數(shù)列公式匯總

1、人教版數(shù)學(xué)必修五第二章數(shù)列重難點(diǎn)解析第二章課文目錄2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法2.2等差數(shù)列2.3等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和2.4等比數(shù)列2. 5等比數(shù)列前n項(xiàng)和【重點(diǎn)】1、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4、等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用。6、 等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前 n項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。2、理解

2、遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前 n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題，靈活應(yīng)用定義式及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問(wèn)題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題。一、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1. 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做 數(shù)列注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么 它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)2. 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第

3、 1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第 2項(xiàng)，第 n項(xiàng)，3數(shù)列的一般形式：印耳忌, 耳,，或簡(jiǎn)記為an ，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)4. 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列 0n f的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式 就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 注意：并不是所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1, 0, 1, 0, 1 , 0,它的通項(xiàng)公式可以是1(-1)n 1an，也可以是an =| cos|.2 2數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第卜項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示通項(xiàng)公式

4、反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可 求出數(shù)列的每一項(xiàng).5. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N (或它的有限子集1 , 2,3, ,n)為定義域的函數(shù)an= f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù) y=f(x),如果f(i) (i=1、2、3、4,)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)、f、f(3)、f(4) , , f(n),6 數(shù)列的分類(lèi)：1)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分： 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列例如數(shù)列1, 2, 3, 4, 5, 6。是有窮數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列例如數(shù)列1, 2, 3, 4,

5、 5, 6,是無(wú)窮數(shù)列2 )根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分： 遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第 2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7 .數(shù)列的表示方法(1) 通項(xiàng)公式法如果數(shù)列 Bn :的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式。如數(shù)列.1亠.的通項(xiàng)公式為1;mi的通項(xiàng)公式為1 ;av = (n e N*)的通項(xiàng)公式為；(2) 圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 、為縱坐標(biāo)，即以

6、-:-為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在-軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).(3) 遞推公式法 ”如果已知數(shù)列方.冷勺第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)a./ (或前n項(xiàng))間的關(guān)系可 以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55, 89遞推公式為： a1 =3,a2 =5,an =an1 an(3

7、_ n _ 8)4、列表法a曲角廠也簡(jiǎn)記為.典型例題：例1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：、246810(1) 3, 5, 9, 17, 33,;(2) , , , ,;315356399(3) 0, 1,0, 1,0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ;(5) 2, 6, 12, 20, 30,42,.2n、1 (-1)n解：(1) an = 2n+1;(2)an =； (3)an =(2n _ 1)(2n 1)2(4)將數(shù)列變形為1 + 0, 2+ 1,3 + 0, 4 + 1,5 + 0, 6 + 1,7+ 0, 8 + 1,-an

8、 =；(5)將數(shù)列變形為 1 X 2, 2X 3, 3 X 4, 4X 5, 5 X 6,an =印=1例2：設(shè)數(shù)列an 滿足1寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。an =1+(n 1).an I解：二、等差數(shù)列1 等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示)。.公差d 一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；.對(duì)于數(shù)列 an,若an an4=d (與n無(wú)關(guān)的數(shù)或字母)，n2, n N ，則此數(shù)列是等差數(shù)列， d為公差。2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：aa1 (n - 1)d【或a am (n - m

9、)d】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列an 的首項(xiàng)是a，公差是d,則據(jù)其定義可得：a2 - 印=d 即：a2 = q da3 _a2=d 即：a3=a2d p2da4 - a3= d 即：a4= a3d = a13d由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：an = a1 (n- 1)d已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d，便可求得其通項(xiàng) an。由上述關(guān)系還可得：am =a1 - (m1)d即：q =am - (m -1)d則：an = a1 (n - 1)d = am -(m -1)d (n - 1)d = am (n - m)d即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式an二 am

10、(n - m)d.d=3 有幾種方法可以計(jì)算公差 d d= an - an1 d = ai n -14 .結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若a a d = an amn mm+n=p+q 貝U, am +an =ap +aq即 m+n=p+q = am an 二 ap aq (m, n, p, q N )但通常 由am - aap - aq推不出 m+n=p+q，am - aam-n典型例題:例1求等差數(shù)列8, 5, 2,的第20項(xiàng)-401是不是等差數(shù)列-5 , -9 , -13,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)?解：例3:求等差數(shù)列3, 7, 11,的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).例5: 100是不是等差數(shù)列 2,

11、9, 16,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由例6: - 20是不是等差數(shù)列0, 3 1 , - 7,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由2例&在等差數(shù)列an中，若a1+a6 =9,a4 =7,求a3,a?.三、等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1： Sn啦2證明： Sn = a1 a2 aan anSn 二an an八 an, a2 a1 +：2Sn =（aan） （a2 a.J 6 - K J（a. a.） a1 an = a2 an 4 = a3 an -2 =.2Sn an）由此得：Sn2從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問(wèn)題的正確性+152.等差數(shù)列的前n項(xiàng)

