連續(xù)系統(tǒng)的s域分析ppt課件

1、第五章 延續(xù)系統(tǒng)的s域分析 本章首先由傅里葉變換引出拉普拉斯變換，本章首先由傅里葉變換引出拉普拉斯變換， 然后對(duì)拉普拉斯正變換、拉普拉斯反變換及拉普然后對(duì)拉普拉斯正變換、拉普拉斯反變換及拉普 拉斯變換的性質(zhì)進(jìn)展討論拉斯變換的性質(zhì)進(jìn)展討論 本章重點(diǎn)在于，以拉普拉斯變換為工具對(duì)系本章重點(diǎn)在于，以拉普拉斯變換為工具對(duì)系 統(tǒng)進(jìn)展復(fù)頻域分析統(tǒng)進(jìn)展復(fù)頻域分析 留意與傅里葉變換的對(duì)比，便于了解與掌握留意與傅里葉變換的對(duì)比，便于了解與掌握 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換 雙邊拉普拉斯變換的收斂域雙邊拉普拉斯變換的收斂域 單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換 一些常用信號(hào)的拉普拉斯變換一些常用

2、信號(hào)的拉普拉斯變換 一從傅里葉變換到拉普拉斯變換一從傅里葉變換到拉普拉斯變換 ( )( ) jt f tf t edt F ( ) ( ) ) ( ( ) t b tj t j b st t Fjf t e f t Fs eedt f t ed f t edt t F t e兩兩端端同同乘乘 ( ) t ef t 為為了了滿滿足足傅傅里里葉葉變變換換 存存在在的的充充分分條條件件，用用 衰衰減減因因子子與與相相乘乘 傅里葉變換傅里葉變換 1 2 1 2 ( ) ( ) ) jt b j st b j f t F s e ds j j Fed 1 1 2 1 2 - ( )( ) ( ) ()

3、t b j t b j t b f t eF s F s ed Fjed F 傅里葉反變換傅里葉反變換 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯反變換雙邊拉普拉斯反變換 收斂域：使收斂域：使Fb(s)存在的存在的s的區(qū)域稱為收斂域的區(qū)域稱為收斂域 記為：記為：ROC (region of convergence) s的虛部對(duì)應(yīng)于振蕩頻率，收斂與否完全由的虛部對(duì)應(yīng)于振蕩頻率，收斂與否完全由s 的實(shí)部的實(shí)部 決議，即收斂域?yàn)闆Q議，即收斂域?yàn)閟平面內(nèi)以實(shí)軸上某平面內(nèi)以實(shí)軸上某 些點(diǎn)為界、而在虛軸方向無(wú)限延伸的區(qū)域些點(diǎn)為界、而在虛軸方向無(wú)限延伸的區(qū)域 二雙邊拉普拉斯變換的收斂域二雙邊拉普拉斯變換的

4、收斂域 O j 0 收斂坐標(biāo)收斂坐標(biāo) 收斂軸收斂軸 收收斂斂區(qū)區(qū) 例例5-1-1 求因果信號(hào)求因果信號(hào)f1(t)的雙邊拉普拉斯變換的雙邊拉普拉斯變換 1 1 0 0 00 0 1 1 1 () () ( )( ) ( ( ) () lim Re t t st tst b tj t t t f tet et e Fse edt s ee s s s 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)） 解解： ， 不不定定， 無(wú)無(wú)界界， 因果信號(hào)的收斂域因果信號(hào)的收斂域 s 因因 平平面面 果果信信號(hào)號(hào)雙雙 中中位位于于實(shí)實(shí) 邊邊拉拉普普拉拉斯斯 變變換換的的收收斂斂 軸軸 某某個(gè)個(gè)值值 域域： 以以右右的的區(qū)區(qū)域域 例例5-1-2

5、 求反因果信號(hào)求反因果信號(hào)f2(t)的雙邊拉普拉斯變換的雙邊拉普拉斯變換 2 0 0 2 0 00 1 1 1 () () ( ( )() ( ) () lim Re t t st tst b tj t t et ftet t e Fse edt s ee s s s 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)） 解解： ， （） 不不定定 ， 無(wú)無(wú)界界， 反因果信號(hào)的收斂域反因果信號(hào)的收斂域 s 反反因因果果信信號(hào)號(hào)雙雙邊邊拉拉普普拉拉斯斯 變變換換的的收收斂斂域域： 平平面面中中位位于于實(shí)實(shí)軸軸 某某個(gè)個(gè)值值以以左左的的區(qū)區(qū)域域 例例5-1-3 求雙邊信號(hào)求雙邊信號(hào)f (t)的雙邊拉普拉斯變換的雙邊拉普拉斯變換 12

