9結(jié)論 .10參考文獻(xiàn).10致謝 .13附錄群集穩(wěn)定性的仿真程序 .錯(cuò)誤！未定義書簽。摘要具有外部環(huán)境的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析摘 要在生物界， 群集是一個(gè)非常普遍和有趣的現(xiàn)象。 為了在大自然中生存， 從簡(jiǎn)單的細(xì)菌到高級(jí)的哺乳類動(dòng)物， 很多生物表現(xiàn)出群體行為。 近些年來，越來越多的數(shù)學(xué)家和

4、物理學(xué)家從數(shù)學(xué)模型方面研究這一現(xiàn)象。在本文中，提出了一個(gè)在 n 維吸引 /排斥函數(shù)下的“基于個(gè)體”的連續(xù)時(shí)間各向同性 Swarm 模型。每個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)都由三個(gè)部分決定：（1）吸引處于遠(yuǎn)處的個(gè)體； （2）排斥處于近處的個(gè)體； （ 3）吸引到吸引 / 排斥分布函數(shù)的更有利區(qū)域?；?Lyapunov 穩(wěn)定性理論研究了處于二次分布函數(shù)下群集的集體行為的穩(wěn)定性，且仿真結(jié)果數(shù)值地驗(yàn)證了文中群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)鍵詞： Swarm 模型；群體行為；穩(wěn)定性；數(shù)值仿真IAbstractStability analysis of the swarm system with the externalenvironm

5、entAbstractSwarming is one of the most common and interesting phenomena in the biological world. Many organisms ranging from simple bacteria to more advanced mammals behave collectively in order to survive in nature. In the recent years, more and more mathematicians and physicists study this phenome

6、non from the aspects of mathematicalmodeling. In this article we specify an “-basedindividual”continuous timeisotropy swarm model in n-dimensional space with an attractant/repellent profile. The motion of each individual is determined by three components: (1) attraction to the other individuals on l

7、ong distances; (2) repulsion from the other individuals on short distances; (3) attraction to the more favorable regions of the attractant/repellent profile. The stability properties of the collective behavior of the swarm for quadratic profiles is studied with Lyapunov stability theory. The simulat

8、ion results were provided that verify the stability of the swarm system proposed in this paper.Keywords: Swarm Model; flocking motion; stability; numerical simulationsII河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文1 引言1.1論文研究的背景與意義在生物界，群集是一個(gè)非常普遍和有趣的現(xiàn)象，且群體行為是目前復(fù)雜性科學(xué)的熱門研究領(lǐng)域。很長(zhǎng)一段時(shí)間，生物學(xué)家一直在致力于研究群體行為 1 ，從簡(jiǎn)單的細(xì)菌（比如大腸桿菌）到高級(jí)哺乳類動(dòng)物（比如

9、人類） ，自然界中許多生物由于某種原因相互聚集在一起。 許多生物理論證明， 這樣的合作行為具有一定的優(yōu)勢(shì)， 如增加尋找食物的機(jī)會(huì)、 躲避捕食者和構(gòu)建巢穴， 但是仍需要生物體之間的相互溝通和協(xié)調(diào)策略的確定。例如， Krause 和 Ruxton2 、Couzin 和 Krause3 表明為了在大自然中生存，魚群、成群的鳥兒、群居的螞蟻和其它一些脊椎動(dòng)物都表現(xiàn)出群體行為， 甚至可以在細(xì)菌菌落中也發(fā)現(xiàn)群體行為。 總之，在生物界中群體行為大幅度增加了生存的平均成功率，也就是說，與它們自己?jiǎn)为?dú)生存比起來群體的每個(gè)個(gè)體成員會(huì)做的更好， 生物學(xué)家對(duì)這一現(xiàn)象的研究已經(jīng)有幾十年了 4 。同生物學(xué)家一樣， 許多物

