專題03 三角函數(shù)與平面向量綜合問題（答題指導）（解析版）

1、專題03 三角函數(shù)與平面向量綜合問題（答題指導） 【題型解讀】題型特點命題趨勢從近幾年的高考試題看,全國卷交替考查三角函數(shù)、解三角形該部分解答題是高考得分的基本組成部分,考查的熱點題型有：一是考查三角函數(shù)的圖象變換以及單調(diào)性、最值等；二是考查解三角形問題；三是考查三角函數(shù)、解三角形與平面向量的交匯性問題.主要是在三角恒等變換的基礎上融合正、余弦定理,在知識的交匯處命題仍然是命題的關注點.題型一：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1注意對基本三角函數(shù)ysin x,ycos x的圖象與性質(zhì)的理解與記憶,有關三角函數(shù)的五點作圖、圖象的平移、由圖象求解析式、周期、單調(diào)區(qū)間、最值和奇偶性等問題的求解,通常先將給出的函

2、數(shù)轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式,然后利用整體代換的方法求解2解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的步驟(1)將f(x)化為asin xbcos x的形式(2)構(gòu)造f(x).(3)和角公式逆用,得f(x)sin(x)(其中為輔助角)(4)利用f(x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質(zhì)(5)反思回顧,查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范【例1】 (2017山東卷)設函數(shù)f(x)sinsin,其中03.已知f0.(1)求；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求g(x)在上的最小值【參考答案】見解析【解析】(1)因為f(x)s

3、insin,所以f(x)sinxcosxcos xsin xcosxsin.因為f0,所以k,kZ.故6k2,kZ.又03,所以2.(2)由(1)得f(x)sin,所以g(x)sinsin.因為x,所以x,當x,即x時,g(x)取得最小值.【素養(yǎng)解讀】本題中圖象的變換考查了數(shù)學直觀的核心素養(yǎng),將復雜的三角函數(shù)通過變形整理得到正弦型函數(shù),從而便于對性質(zhì)的研究,考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng)【突破訓練1】 設函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x(0),且yf(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值【參考答案】見解析【解析】(1)f(x)

4、sin2xcos2xsin2xsin.因為yf(x)的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為,故該函數(shù)的周期T4.又0,所以,因此1.(2)由(1)知f(x)sin.當x時,2x,所以sin sinsin 1,所以1f(x),即f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為,1.題型二解三角形1高考對解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的綜合運用為主其命題規(guī)律可以從以下兩方面看：(1)從內(nèi)容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)公式,一般是以三角形或其他平面圖形為背景,結(jié)合三角形的邊角關系考查學生利用三角函數(shù)公式處理問題的能力；(2)從命題角度看,主要是在三角恒等變換的基礎上融合正弦定理、余弦

5、定理,在知識的交匯處命題2用正、余弦定理求解三角形的步驟第一步：找條件,尋找三角形中已知的邊和角,確定轉(zhuǎn)化方向第二步：定工具,根據(jù)已知條件和轉(zhuǎn)化方向,選擇使用的定理和公式,實施邊角之間的轉(zhuǎn)化第三步：求結(jié)果,根據(jù)前兩步分析,代入求值得出結(jié)果第四步：再反思,轉(zhuǎn)化過程中要注意轉(zhuǎn)化的方向,審視結(jié)果的合理性【例2】 在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin B(1)求A；(2)若a3,求b2c的最大值【參考答案】見解析【解析】(1)cos(CB)cos(CB)cos2AsinCsinBcos2(CB)sinCsinB,則cos(CB)cos

6、(CB)cos(CB)sinCsinB,則cosA2sinCsinBsinCsinB,可得cosA,因為0A,所以A60.(2)由2,得b2c2(sinB2sinC)2sinB2sin(120B)2(2sinBcosB)2sin(B),其中tan,.由B得B,所以sin(B)的最大值為1,所以b2c的最大值為2.【素養(yǎng)解讀】試題把設定的方程與三角形內(nèi)含的方程(三角形的正弦定理、三角形內(nèi)角和定理等)建立聯(lián)系,從而求得三角形的部分度量關系,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)【突破訓練2】 (2017天津卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,a5,c6,sin B.(1)求b和sin A的值；(2)求sin的值【參考答案】見解析【解析】(1)在ABC中,因為ab,故由sinB,可得cosB.由已知和余弦定理,有b2a2c22accosB13,所以b.由正弦定理得sinA.(2)由(1)及a0)的圖象與直線y2相鄰兩個交點間的最短距離T2,即2,解得,故f(x)2cos(xB)又f2cos1,即cos.因為B是ABC的內(nèi)角,所以B,從而ABC是直角三角形,所以b,所以SABCab.(2)由題意知A,a3,設ABC的外接