6、12 12 0 0 ( )( )( ) ( )( )( ) Re ( ) ( )( ) ( ) t bbb b bb b e tt f tf tft et F sFsFs s F s FsFs F s 解解： 其其收收斂斂域域?yàn)闉椋?（1 1）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，在在該該收收斂斂域域內(nèi)內(nèi) 存存在在； （2 2）若若，與與沒沒有有 共共同同的的收收斂斂域域，因因而而不不存存在在。 雙邊信號(hào)的收斂域雙邊信號(hào)的收斂域 雙邊函數(shù)拉雙邊函數(shù)拉 普拉斯變換普拉斯變換 的收斂域的收斂域 三單邊拉普拉斯變換三單邊拉普拉斯變換 0 1 0 0 1 0 2 - ( )( ) , ( )( ) ( ), st j st j

7、Fsf tf t edt t f tF s F s e dst j L L 00 00 t 單單邊邊拉拉普普拉拉斯斯變變換換的的下下界界定定義義為為是是考考慮慮到到在在時(shí)時(shí)刻刻可可能能 存存在在奇奇異異信信號(hào)號(hào)。但但通通常常就就簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫寫為為 。 ( )( ) ( )( )( ( )( ) ) ( ) F sf tf t F F sf tF sf t s L 上上述述形形式式的的拉拉普普拉拉斯斯（逆逆）變變換換稱稱為為單單邊邊拉拉普普拉拉斯斯（逆逆）變變換換 拉拉普普拉拉斯斯（逆逆）變變換換象象函函數(shù)數(shù) 原原 ， 簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為。稱稱為為的的，則則稱稱 為為的的，兩兩者者間間的的關(guān)關(guān)系系表表示示為

8、為 或或 函函數(shù)數(shù) 現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)往往為有起始點(diǎn)的信號(hào)，設(shè)起點(diǎn)為現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)往往為有起始點(diǎn)的信號(hào)，設(shè)起點(diǎn)為t=0，那么，那么 拉普拉斯變換和逆變換可以表示為拉普拉斯變換和逆變換可以表示為 0 0 0 0 0 lim( ), ( ) Re( )( ) ( ) t t f tatb sf t f t f t e 若若函函數(shù)數(shù)在在有有限限區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可積積，且且存存在在某某個(gè)個(gè)最最小小 的的，有有 則則對(duì)對(duì)于于，的的（單單邊邊）拉拉普普拉拉斯斯變變換換絕絕對(duì)對(duì) 一一致致收收指指斂斂數(shù)數(shù)。并并且且稱稱為為階階信信號(hào)號(hào)。 單邊拉普拉斯變換的收斂域單邊拉普拉斯變換的收斂域 0 s 只只在在有有限限區(qū)區(qū)間間

9、不不為為零零的的 可可積積信信號(hào)號(hào)，其其收收斂斂域域?yàn)闉?整整個(gè)個(gè) 平平面面 拉拉普普拉拉斯斯變變換換通通常常作作為為系系統(tǒng)統(tǒng)分分析析的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)工工具具，而而 一一般般不不作作為為信信號(hào)號(hào)分分析析 3 3. . 工工具具使使用用。 拉拉普普拉拉斯斯變變換換是是信信號(hào)號(hào)由由時(shí)時(shí)域域到到復(fù)復(fù)頻頻域域的的變變換換（映映射射）， 雖雖然然它它與與傅傅里里葉葉變變換換具具有有某某種種聯(lián)聯(lián)系系，但但該該變變換換不不是是一一個(gè)個(gè) 正正交交變變換換，其其變變換換基基底底不不是是正正交交的的（完完備備但但 2 2. . 有有冗冗余余）。 關(guān)于拉普拉斯變換關(guān)于拉普拉斯變換 () () ( ) F j F j F

10、 ss 傅傅里里葉葉變變換換的的自自變變量量 具具有有明明確確的的物物理理含含義義 （角角頻頻率率），故故描描述述了了信信號(hào)號(hào)的的頻頻域域分分布布（頻頻譜譜）。 但但象象函函數(shù)數(shù)的的自自變變量量 的的物物理理含含義義不不明明顯顯，拉拉普普拉拉斯斯 變變換換通通常常沒沒有有“譜譜 1.1. ”的的概概念念。 00 0 0 0 1 ( )Re Re s ts tst eteedtss ss L 00 0 0 0 1 ( )Re Re s ts tst ete edtss ss L 四一些常用信號(hào)的拉普拉斯變換四一些常用信號(hào)的拉普拉斯變換 0 0 0 1 0( )( )Re s t s tets s

11、 LL， 0 1 st ttedt L 單位沖激信號(hào)和沖激偶單位沖激信號(hào)和沖激偶 復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào) 00 () stst t ttedts es L 全全s 域平面域平面 收斂收斂 階躍信號(hào)階躍信號(hào) 1 0 20 , , t gt 其其余余 矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào) 00 1 22 s stst e gtgtedtedt s L 全全s s 域平域平 面收斂面收斂 線性線性 尺度變換尺度變換 時(shí)移特性時(shí)移特性s域平移特性域平移特性 時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性 卷積定理卷積定理s域微分和積分特性域微分和積分特性 初值定理初值定理終值定理終值定理 一線性一線性 11221