10、理學(xué)家在群體行為方面也做出了重要的貢獻(xiàn)。 由于群中個(gè)體成員的相互作用， 物理學(xué)家采用的普遍方法是把每個(gè)個(gè)體模擬為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以研究此群集的群體行為。 現(xiàn)在，我們一般認(rèn)為群體行為是個(gè)體成員之間遠(yuǎn)距離吸引和近距離排斥相互作用的結(jié)果。近些年來，越來越多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家從數(shù)學(xué)模型 5-6 方面研究這一現(xiàn)象。越來越多的研究集中在由工程領(lǐng)域的發(fā)展引起的群體行為， 如控制、分布式協(xié)調(diào)管理以及學(xué)習(xí)自動(dòng)化多智能體系統(tǒng)如自治多機(jī)器人的應(yīng)用和無人的海、 陸、空中機(jī)動(dòng)群體的控制策略，然而，利用生物原則來研究這樣的高度自動(dòng)化的多智能體系統(tǒng)有幾個(gè)關(guān)鍵的步驟，其中包括生物群體小組目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)分析的完成、 群體的建模和明確協(xié)調(diào)

11、策略。目前研究群集系統(tǒng)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)是研究其數(shù)學(xué)建模、 穩(wěn)定性分析和軟控制， 來自社會(huì)生態(tài)學(xué)界、 理論生物學(xué)界、 物理界、工程應(yīng)用界以及控制工程界等不同領(lǐng)域的專家學(xué)者對(duì)此產(chǎn)生了濃厚的興趣并進(jìn)行了深入的研究， 從而積累了關(guān)于群集系統(tǒng)的豐富理論成果。1.2群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究現(xiàn)狀研究一個(gè)群集系統(tǒng)性能的關(guān)鍵之處是分析它穩(wěn)定性，所以分析群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)于群集系統(tǒng)來說具有深遠(yuǎn)的意義。早期的分析群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一些方法，大部分是利用群集系統(tǒng)的各個(gè)孤立子系統(tǒng)的某種穩(wěn)定性，然后通過適當(dāng)?shù)目刂脐P(guān)聯(lián)項(xiàng)，來判斷群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，通過不斷地研究和實(shí)踐， 人們逐漸發(fā)現(xiàn)由群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性一定可以得到孤立子系統(tǒng)1

12、河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文的穩(wěn)定性，但是，由群集的各個(gè)孤立子系統(tǒng)的穩(wěn)定性并不一定可以得到群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性 7 。為了解決這一現(xiàn)象，來自社會(huì)生態(tài)學(xué)界、理論生物學(xué)界、物理界、工程應(yīng)用界以及控制工程界等不同領(lǐng)域的專家學(xué)者研究出了新的分析穩(wěn)定性的方法， 其中主要是應(yīng)有 Lyapunov 函數(shù)、矩陣指數(shù)函數(shù)、積分估計(jì)和代數(shù)關(guān)系等方法來判定群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Jin8 等人提出了一個(gè)處于二維空間的同步群集模型，并應(yīng)用Lyapunov 函數(shù)方法證明了此群集的穩(wěn)定性。Breder9 提出了一個(gè)由一個(gè)吸引項(xiàng)和一個(gè)排斥項(xiàng)組成的簡(jiǎn)單群集模型，其中引力是恒定的，斥力與個(gè)體間的距離的平方成反比。王龍 10-

13、11 等人提出了一個(gè)基于個(gè)體成員間吸引 /排斥相互作用的各向異性的群集模型，并討論了此群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。12Gazi 和 Passino提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的基于個(gè)體間的吸引/排斥相互作用群體聚集模型，并表明不管群集中個(gè)體成員的數(shù)量， 該群集都會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到恒定的范圍內(nèi)。在文獻(xiàn) 12 中，作者指定了一個(gè)吸引 /排斥函數(shù)，以確保群集的每個(gè)個(gè)體成員不離開整個(gè)群集。此外，他們?cè)谖墨I(xiàn) 13 中修改了他們的模型，且引入了環(huán)境因素，并表明該群能避免不利區(qū)域。2004 年， Fax14等人提出了一個(gè)線性群集系統(tǒng)，并應(yīng)用 Nyquist 穩(wěn)定性判定方法證明了此群集的穩(wěn)定性。2005 年，陳世明和方華京提

