專題07 一元二次函數(shù)、方程和不等式（知識梳理）-2020-2021學年高一數(shù)學單元復習一遍過（人教A版2019必修第一冊）

1、章末溫習1. 知識系統(tǒng)整合2. 規(guī)律方法收藏1比較數(shù)(式)的大小依據(jù)：ab0ab；ab0ab；ab0ab.適用范圍：若數(shù)(式)的大小不明顯,作差后可化為積或商的形式步驟：作差；變形；判斷差的符號；下結論變形技巧：分解因式；平方后再作差；配方法；分子(分母)有理化2利用基本不等式證明不等式(1)充分利用條件是關鍵,要注意“1”的整體代換及幾個“”必須保證同時成立(2)利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,其實質(zhì)就是從已知的不等式入手,借助不等式的性質(zhì)和基本不等式,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后推得所證結論,其特征是“由因導果”(3)證明不等式時要注意靈活變形,可以多次利用基本不等式的變

2、形形式3利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值,必須同時滿足以下三個條件：一正、二定、三相等即：x,y都是正數(shù)積xy(或和xy)為常數(shù)(有時需通過“配湊、分拆”湊出定值)x與y必須能夠相等(等號能夠取到)(2)構造定值條件的常用技巧加項變換；拆項變換；統(tǒng)一換元；平方后利用基本不等式4解一元二次不等式的步驟當a0時,解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式的一般步驟如下：(1)確定對應方程ax2bxc0的解；(2)畫出對應函數(shù)yax2bxc的圖象的簡圖；(3)由圖象寫出不等式的解集特別提醒：(1)在通過圖象獲取解集時,注意不等式中的不等號方向、是否為嚴格不等關系及

3、0時的特殊情況(2)當a0時,解不等式可以從兩個方面入手：畫出對應圖象進行直接判定(此時圖象開口向下)；兩邊同乘以1,把a轉變?yōu)閍再進行求解5一元二次不等式的實際應用不等式在解決生活、生產(chǎn)中的一些實際問題中有著廣泛的應用,主要有范圍問題、最值問題等解一元二次不等式的應用問題的關鍵在于構造一元二次不等式模型解題的一般步驟是：(1)理清題意：弄清問題的實際背景和意義,用數(shù)學語言來描述問題(2)簡化假設：精選問題中的關鍵變量(3)列出關系式：建立變量間的不等關系式(4)求解：運用數(shù)學知識解相應不等式(5)檢驗并作答：將所得不等式的解集放回原題中檢驗是否符合實際情況,然后給出問題的參考答案3 學科思想

4、培優(yōu)一、常數(shù)代換法【典例1】已知正數(shù)x,y滿足x+y1,則的最小值為（）A5BCD2【參考答案】C【解析】x+y1,所以,x+（1+y）2,則2,所以,當且僅當,即當時,等號成立,因此,的最小值為,故選：C二、消元法【典例2】設x,y,z為正實數(shù),滿足x2y+3z0,則的最小值是【參考答案】3【解析】x2y+3z0,當且僅當x3z時取“”故參考答案為3三、配湊法1從和或積為定值的角度入手配湊某些不等式的約束條件可看成若干變元的和或積的定值,在不等式的變形中,配湊出這些定值,可使問題巧妙獲解常見的配湊變形有化積為和、常數(shù)的代換、加法結合律等常規(guī)運算和技巧【典例3】設x0,y0,x21,求的最大值

5、【解析】x0,y0,x2與的和為定值,當且僅當,即時取等號,即的最大值為.【典例4】已知x,y,z為正數(shù),且滿足xyz(xyz)1,求(xy)(yz)的最小值【解析】由條件得xyz,則(xy)(yz)xyxzy2yzy(xyz)xzyxzxz2,當且僅當xz,即xz1時取等號,故(xy)(yz)的最小值為2.【典例5】設a1,a2,a3,an均為正實數(shù),求證：a1a2a3an.【解析】為了約去中的分母,可考慮配上一項ak1,于是有a22a1,a32a2,an2an1,a12an,當且僅當a1a2an時取等號以上不等式相加,化簡,可得原不等式成立2從取等號的條件入手配湊在題中約束條件下,各變元將

6、取某個特定值,這就提示我們可考慮用這些值來進行配湊【典例6】設a,b,c0,abc1,求的最大值【解析】,.以上三式相加,并利用abc1,得()6,故的最大值為3.四、判別式法在“三個二次”問題中的應用一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系十分密切,習慣上稱為“三個二次”問題根據(jù)判別式法在解一元二次方程中的作用,可見判別式法在“三個二次”問題中的重要性1求變量的取值范圍【典例7】不等式(m22m3)x2(m3)x10對任意xR恒成立,求實數(shù)m的取值范圍【解析】(m22m3)x2(m3)x10對任意xR恒成立若m22m30,則m1或m3.當m1時,不符合題意；當m3時,符合題意若m22m30,設y(m22m3)x2(m3)x10對任意xR恒成立則m22m30,b24ac5m214m30,解得m3.故實數(shù)m的取值范圍是m0恒成立【解析】不等式可變形為y22xy2x24x50,將不等式左邊看作關于y的二次函數(shù),令zy22xy2x24x5,則關于y的一元二次方程y22xy2x24x50的根的判別式4x24(2x24x5)4(x2)240,即0恒成立,即2x22xyy24x50恒成立五、含變量的不等式恒成立問題【典例10】