12、2 11221122 ( )( ),( )( ), ( )( )( )( ) f tF sftF sKK K f tK ftK F sK F s LL L 若若為為常常數(shù)數(shù)， 則則 1 2 ( )cos() j tj t f ttee 111 2 cost sjsj L 22 , 0Re( ) s s s 知知 那那 么么 0 0 0 1 ,Re( )Re() s t ess ss L 同理同理 22 0sin,Re( )ts s L 例例5-2-15-2-1 12 Re max(,)s。是是二二函函數(shù)數(shù)收收斂斂域域相相重重疊疊的的部部分分， 如如是是兩兩函函數(shù)數(shù)之之差差，其其收收斂斂域域可可

13、能能擴(kuò)擴(kuò)大大。 二尺度變換二尺度變換 0 0 0 1 ( )( ), Re( ()R ( ) ), e s f a a tFsa f tF s a s a L L若若且且，則則 ， 0 ()() st f atf at edt L at令， 則 0 ()( ) s a f atfed a L 0 1 ( ) s a fed a a s F a 1 證明：證明： 三時(shí)移延時(shí)特性三時(shí)移延時(shí)特性 證明略證明略 0 0 000 () ()( ), Re( ) ( ) ( )( ), Re( ) st f tttt f tF s F ts ess L L若若，則則 時(shí)移結(jié)合尺度變換時(shí)移結(jié)合尺度變換: :

14、 0 1 00 () ()e, Re( ) b s a s f atbatbFab aa sa L 收斂域不變收斂域不變 0 () ( )f ttt注注意意不不是是 0Re s 收收斂斂域域?yàn)闉?0 ( )(),( ) n f ttnTF s 已已知知求求。 例例5-2-35-2-3 1 1 1 ( ) ( )()() TsnTs Ts F sttTtnT ee e L 1 ( ) ( )() ( )() s e F stt s stt L 其其收收斂斂域域?yàn)闉檎麄€(gè)個(gè) 平平面面，比比和和的的收收斂斂域域都都寬寬 2 ( )( )()( )f tgtttF s 已已知知矩矩形形脈脈沖沖，求求。

15、 例例5-2-25-2-2 四四s s域平移特性域平移特性 0 0 ( )e(),R ( e( )R )( e() ) Re( ) a s t a f tF f tF ss ssss L L若若，則則 0 ( )( )() aa s ts tst a f t ef t eedtF ss L 證明：證明： 同理：同理： 0 ( )(),Re( )Re() a s t aa f t eF ssss 該性質(zhì)在利用該性質(zhì)在利用s域法求系統(tǒng)時(shí)域呼應(yīng)采用拉普域法求系統(tǒng)時(shí)域呼應(yīng)采用拉普 拉斯反變換時(shí)經(jīng)常用到。拉斯反變換時(shí)經(jīng)常用到。 例5-2-4 0 ecos t t 求的拉普拉斯變換 0 22 0 :cos

16、( ) s tt s L已已知知 2 0 20 )(cose s s tt t 所以 2 0 2 0 0 )(sine: s tt t 同理 000 0( ) ststst ft edtft esft edt fsF s 五時(shí)域微分特性五時(shí)域微分特性 0 0 0 ( )( ),Re( ) ( )( )()Re( )f t f tF ss sF sfs L L ，收收斂斂 若若，則則 域域?yàn)闉榛蚧蚋蟠?推行：推行： 證明：證明： 2 1 1 0 00 00 0 ( )() ( )( )()() ( )()() ( )( )() n nnnmm m fts sF sff s F ssff ft

17、s F ssf L L 六時(shí)域積分特性六時(shí)域積分特性 0 ( )( ),Re( )f tF ssL若若，則則 1 1 0 0 0 ()( ) ( )( ), Re Re t fF s ftfd ss ss LL 收收斂斂域域至至少少為為與與的的重重疊疊部部分分 推行：推行： 1 1 0 0 0 ()( ) ( ), Re Re m n n nn m m fF s ft ss ss L 收收斂斂域域至至少少為為與與重重疊疊的的部部分分 時(shí)域積分特性證明時(shí)域積分特性證明 證明：證明： 0 0 tt fdfddf 000 00 0 0 1 11 ( ) tt st st t st st fdfded

18、t e fdf t edt ss f t edtF s ss L 1 1 0()( ) ( )( ) t fF s ftfd ss LL 1 0 1 0 0 f fdf s LL 25252 0 36 411 3 1241 52 6 2 25 0 0 113 0 321 3 0 1 0 ( )( ),( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ),( )( ) ()( ) ( (), ( ) ( ( ) ) ) () t t F sf tsF sF sf tsF s f tfx dxfF sf sss f tfx dx F sF sf tf tf tf t s fF s LLL L L