14、出了一個(gè)大規(guī)模智能群體模型，并應(yīng)用Lyapunov 函數(shù)方法分析了此群集的穩(wěn)定性15。2006 年， Olfatis 16提出了一個(gè)具有Boid 模型的群集系統(tǒng)，并在控制工程的方面分析了此群集的穩(wěn)定性。2009 年，郭曉麗等人提出了一種基于一維離散時(shí)間的完全異步的群集系統(tǒng)，并對(duì)此群集進(jìn)行了穩(wěn)定性分析 17 。2010 年，在二維空間中群集系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，王冬梅等人提出了在任意有限維中的群集并應(yīng)用求解凸殼的方法證明了此群集的穩(wěn)定性 18。群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性是將群體行為應(yīng)用到社會(huì)行為控制的前提， 對(duì)具有外界環(huán)境的群集系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究具有實(shí)際意義。 群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析已經(jīng)取得了一定的研究成果，但

15、是仍有許多亟待解決的問題， 比如非線性群體系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析等， 在今后的工作中研究人員仍然需要給予更多的關(guān)注和研究。1.3本文主要研究?jī)?nèi)容本文重點(diǎn)研究吸引 /排斥環(huán)境中的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Breder9 提出了一個(gè)由一個(gè)吸引項(xiàng)和一個(gè)排斥項(xiàng)組成的簡(jiǎn)單群集模型，其中引力是恒定的， 斥力與個(gè)體間的距離2河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文的平方成反比。文獻(xiàn) 11 中提出了一個(gè)基于個(gè)體之間的吸引 / 排斥相互作用的群集聚合體的簡(jiǎn)單模型，并且表明了有限的時(shí)間內(nèi)群體的穩(wěn)定性。文獻(xiàn) 19 提出了一個(gè)新的吸引 /排斥函數(shù)，由于該函數(shù)更接近于群的性質(zhì)， 所以它在群體行為的建模方面有更好地效果， 且該函數(shù)還表

16、明斥力增加到無窮時(shí)群中的兩個(gè)個(gè)體之間的距離減少到零，引力減少到零時(shí)距離增加到無窮。然而，在文獻(xiàn) 16 中的吸引 /排斥函數(shù)，當(dāng)引力增加到無窮時(shí)群中的兩個(gè)個(gè)體之間的距離增加到無窮，距離減少到零時(shí)斥力是有界的。 且仿真結(jié)果數(shù)值的驗(yàn)證了， 此群集在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡位置的任意小領(lǐng)域。本文在文獻(xiàn) 19 中的吸引 /排斥函數(shù)存在的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)各向同性群集的簡(jiǎn)單模型，并且在二次分布函數(shù)下分析它的穩(wěn)定性。 然后，對(duì)該群集系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為在 Matlab 環(huán)境下進(jìn)行數(shù)值仿真，來驗(yàn)證了文中群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2 群集模型在本節(jié)中描述了一個(gè)群集模型，此模型中的個(gè)體是在吸引/ 排斥環(huán)境下運(yùn)動(dòng)的。取 n 維歐幾里得

17、空間中由N 個(gè)個(gè)體（成員）組成的一個(gè)群集， 不考慮每個(gè)個(gè)體的尺寸，將每個(gè)個(gè)體看作空間中的一點(diǎn)，群集的成員i 的空間位置由 xiRn 表示。假設(shè)所有個(gè)體之間保持同步運(yùn)動(dòng)和沒有時(shí)間延遲，也就是說，所有的個(gè)體同時(shí)行動(dòng)并且知道所有其他個(gè)體成員的確切位置。令: RnR 表示一個(gè)吸引 / 排斥分布函數(shù)。然后，我們把每個(gè)個(gè)體 i 的運(yùn)動(dòng)方程定義為xixiNf xix j ， i 1, , N ，xij 1, j i（ 1）其中 xiRn 代表個(gè)體 i 的位置； f表示個(gè)體之間相互的吸引 / 排斥函數(shù)且f ( y)y( a 2b 4 ) ， y Rn ，（ 2）yy其中 a 和 b 是正常數(shù)，且 y 是由 y