12、和公式2: Sn二na“ n(n -1)d2用上述公式要求sn必須具備三個(gè)條件：n,a1 ,an但an = a (n -1)d 代入公式1即得：Sn二n 也 聖2 此公式要求Sn必須已知三個(gè)條件：n,a1 ,d (有時(shí)比較有用) 對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2: sn = na1 乜 如可化成式子：2-JSn = n2 1 -)n，當(dāng)dM0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式2 23由Sn的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，S=a1 ;當(dāng)n2時(shí)，an = Sn- Sn， =1)Sm(n 一 2)S1(n即 an= Sn4.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法：(1 )利用an :當(dāng)an 0, d0,且an 1 0，求得

13、n的值 當(dāng)an 0，前n項(xiàng)和有最小值可由an 0，求得n的值*(2)利用Sn :-J由Sn二一n2 (a-)n利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值2 2典型例題：例2：等差數(shù)列一10, 6, - 2, 2,前9項(xiàng)的和多少？解：例3：等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140,其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為 解125,求其第6項(xiàng).例6：已知等差數(shù)列an中，S3=21, S6=64,求數(shù)列 |a n| 的前n項(xiàng)和Tn.例7： 在等差數(shù)列an中，已知a6 + ag+ a2+ a5= 34,求前20項(xiàng)之和.例8已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且 a3，a7= 12, a4+ a6= 4，求它的前20項(xiàng)的和S20 的值.例

14、9:等差數(shù)列an、b n的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若Sn2n=5則 a100等于Tn3n 1b1002A.1B.3199200C.D.299301分析該題是將已00與魚(yú) 紅發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前n項(xiàng)biooTn3n M和公式Sn = n(a12an)把前項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系.例10：解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列an中a2= 3, a6=- 17,求ag;(2) 在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和 為1350,求這幾個(gè)數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列an中，a4 + a6 + a5+玄仃=50,求S?o；(4) 已知：等差數(shù)列an中，an=3

15、3-3n,求Sn的最大值.四、等比數(shù)列1 .等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫a做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(0),即：旦 =q (q工o)an -11 “從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q) an成等比數(shù)列=an 1an=q(nN ,q 豐 0)2隱含：任一項(xiàng)an = 0且q = 0an豐0 ”是數(shù)列 an成等比數(shù)列的必要非充分條件.3 q= 1時(shí)，an為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 1： an =a1 qn(a10)由等比數(shù)列的定義，有：a2 二 aiq ；a3 = a2q =(aiq)q =a

16、iq2 ；a4 = a3q = (aiq2)q = aiq；an ranq 二 ai qn J(ai q = 0).m 13.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2： an = am q (a1 =0)4 既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an =a1 qnJL(a1 q = 0),它的圖象是分布在曲線八旦乂(q0) 上q的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng)ai 0 , q 1時(shí)，等比數(shù)列 an是遞增數(shù)列；當(dāng)ai ：0 , 0 : q ： 1，等比數(shù)列 an是遞增數(shù)列；當(dāng)ai 0 , 0 : q : 1時(shí)，等比數(shù)列 an是遞減數(shù)列；當(dāng)a1 ：0 , q 1時(shí)，等比數(shù)列 a

17、n是遞減數(shù)列；當(dāng)q ：0時(shí)，等比數(shù)列 an是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q =1時(shí)，等比數(shù)列 an是常數(shù)列。6 .等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù) G,使a,G, b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù) G為a與b的等比中項(xiàng).即G= . ab (a,b 同號(hào))如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù) G,使a,G, b成等比數(shù)列，則 G = b = G2 =ab= G =ab ,a G反之，若G?=ab,則G =，即a,G,b成等比數(shù)列a G2 a,G,b成等比數(shù)列=G =ab (a b0)7 .等比數(shù)列的性質(zhì)：若 m+n=p+k，貝V aman =apak在等比數(shù)列中，m+n=p+q , am,an ,ap,ak有什么關(guān)系呢？由

18、定義得：am =a1qmaa1qnJ aa1qp4ak =耳 qkJ2m+-22p*_2am an - a1 q , ap ak = a1 q則 amaapak8 判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法9 .等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q1, a 0或0q1,a11,a10，或0q0時(shí), an是遞減數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí), an是常數(shù)列；當(dāng)q0,貝U lga i,lga2,lga 3,成等差（）an成等比-lg an成等差（2） an成等差=aan成等比典型例題:例1:求和：丨r I ：丿 j 亠.解：等差數(shù)列等比數(shù)列疋義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每 一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫公 差.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng) 與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù) 列就叫等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫公比.遞 推 關(guān) 系 a*卅一a* =&2一&1( nN ) a* 卅一a* =d( n = N ) an卅-an =an -務(wù)(n 2,n N*) 務(wù)卅=去(nN* )ana1*