19、L LL L L 但但 1 0( ) s s 微分特性微分特性 對(duì)奇特函數(shù)運(yùn)用微分積分特性對(duì)奇特函數(shù)運(yùn)用微分積分特性 例5-2-5 求三角脈沖的象函數(shù)教材例5.2-7 1 2 2 2 22 12 2 2 2 22 2 2 2 1 2422 1 000 12 1 2 () ( ) () ()() () ( )() ( )() ( )() ( ) ( )() ,()() () ()( )( ) ss s s ftft f tft ftft t F seee ff e ftftF s ss LL 令令， 則則 由由于于， 據(jù)據(jù)時(shí)時(shí)移移特特性性 再再用用積積分分特特性性 且且， 得得 七卷積定理七卷積

20、定理 1212 12 ( )( )( )( ) ( )( ) f tf tF s F s F sF s L， 收收斂斂域域至至少少為為、收收斂斂域域的的公公共共部部分分 1212 12 1 2 1 2 ( )( )( )( ) ( )() cj cj f tftF sF s j FF sd j L 12111 222 ( ),( )( )( ) Re( ) ( )( ) Re( ) f tftf tF ss ftF ss L L 設(shè)設(shè)為為因因果果函函數(shù)數(shù)，若若， ，則則有有 證明略證明略(1) 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 1212 Re( ),Re( )scs (2) 復(fù)頻域卷積定理復(fù)頻域卷積定

21、理證明略證明略 時(shí)域卷積定理是時(shí)域卷積定理是 系統(tǒng)復(fù)頻域分析系統(tǒng)復(fù)頻域分析 的實(shí)踐根底的實(shí)踐根底 八八s s域微分和積分特性域微分和積分特性 0 ( )( ),Re( )f tF ss若若，則則 0 0 0 ( ) ( ),Re ( ) ( ),Re ( ) ( ),Re n n n s dF s tf ts ds d F s tf ts ds f t Fds t 收斂域不變收斂域不變 證明略證明略 0 0 2 0 0 0 00 000 lim ( )( ) ( )( ) Re ( )()lim( ) lim( )()lim( )() lim( )()lim( )()( ( ) ) ts ts

22、 ts f tfsF s f tt f ftfs sF sf ftfs s F ssf tF ss f 若若及及其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不包包含含及及沖沖激激偶偶，且且 ， 則則有有 九初值定理九初值定理 初值定理證明初值定理證明 0 ( )( )sF sfftL 0 ( ) st ft edt 0 00 ( )( ) stst ft edtft edt 0 0 ( )( ) st sF sfft edt所所以以 00 0 lim( )( ) lim stst ss ft edtftedt又又 由時(shí)域微分特性可知由時(shí)域微分特性可知 0 00 ( ) st ffft edt 0 lim

23、( ) s sF sf 所所以以 2 00 00 0 ()lim( )() ()lim( )()() s s fs sF sf fs s F ssff 同同理理可可證證 0( )() F s f tf （1 1）初初值值定定理理提提供供了了一一種種直直接接基基于于象象函函數(shù)數(shù)求求信信號(hào)號(hào) 的的時(shí)時(shí)域域初初值值的的方方法法 0 ( )( ) ( )() F sf tt F s tf （2 2）若若不不是是真真分分式式，即即中中含含有有或或其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 則則應(yīng)應(yīng)把把化化為為真真分分式式后后才才能能利利用用初初值值定定理理。此此時(shí)時(shí) 得得出出的的將將是是不不包包括括或或其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)的的初初

24、值值 10 ( )( ),() m n m n F sF skskmn 11 0()lim( )lim( ) ss fs F ssF s 說說 明明 例例5-2-65-2-6 即單位階躍信號(hào)的初始值為1。 1 :( ), (0 )?F sf s 已知求 1)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 例例5-2-75-2-7 2 0 1 ( ),()? s F sf s 求求不不包包含含沖沖激激在在內(nèi)內(nèi)的的 2 1 2 1 2 ss s sF因?yàn)橐驗(yàn)?2 02 1 ()lim( )lim ss fs F ss s 所所以以 2 1 1 2 lim 1 2 lim s s s ss (0

25、)2f 所以， 項(xiàng)項(xiàng)中中有有ttf 2 00 0 0 ( )( )lim( ) ( ( )lim( ) )( ) Re( ) s t f ttff t f tF ss fsF s 若若當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)極極限限存存在在，且且 ， 則則有有 十終值定理十終值定理 0 0 ( )( ) st sF sfft edt 000 0 lim( )lim( ) st ss sF sfft edt 0)(lim0ftff t 證明：證明： 根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式 )(limtf t e-st=1 (s0 ( )( ) F s f tf （1 1）終終值值定定理理提提供供了了一一種種直

26、直接接基基于于象象函函數(shù)數(shù)求求信信號(hào)號(hào) 的的時(shí)時(shí)域域終終值值（穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)值值）的的方方法法 00sssF s（2 2）終終值值定定理理是是取取的的極極限限，因因而而應(yīng)應(yīng)在在的的 收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)，否否則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用終終值值定定理理 說說 明明 ( ) sF sj（3 3）終終值值存存在在的的條條件件：在在右右半半平平面面和和軸軸 原原點(diǎn)點(diǎn) 除除外外 上上無(wú)無(wú)極極點(diǎn)點(diǎn) 求拉普拉斯逆變換的三種主要方法求拉普拉斯逆變換的三種主要方法 部分分式展開法部分分式展開法 F(s)的兩種特殊情況的兩種特殊情況 一求拉普拉斯逆變換的三種主要方法一求拉普拉斯逆變換的三種主要方法 (1)(1)部分分式展開法部分