18、yy 定義的歐幾里得范數(shù)， 它是用來表示群中兩個(gè)個(gè)體之間的距離。當(dāng)參數(shù) a 100 ，b1， yR1 時(shí)，函數(shù) fy 如圖 1（圖 1 是來自文獻(xiàn) 19 ）所示，其中橫軸代表個(gè)體間的距離， 縱軸代表個(gè)體間的相互作用力 （相互作用力大于零表示斥力，相互作用力小于零表示引力） 。從圖 1 中我們很容易觀察到，隨著個(gè)體間距離的逐漸變大，兩個(gè)個(gè)體從相互排斥（相互作用力大于零）到相互吸引（相互作用力小于零），且引力隨著距離的變大而減小，圖 1 中的星號(hào)代表引力和斥力平衡的位置。在更高維空間中（即，yRn ），該函數(shù)與在一維空間情況下完全一樣，除了它作用于兩個(gè)個(gè)體的位置連接線。同文獻(xiàn) 9 中的函數(shù)一樣，本

19、文的函數(shù)fy 構(gòu)成一個(gè)人工的社會(huì)勢(shì)能函數(shù)，支配3河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文著個(gè)體間的相互作用，其中a 2 代表吸引關(guān)系， b 4 代表排斥關(guān)系。該函數(shù)給出了yya群集個(gè)體之間的遠(yuǎn)距離吸引（也就是說，2 占據(jù)支配地位） 和近距離排斥（也就是y說，b 4 占據(jù)支配地位）的關(guān)系，這與生物群體中的不同個(gè)體間的吸引/排斥是一致y的，因此，它構(gòu)成生物群體相互作用的一個(gè)粗略近似。圖 1吸引 /排斥函數(shù)令 f y0 ，即 y(a2b4 )0，可得 y 0 或 yb ，其中距離是引yya力和斥力的平衡距離， 即如果兩個(gè)個(gè)體成員之間的距離為，則它們之間是沒有相互作用的，因此，若y，斥力占主導(dǎo)地位；若

20、y，引力占主導(dǎo)地位。同樣令f y 0 ，可得距離 y3b 是引力和斥力的總作用力開始減少的距離19，這a是因?yàn)殡S著距離的增加，個(gè)體與其他成員有較少的接觸。從此模型可以直觀的看到，方程（ 1）中的每個(gè)個(gè)體成員的運(yùn)動(dòng)由三個(gè)方面決定，分別 是吸 引其 它 個(gè)體 成員 由 xix jiaxj 2 決 定 、 排 斥其 它 個(gè) 體成 員 由xxix jb4 決定和吸引到此分布函數(shù)的更有利區(qū)域由xixi 決定 20。xix j定義 2.18群集中心定義為x1 Nxi 。（ 3）N i 14河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文因?yàn)?f (y)y( a2b4 ) ，又由于f ( y) y( a2b4 )

21、，故得，對(duì)任意 y Rnyyyy有 f ( y)f ( y) ，即吸引 /排斥函數(shù) fy 是奇函數(shù)。令 f1( xix j )iaj 2xib j4，由文獻(xiàn)19中的定理3.2 可知xxx1NNNxix jf1 xix j0 ，則群集中心 x 的運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)為i 1 j1j i,x 1 N xiN i 11NiNfijN ixixx x1j1, ji1NiNixjixjN ixixxf1 x1j1, ji1Nxi1NN(xixj) f1ixj)NxiN i 1( xi 1j 1, ji1Nxixi。Ni 1所以，群集中心x 的運(yùn)動(dòng)方程為x1Nxixi。（ 4）Ni1上式意味著群集的中心沿著地形上

22、各點(diǎn)所在位置的梯度的平均方向運(yùn)動(dòng)，然而，這并不意味著它會(huì)收斂到分布函數(shù)的全局最小點(diǎn)， 此外，這也并不意味著關(guān)于個(gè)體運(yùn)動(dòng)的任何事情。 事實(shí)上，群集能否收斂到分布函數(shù)的全局最小點(diǎn)取決于該分布函數(shù)的性質(zhì)。在下面的章節(jié)中， 我們將會(huì)分析處于二次型分布函數(shù)描述的環(huán)境中的群集的群體行為。3 二次型吸引 / 排斥分布函數(shù)為了簡(jiǎn)單起見，考慮群集在由yA2（ 5）2y c定義的最簡(jiǎn)單的二次分布函數(shù)描述的環(huán)境中運(yùn)動(dòng)，其中AR 和 c Rn 。這個(gè)分布函數(shù)在 yc 時(shí)有一個(gè)全局最小點(diǎn)，它在點(diǎn)yRn 處的梯度 20 為yyAy c 。（ 6）把公式（ 6）代入由（ 4）式定義的x 的運(yùn)動(dòng)方程中得到x Acx ，（ 7

