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1、-作者xxxx-日期xxxx幾何分布的期望與方差的證明【精品文檔】幾何分布的期望與方差康永清高中數(shù)學教科書新版第三冊（選修II）比原來的修訂本新增加隨機變量的幾何分布，但書中只給出了結(jié)論：（1），（2），而未加以證明。本文給出證明，并用于解題。（1）由，知下面用倍差法（也稱為錯位相減法）求上式括號內(nèi)的值。記兩式相減，得由，知，則，故從而也可用無窮等比數(shù)列各項和公式（見教科書91頁閱讀材料），推導如下：記相減，則還可用導數(shù)公式，推導如下：上式中令，則得（2）為簡化運算，利用性質(zhì)來推導（該性質(zhì)的證明，可見本刊6頁）?？梢婈P(guān)鍵是求。對于上式括號中的式子，利用導數(shù)，關(guān)于q求導：，并用倍差法求和，有則，

2、因此利用上述兩個結(jié)論，可以簡化幾何分布一類的計算問題。例1. 一個口袋內(nèi)裝有5個白球和2個黑球，現(xiàn)從中每次摸取一個球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球。求取球次數(shù)的數(shù)學期望與方差。解：每次從袋內(nèi)取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值為1，2，3，有無窮多個。我們用表示前k1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此?？梢姺膸缀畏植?。所以例2. 某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為p（0p1）。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標，或子彈打光為止。求他擊中目標的期望。解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1，2，9，10。若，則表明他前次均沒擊中目標，而第k次擊中目標；若k10，則表明他前9次都沒擊中目標，而第10次可能擊中也可能沒擊中目標。因此的分布列為用倍差法，可求得所以說明：本例的試驗是有限次的，并且，不符合幾何分布的概率特征，因而隨機變量不服從幾何分布，也就不能

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