27、分式展開法 (2)(2)利用留數(shù)定理利用留數(shù)定理圍線積分法圍線積分法 (3)(3)數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法利用計(jì)算機(jī)利用計(jì)算機(jī) 本節(jié)主要引見部分分式展開法本節(jié)主要引見部分分式展開法 二部分分式展開法二部分分式展開法 1 110 1 110 ( ) ( ), ( ) mm mm nn n b sbsb sbB s F smn A ssasa sa 有理真分式象函數(shù)的普通方式有理真分式象函數(shù)的普通方式 0 0 0 ( ) ( ) ( )() ( )( ) ) ) (A s B A s F s F s F sF s s 式式中中分分母母多多項(xiàng)項(xiàng)式式稱稱為為特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式，方方程程 稱稱為為特特

28、征征方方程程，其其根根稱稱為為特特征征根根，也也稱稱 零零點(diǎn)點(diǎn) 為為的的 （因因?yàn)闉樵谠谶@這些些點(diǎn)點(diǎn)。而而方方程程的的根根稱稱為為 的的（ 極極 在在這這 點(diǎn)點(diǎn) 因因?yàn)闉樾┬c(diǎn)點(diǎn)。 F s 的的特特征征方方程程與與求求解解線線性性常常系系數(shù)數(shù)微微分分方方程程時(shí)時(shí)的的 特特征征方方程程在在形形式式上上完完全全一一致致，詳詳 注注意意： 見見下下一一節(jié)節(jié) ( )( )F sF s利利用用的的零零點(diǎn)點(diǎn)和和極極點(diǎn)點(diǎn)，可可以以把把表表示示為為因因式式形形式式 12 12 ()()()( ) ( ) ( )()()() mm n bsssB s F smn A sspspsp ， 12 , m F s 其

29、其中中，是是的的零零點(diǎn)點(diǎn)， 12 , n p ppF s是是的的極極點(diǎn)點(diǎn)。 F s求求出出的的極極點(diǎn)點(diǎn) F s將將展展開開成成部部分分分分式式 求求每每個(gè)個(gè)部部分分分分式式的的拉拉普普拉拉斯斯逆逆變變換換 用部分分式法求拉普拉斯逆變換的普通步驟用部分分式法求拉普拉斯逆變換的普通步驟 ( )f t 各各部部分分分分式式拉拉普普拉拉斯斯逆逆變變換換之之和和 F(s)的極點(diǎn)為互不相等的實(shí)數(shù)的極點(diǎn)為互不相等的實(shí)數(shù) 123 , n pppp為為不不同同的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 12 ( ) ( ) ()()() n B s F s spspsp ， 12 12 ( ) in in KKKK F s spspspsp

30、 F s則則可可以以展展開開為為如如下下部部分分分分式式形形式式 12 12 ( )() ( ) in p tp tp tp t in f tK eK eK eK et 其其中中， ( ) ( )lim ( ) i i iii sp sp B s KspF ssp A s 例例5-3-1 5-3-1 (1)(1)找極點(diǎn)找極點(diǎn) )3)(2)(1( 332 2 sss ss sF (2)(2)展成部分分式展成部分分式 312 123 KKK F s sss 3 6 2 5 1 1 )( sss sF所以所以 2 32 233 6116 ( )( ) ss F sf t sss 求求的的原原函函數(shù)數(shù)

31、 23 56 :( )(eee) ( ) ttt f tt得得 (3)(3)逆變換逆變換 求系數(shù)求系數(shù) 1 e a s t a t ss L根根據(jù)據(jù) 1 1K 所所以以 1, 1ss 對(duì)等式兩邊同乘以且令 312 1 1 1 123 () s KKK sK sss 右右邊邊 1 1()( ) s sF s 左左邊邊 2 1 233 11 123 () ()()() s ss s sss 2 2 25:()( ), s KsF s 同同理理 33 36()( ) s KsF s 156 ( ) 123 F s sss 所以 F(s)有共軛單極點(diǎn)有共軛單極點(diǎn) 2 = ( ) ( ) ()()( )

32、 B s F s sjsjA s 122 2 ( ) ( ) ( ) KKB s F s sjsjA s F s則則可可以以展展開開為為 2 2 ( ) ( ) B s A s j 其其中中可可以以根根據(jù)據(jù)其其極極點(diǎn)點(diǎn)的的情情況況作作進(jìn)進(jìn)一一步步展展開開，這這里里 只只考考察察其其共共軛軛單單極極點(diǎn)點(diǎn)，取取 12 1( ) KK F s sjsj 21 22 2 * ( )() ( )() saj B sBaj KK sajA sjAaj 111 1 2 2 ()() ( ) cos() ( ) cos()sin ( ) ()( ) jjtjj t t t f t K ett eCtDtt K