23、）同時(shí)代入由（ 1）式定義的個(gè)體 i 的運(yùn)動(dòng)方程得5河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文Nx j ， i 1, , N 。xiA xicf xij 1, j i在下面一節(jié)中，我們將會(huì)分析處于二次型分布函數(shù)描述的環(huán)境中的群集的穩(wěn)定性。4穩(wěn)定性分析定義 4.1 群集中心 x 與全局最小點(diǎn) c 的誤差矢量定義為exc 。（ 8）Lyapunov 函數(shù)定義 21：設(shè) Vx 為相空間坐標(biāo)原點(diǎn)的鄰域D 中的連續(xù)函數(shù)，且V x 是正定的，則函數(shù) V x 稱為 Lyapunov 函數(shù)。Lyapunov 穩(wěn)定性定理 21 ：若對(duì)于動(dòng)力學(xué)方程存在一個(gè) Lyapunov 函數(shù) Vx ，且其全導(dǎo)數(shù) Vx 分別是半

24、負(fù)定、負(fù)定、正定，則方程的定點(diǎn)相應(yīng)的是穩(wěn)定的、漸近穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的。根據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性定理證明定理4.1 和定理 4.2。定理 4.1 考慮由方程（1）定義的群集模型， 其個(gè)體之間的吸引 / 排斥函數(shù) f是由公式（ 2）定義的，假設(shè)在由公式（ 5）定義的二次型分布函數(shù)描述的環(huán)境下，可得當(dāng) t時(shí)，有 xc （也就是說，群集中心收斂到該分布函數(shù)的全局最小點(diǎn)）。證明：根據(jù)定義4.1，可以得到exAcx 。（ 9）選擇下面的 Lyapunov 函數(shù)： V1 eT e ，然后，對(duì)函數(shù) V 求導(dǎo)并把公式（ 9）代2入得V1 e T e1 e Te22eT eeTAcxA eT eAe2 。由于

25、 e220。0， A 0，所以A e綜上所述，有V0 。（10）依據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性定理，誤差系統(tǒng)(8)漸進(jìn)穩(wěn)定，即當(dāng) t時(shí)，有 xc。由定理 4.1 可知，對(duì)任意的有限數(shù)0 ，在有限的時(shí)間內(nèi)滿足x c，也就是說，在有限的時(shí)間內(nèi) x 在 c 的任意鄰域內(nèi)。根據(jù)文獻(xiàn) 22 的結(jié)果，我們將會(huì)預(yù)料到在有限的時(shí)間內(nèi)個(gè)體將會(huì)圍繞在c的附近而群集，然而，我們要證明它還需證6河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文明在有限時(shí)間內(nèi)群集中個(gè)體將會(huì)收斂到群集中心。同文獻(xiàn) 8 一樣，我們把群集中的成員定義為自由成員，這意味著在群集中個(gè)體成員之間不存在斥力。定義 4.223 若對(duì)時(shí)間 t 有xi (t )x

26、 j (t)，j， ji ，（11）則群集中成員 i 稱為自由成員，其中b ，1,., N 是群集中成員的集合。a注意如果群中每個(gè)自由成員和其他個(gè)體成員之間的距離大于 ，則不會(huì)存在有排斥力的自由成員， 群集中所有個(gè)體成員之間只有吸引力， 且作用于它的總力將會(huì)是由所有其他個(gè)體成員施加的引力的總和。定義 4.3 個(gè)體與群集中心的誤差矢量定義為eixix ， i 1, , N 。（12）定理 4.2 考慮由方程（1）定義的群集模型， 其個(gè)體之間的吸引 / 排斥函數(shù) f是由公式（ 2）定義的，假設(shè)在由公式（ 5）定義的二次型分布函數(shù)描述的環(huán)境下，可得當(dāng)對(duì)時(shí)間 t 群中所有成員是自由成員時(shí)，群集中的個(gè)體

27、成員收斂到群集中心。證明：注意成員 i 的運(yùn)動(dòng)可以表述為xiA xiN(xix j )(abcij2ij4 ) 。（13）xxxj 1, j ix且根據(jù)定義 4.3，可以得到eixixA xiNf xix jcA c xj1, jixiNf xix jAxj1, jiA xi1 NxkNf xix jN k 1j 1, jiAN所以，可得NxkNx j 。xif xik 1j 1, j ieiANNNxixkf xix j（14）k 1j 1, j iN1eiT ei 代表成員 i 和群中心 x 之選擇下面的 Lyapunov 函數(shù)： VVi ，其中 Vii 12間距離的一半。然后，對(duì)函數(shù) V

28、 求導(dǎo)并把公式（ 14）代入得NV Vii 17河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文NeiT eii 1NiTANxixkNxixjeN kfi 11j1, j iNANNabeiTxixk(xix j )(xi24 )i 1N k 1j 1, j ix jxixjA NNiTikNNiTij( xiabN i 1 k 1 e x xi 1 j 1, j i exxx j 2xix j 4)A NNiTikNNiTij( xiabN i 1 k 1 e e ei 1 j 1, j i ee ex j 2xix j 4 )ANANANN 1 Nik 2N 1 Niej2ab4 )eee(x

29、j2xix ji 1 k i 1i 1 j i 1xiN 1Nik 2N 1Nxixj2ab4 )ee(x j2xix ji 1k i 1i 1j i 1xiN 1Nik 2N 1Nabeexix j2i 1k i 1i 1j i 1ANN 1 Nek2N 1 Nb。eiai 1 k i 1i 1 j i 1xix j 2其 中 還 用 到 了 公 式 eiejxix x jx xix j和NNN 1 N2eiT eiejeiej，i 1 j 1, j ii 1 j i 1因?yàn)樗袀€(gè)體成員對(duì)時(shí)間 t 是自由成員，由定義4.2 知，對(duì)所有 i ， j且 ji ，有 xix jb ，可得 abxj

30、20 ，因此，有axiik20 ， N0，故有A又 由于 ee0 ， ANAN1Nik 2N 1 Nb0 。N i 1 k i 1e eaxix j 2i 1 j i 1N 1Nba0 。xix j2i 1j i1N1N2eiek0 ，所以，i1ki 1綜上所述，有V0 。（15）依據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性定理，得到誤差系統(tǒng) (12)漸進(jìn)穩(wěn)定，即群集中的個(gè)體成員收斂到群集中心。注：這個(gè)定理很重要是因?yàn)槿粼既菏欠稚⒌乃梢宰C明該群收斂的可能性，也8河北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文就是說，當(dāng)群體中的所有個(gè)體成員均是自由成員時(shí)，則所有成員將會(huì)聚集在群集中心x 的周圍。通過觀察定理4.1

31、 和定理 4.2，有下面的結(jié)論。定理 4.3 考慮由方程（1）定義的群集模型， 其個(gè)體之間的吸引 / 排斥函數(shù) f是由公式（ 2）定義的，假設(shè)在由公式（ 5）定義的二次型分布函數(shù)描述的環(huán)境下，可得當(dāng)對(duì)時(shí)間 t 群集中所有個(gè)體成員是自由成員時(shí)，群集中的個(gè)體成員收斂到該分布函數(shù)的全局最小點(diǎn)。二次型分布函數(shù)是相當(dāng)簡(jiǎn)單的分布函數(shù)，現(xiàn)在，假設(shè)這個(gè)分布函數(shù)是一個(gè)二次型Ni2分布函數(shù)的總和，也就是說，考慮由yAy ciy在定義的分布函數(shù)。i 12NN點(diǎn) y RnAiy ci處的梯度被定義為yy，且定義 Ai 1 Ai和i 1NAi cici1yc，則該分布函數(shù)和上述的二次分布函數(shù)的N，得到 y y Ai1