33、 e eK eet 1121 jj KK eCjDKK eCjD 記記，則則可可以以直直接接寫寫出出, , 因因此此 1 22 2 ( )() ( )() saj B sBaj K sajA sjAaj 例5-3-2 2 2 3 225 ( )( ) ()() s F sf t sss 求求的的逆逆變變換換 )2)(2j1)(2j1( 3 2 sss s sF 312 12122jj KKK sss 02, , 1 取取 3 2 7 2 5 () s KsF s 5 2j1 )2j1)(2( 3 2j1 2 1 s ss s K 12 55 ,CD 2 724 22 555 eecosesin

34、( ) ttt f tttt F(s)有有r重極點(diǎn)重極點(diǎn) 12 ( ) ( ) ()( ) r B s F s spA s 111212 1 1112 ( ) ( ) ()()( ) r rr KKKB s F s spspspA s F s則則可可以以展展開開為為 2 2 ( ) ( ) B s r A s 只只考考察察其其 重重極極點(diǎn)點(diǎn)部部分分( (但但求求系系數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)把把考考慮慮在在內(nèi)內(nèi)) )， 取取 11121 1 1 111 ( ) ()() r rr KKK F s spspsp 1 11111211 1 2 111 2 ()( )()() ( ) ()() ( ) ri i

35、rr r spF sKsp KspK B s spKsp A s 求求系系數(shù)數(shù) 1 121 ()( ) r sp d KspF s ds 1 111 ()( ) r sp KspF s 2 11211 2 2 111 2 1 1 ()( )()() ( ) ()()() ( ) ri i rr r d spF sKispK ds B sd rspKsp dsA s 1 1 11 1 1 1 ()( ) ()! i r i i sp d KspF s ids 同同理理可可得得， 1 1 11 1 1 11 1 - ( )( ) ()()! rr p tr i ii ri ii KK f ttet

36、 spri L所所以以， 1 11 11 1 11 1 11 1 - - ( ) ()! ( ) ()! n n p tn n tt sn tet sn s p L L 由由 域域平平移移特特性性， （） 1 1 ! ( )( ) n n n ttt ss LL 積積分分特特性性 000 0 1 20( )!( ), , ,( ) tt ni t n ttnx dxintt 重重積積分分 且且均均有有 求求原原函函數(shù)數(shù) 例5-3-3 2 2 21 ( )( ) ()() s F sf t ss 求求的的原原函函數(shù)數(shù) 2 2 2 2 1 13 21 () ()() s ds ks dsss 2

37、2 1 2 1 11 21 () ()() s s ks ss 312 2 112 ( ) () kkk F s sss 展成部分分式展成部分分式 求系數(shù)求系數(shù) 2 3 2 2 24 21 () ()() s s ks ss 2 134 112 ( ) () F s sss 12 34( )( )eee( ) ttt f tF stt L 求原函數(shù)求原函數(shù) 三三F(s)的兩種特殊情況的兩種特殊情況 假分式假分式 化為真分式多項(xiàng)式化為真分式多項(xiàng)式 23 795 )( 2 23 ss sss sF 作長(zhǎng)除法作長(zhǎng)除法 2 3s 462 772 23 79523 2 2 23 232 s ss ss

38、sss sssss 1 3 2 12 2( )( ) s F ssF s ss s 2 1 1 2 )( 1 ss sF 2 22e( )e( ) tt ttf ttt 含含e-s的非有理式的非有理式 2 1 1 1 )( 1 ss sF e s 項(xiàng)項(xiàng)不不參參加加部部分分分分式式運(yùn)運(yùn)算算，求求解解時(shí)時(shí)利利用用時(shí)時(shí)移移性性質(zhì)質(zhì) s s sF ss 2 1 2 2 e)( 23 e 12 11 ( )( )( ) tt f tF seet L所所以以 222 1 22 ()() () tt f tfteet 所所以以 用拉普拉斯變換求解微分方程用拉普拉斯變換求解微分方程 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)的系

39、統(tǒng)的s s域框圖域框圖 拉普拉斯變換與傅里葉變換拉普拉斯變換與傅里葉變換 一用拉普拉斯變換求解微分方程一用拉普拉斯變換求解微分方程 00 LTI ( )( ) ( )( ) nm ij ij ij a ytb ft 系系統(tǒng)統(tǒng)的的微微分分方方程程: : 1 1 0000 0 () ( )()( ) nnim iippj iij iipj a sY sasyb sF s 即即 LTI系統(tǒng)微分方程的拉普拉斯變換系統(tǒng)微分方程的拉普拉斯變換 0 000 1LTI ( ) ( )( ),( )( )( ) ()(, ,), j y tY sf tF sf tt fjm LL 設(shè)設(shè)。并并設(shè)設(shè)在在時(shí)時(shí)刻刻 接

40、接入入，對(duì)對(duì)系系統(tǒng)統(tǒng)微微分分方方程程兩兩邊邊 進(jìn)進(jìn)行行拉拉普普拉拉斯斯變變換換，得得 1 1 000 0 () ( )()( ) nim iippj ij ipj as Y ssyb sF s 1 1 0000 0 () ( );()( );( ) nnim iippj iij iipj a sA sasyM sb sB s 設(shè)設(shè) 0 () ( ): ( ):() ( )( ): i p i i A sa M say B s F sb 微微分分方方程程的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式，僅僅與與系系數(shù)數(shù) 有有關(guān)關(guān)； 僅僅與與系系數(shù)數(shù) 和和初初始始狀狀態(tài)態(tài)有有關(guān)關(guān), ,與與激激勵(lì)勵(lì)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)； 僅僅與與系系

41、數(shù)數(shù) 和和激激勵(lì)勵(lì)有有關(guān)關(guān)，與與初初始始 其其中中， 狀狀態(tài)態(tài)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)； s域的零輸入和零外形呼應(yīng)域的零輸入和零外形呼應(yīng) ( )( ) ( )( ) ( )( ) M sB s Y sF s A sA s 即即 ( ) ( )( )( )( )A s Y sM sB s F s則則 0 00 () ( )( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) f p f B s F sYs M sy A s yt ，即即時(shí)時(shí)，記記 它它僅僅與與激激勵(lì)勵(lì)有有關(guān)關(guān)而而與與初初始始狀狀態(tài)態(tài)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，因因而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù) 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) x x

42、M s Ys A s yt F s時(shí)時(shí)，記記 它它僅僅與與初初始始狀狀態(tài)態(tài)有有關(guān)關(guān)而而與與激激勵(lì)勵(lì)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，因因而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 零零輸輸入入 于于 響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) xf M sB s Y sF sYsYs A sA s 即即 11 1 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xf y tY sYsYs M sB s F s A sA s LL L LTI系統(tǒng)的時(shí)域全呼應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)域全呼應(yīng) 562 01015 ( )( )( )( ) (),(),( )cos( ) y ty ty tf t yyf ttt y t

43、 已已知知L LT TI I系系統(tǒng)統(tǒng)， 初初始始狀狀態(tài)態(tài) 激激勵(lì)勵(lì)， 求求全全響響應(yīng)應(yīng)。 例5-4-1 (1)求求微微分分方方程程的的拉拉普普拉拉斯斯變變換換 22 00502 5656 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ()()() ( ) xf M sB s Y sYsYsF s A sA s syyy F s ssss 526( )( )( )(yf tyy ttt 2 0505062 ( )()( )()( )( )sYs Y ssyyysFYss 4411 22 2143 2233 ( ) jj Y s ss ee sjsssj (2)求求激激勵(lì)勵(lì)的的拉拉普普拉拉

44、斯斯變變換換 2 5 5 1 ( )cos( ) s F stt s L (3)全全響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù) 2 2 2 5 23 4 13 ( ) () ( )( ) ()() xf s Ys s s Y sYs ssss 部部分分分分式式展展開開，得得 強(qiáng)強(qiáng)迫迫響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù) ( ) f Ys零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) 自自由由（固固有有）響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù) ( ) x Ys零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng) 2233 422 4 3c( )( )os() tttt y tteeeet (4)全全響響應(yīng)應(yīng) 強(qiáng)強(qiáng)迫迫響響應(yīng)應(yīng) ( ) f yt零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) 自自由由（固固有有）響響應(yīng)應(yīng) (

45、 ) x yt零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng) 23 222 4 ( )cos()( ) tt y teett LTI（1 1）系系統(tǒng)統(tǒng)微微分分方方程程的的特特征征根根就就是是其其固固有有響響應(yīng)應(yīng)象象函函數(shù)數(shù) 的的極極點(diǎn)點(diǎn)，所所以以其其固固有有響響應(yīng)應(yīng)的的模模態(tài)態(tài)完完全全由由其其象象函函數(shù)數(shù)的的極極點(diǎn)點(diǎn) 所所決決定定 小結(jié)小結(jié) 0 , s t （3 3）如如果果固固有有響響應(yīng)應(yīng)的的所所有有極極點(diǎn)點(diǎn)都都在在 左左半半平平面面，即即極極點(diǎn)點(diǎn)均均 具具有有負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)部部，則則當(dāng)當(dāng)系系統(tǒng)統(tǒng)的的固固有有響響應(yīng)應(yīng)，此此時(shí)時(shí)系系統(tǒng)統(tǒng) 為為穩(wěn)穩(wěn)定定系系統(tǒng)統(tǒng) LTI （4 4）需需指指出出，拉拉普普拉拉斯斯變變換換在在實(shí)實(shí)際