32、Ai式子是完全一樣的。事實(shí)上，點(diǎn) c 也是這聯(lián)合分布函數(shù)函數(shù)的全局最小點(diǎn)，因此，上面的結(jié)論可以直接延伸到這個(gè)情況而不需要任何修改。同上述的結(jié)論一樣， 當(dāng)群集中的所有個(gè)體成員均是自由成員時(shí)， 則群集中所有成員將會(huì)收斂到這個(gè)分布函數(shù)的全局最小點(diǎn) c 處，并且在 c 處形成一個(gè)群集，也就是說，當(dāng)群體中的所有個(gè)體成員均是自由成員時(shí)，該群集系統(tǒng)是穩(wěn)定的。5 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)在本節(jié)中，為了闡明前述理論結(jié)果的有效性， 對(duì)該群集系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為在 Matlab 環(huán)境下進(jìn)行了數(shù)值仿真。 為了便于仿真結(jié)果的可視化， 在仿真實(shí)驗(yàn)中， 我們就簡(jiǎn)單的取 n 2 維空間，且群集系統(tǒng)包含了 10 個(gè)個(gè)體，也即是說， N 10 。

33、每個(gè)個(gè)體的動(dòng)態(tài)依式（ 1）在 2 維歐式空間中運(yùn)動(dòng)，其中吸引 /排斥函數(shù)采用式（ 2）的形式，二次分布函數(shù)采用式（ 5）的形式。系統(tǒng)參數(shù)確定如下：a2 ， b7 。由于式（ 5）中的參數(shù)A 需滿足的條件：A R ，所以可取 A 8。又由于式（ 5）中的 c 是二次分布函數(shù)的全局最小點(diǎn)，且cR2 ，所以可取點(diǎn) c為（ 50，50）。對(duì)該群集模型使用Matlab 數(shù)值方法進(jìn)行仿真， 得到圖 2。圖 2 展示了當(dāng)二次分布函數(shù)的參數(shù) A 8 時(shí)，群集的每個(gè)個(gè)體成員的運(yùn)動(dòng)路徑，群集中的所有個(gè)體成員逐漸聚集和形成一個(gè)緊密結(jié)合的群， 隨著時(shí)間的增加每個(gè)個(gè)體成員最終穩(wěn)定到二次分布函數(shù)的全局最小點(diǎn) c 處。9河

34、北科技師范學(xué)院2014 屆本科畢業(yè)論文10090807060y 504030201000102030405060708090100x圖 2當(dāng)二次分布函數(shù)的參數(shù)A8時(shí)，群集收斂路徑個(gè)體成員在各自運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上通過個(gè)體間的相互作用， 逐漸朝著二次分布函數(shù)的全局最小點(diǎn) c 聚合的趨勢(shì)運(yùn)動(dòng)，最終形成了方向一致的群集運(yùn)動(dòng)且都收斂到點(diǎn)c （ 50，50）處的效果。圖 2 很好的反映了這一點(diǎn)，所以，仿真結(jié)果數(shù)值驗(yàn)證了文中所提出的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性。結(jié)論將群體行為應(yīng)用到社會(huì)行為控制的前提條件是此群集系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的， 對(duì)具有外部環(huán)境的群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有實(shí)際意義。 在本文中，通過假設(shè)自由成員在一個(gè)吸引 /

35、 排斥分布函數(shù)中移動(dòng)來建立這個(gè)模型， 也就是說，在一個(gè)吸引 / 排斥分布函數(shù)存在的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)各向同性群集的簡(jiǎn)單模型并且在二次分布函數(shù)下分析它的穩(wěn)定性，且仿真結(jié)果數(shù)值地驗(yàn)證了文中群集系統(tǒng)的穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn)1 A. Okubo. Dynamical Aspects of Animal Grouping: Swarms, Schools, Flocks and HerdsJ.Advances Biophys, 1986, 22(1): 1-94.2 J. Krause, G. Ruxton. Living in GroupsD. Oxford University Press, Oxford,

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