46、際應(yīng)應(yīng)用用中中的的主主要要意意義義并并不不 在在于于利利用用它它來來求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的響響應(yīng)應(yīng)，而而在在于于它它建建立立了了系系統(tǒng)統(tǒng)時(shí)時(shí)域域特特 性性與與復(fù)復(fù)頻頻域域表表示示之之間間的的關(guān)關(guān)系系（尤尤其其是是極極點(diǎn)點(diǎn)），從從而而提提供供了了 一一個(gè)個(gè)分分析析和和設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)實(shí)實(shí)際際系系統(tǒng)統(tǒng)的的有有效效工工具具系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù) ( )F s（2 2）強(qiáng)強(qiáng)迫迫響響應(yīng)應(yīng)的的模模態(tài)態(tài)完完全全由由外外加加激激勵(lì)勵(lì)的的象象函函數(shù)數(shù)的的極極點(diǎn)點(diǎn) 確確定定 二二. . 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 00 LTI ( )( ) ( )( ) nm ij ij ij a ytb ft 系系統(tǒng)統(tǒng)微微分分方方程程的的一一般般形形式式為

47、為： 1 ( ) ( ) ( ) ( ),( ), ( ) f ttF s B s Y s A s 若若激激勵(lì)勵(lì)即即且且系系統(tǒng)統(tǒng)為為零零初初始始狀狀態(tài)態(tài)，則則可可得得 ( )( ) ( )( ) ( )( ) M sB s Y sF s A sA s 響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù)： ( ) ( )( )( ) ( ) B s Y sh tH s A s L 顯顯然然，此此時(shí)時(shí)的的響響應(yīng)應(yīng)為為單單位位沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)，即即 LTI ( )( ) ( ( ) ) f YsH s F s H s 系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)只只與與描描述述系系統(tǒng)統(tǒng)的的微微分分方方程程系系數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)，即即只只與與系系統(tǒng)統(tǒng)的的 結(jié)結(jié)

48、構(gòu)構(gòu)、元元件件參參數(shù)數(shù)等等有有關(guān)關(guān)，而而與與外外界界因因素素（激激勵(lì)勵(lì)、初初始始狀狀態(tài)態(tài)等等） 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。 對(duì)對(duì)于于系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)為為的的系系統(tǒng)統(tǒng)，其其零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)的的象象函函數(shù)數(shù)為為 LTI ( ) ( ) ( ) B s H s A s 就就稱稱為為原原微微分分方方程程所所描描述述的的系系統(tǒng)統(tǒng)的的系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù) ( ) ( ) ( ) f Ys H s F s 即即 因因此此，系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)還還描描述述了了系系統(tǒng)統(tǒng)輸輸入入輸輸出出象象函函數(shù)數(shù)之之間間的的 一一種種變變換換關(guān)關(guān)系系，故故系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)也也常常稱稱為為傳傳遞遞函函數(shù)數(shù) 11 ( )( )( )( )( )*(

49、) ( ) ff ytYsH s F sh t f t f tLL 系系統(tǒng)統(tǒng)在在激激勵(lì)勵(lì)下下的的時(shí)時(shí)域域 零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) 系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)進(jìn)進(jìn)一一步步表表明明了了微微分分方方程程的的（即即系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)的的 對(duì)對(duì)系系統(tǒng)統(tǒng)特特性性的的主主導(dǎo)導(dǎo)作作用用。關(guān)關(guān)于于系系統(tǒng)統(tǒng)函函數(shù)數(shù)的的零零、極極點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)系系 統(tǒng)統(tǒng)特特性性的的影影響響將將在在第第七七章章進(jìn)進(jìn) 特特征征根根 ）極極點(diǎn)點(diǎn) 一一步步闡闡述述。 223 ( )( )( )( )( )y ty ty tftf t h t 已已知知L LT TI I系系統(tǒng)統(tǒng)， 求求系系統(tǒng)統(tǒng)的的沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)。 例5-4-2,教材例5.4-5 求求微微分分

50、方方程程零零狀狀態(tài)態(tài)下下的的拉拉普普拉拉斯斯變變換換 2( )(cossin )( ) t h tettt 222 312 221111 ( ) ()() ss H s ssss 2 223( )( )( )( )( )s Y ssY sY ssF sF s 三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s s域框圖域框圖 表5-2 s通通常?？伎紤]慮零零狀狀態(tài)態(tài)條條件件下下的的 域域框框圖圖 例5-4-3，教材例 5.4-6 ( )( ) ( )( ) ah t f tt 如如圖圖時(shí)時(shí)域域框框圖圖所所示示系系統(tǒng)統(tǒng)，求求系系統(tǒng)統(tǒng)沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)和和 時(shí)時(shí)的的零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) 2 2 2 2 32 32 33 3 32 321 32 2 1 1 2 2 2 1 ( )( ( ) ()( )( ) ()( )( ) ( )( )( )()( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) f f t s X ssX sX sF s ssX sF s YssX sX ssX s s YsF sH s F s sb ss s H s sss t s hee ：系系統(tǒng)統(tǒng)的的 域域框框圖圖（零零狀狀態(tài)態(tài)）如如圖圖所所示示。 由由左左端端加加法法器器可可得得 即即 由由右右端端加加法法器器可可得得 由由 、 兩兩式式解解得得 則則 故故沖沖激激響響