02第二章極限與連續(xù)[共27頁(yè)]

1、第二章 極限與函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1了解極限的描述性定義2了解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會(huì)用兩個(gè)重要極限公式求極限4掌握極限的四則運(yùn)算法則5理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念,知道間斷點(diǎn)的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) （最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理） 7會(huì)用函數(shù)的連續(xù)性求極限重點(diǎn) 極限的求法,兩個(gè)重要極限,函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念難點(diǎn) 間斷點(diǎn)的分類,分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性（二）內(nèi)容提要極限的定義(1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型 描述性定義 極限記號(hào)x設(shè)函數(shù) y f ( x) 在 x b (b 為某個(gè)正 lim

2、f (x) A或x時(shí)函數(shù)實(shí)數(shù)) 時(shí)有定義,如果當(dāng)自變量 x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí), 相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù) A,則稱 A 為x （讀作“x趨于無(wú)窮”）時(shí)函數(shù) f ( x) 的極限f (x) A(xf (x)的極限)1x 設(shè)函數(shù) y f ( x)在(a, )(a 為某個(gè)實(shí)數(shù) )時(shí)函數(shù)內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量 x 無(wú)限增大時(shí),f ( x)的相應(yīng)的函數(shù)值 f (x) 無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù) A,則稱 A為x （讀作“x 趨極限lim f (x) A 或xf (x) A(x)于正無(wú)窮”）時(shí)函數(shù) f ( x) 的極限x 設(shè)函數(shù) y f (x)在( , a) ( a 為某個(gè)實(shí)時(shí)函數(shù)數(shù)) 內(nèi)有

3、定義,如果當(dāng)自變量 x 無(wú)限增大f ( x)的 且x 0時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值 f (x) 無(wú)限接近于極限某一個(gè)固定的常數(shù) A,則稱 A 為x （讀作“ x趨于負(fù)無(wú)窮”）時(shí)函數(shù) f ( x) 的極限lim f (x) A 或xf (x) A(x)x 設(shè)函數(shù) y f (x) 在點(diǎn) x0 的去心鄰域x0limx x0f (x) A 或時(shí)函數(shù)N(x? , ) 內(nèi)有定義,如果 當(dāng)自變量 x 在0f (x) A(x x0 )f (x) N(x?0, ) 內(nèi)無(wú)限接近于 x0 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值的極限 f (x) 無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù) A ,則稱 A 為當(dāng)x x （讀作“ x 趨近于 x0 ”）時(shí)0函數(shù) f

4、(x) 的極限設(shè)函數(shù) y f (x) 在點(diǎn)x 的左半鄰域0limx x0f ( x) A或xx0( x0 ,x0 ) 內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量 x在此f (x) A( xx0)時(shí)函數(shù)半鄰域內(nèi)從 x0 左側(cè)無(wú)限接近于 x0 時(shí),相應(yīng)或f(x00) Af (x) 的函數(shù)值 f (x) 無(wú)限接近于某個(gè)固定的常的極限數(shù) A,則稱 A 為當(dāng) x 趨近于x 時(shí)函數(shù) f (x) 的0左極限xx0(x)的時(shí)函數(shù)f極限設(shè)函數(shù) y f ( x) 的右半鄰域 ( )x0 x, 0內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量 x 在此半鄰域內(nèi)從x 右側(cè)無(wú)限接近于 x0 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值0f (x) 無(wú)限接近于某個(gè)固定的常數(shù) A ,則稱A為當(dāng)

5、 x趨近于 x0 時(shí)函數(shù) f ( x) 的右極限limf(x x0f (x)或f(x0x)A(0)Ax或x0A)對(duì)于數(shù)列 un ,若當(dāng)自然數(shù) n無(wú)限增大lim u A或nn數(shù)列u 的n極限時(shí),通項(xiàng)u 無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù) ,nu 的極限,nu 收斂于 Anx 的極限不存在,則稱數(shù)列n則稱 A為當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)數(shù)列或稱數(shù)列若數(shù)列 發(fā)散xnun A(nlim u 不存在nn)（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理2lim f x A 的充分必要條件是 lim f ( x)( )x xlim f (x) Ax f x Alimx ( )x0的充分必要條件是 lim ( )f xx x 0limx x0f

6、(x) A（）極限存在準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限夾逼準(zhǔn)則若當(dāng) x ( ? , ) 時(shí),有 g( x） f (x) h( x) ,且 g x AN x lxim ( )0x 0, h x Alimx ( )x0,則 f x Alim ( )x x 0夾逼準(zhǔn)則對(duì)自變量的其他變化過(guò)程也成立 .2. 極限的四則運(yùn)算法則設(shè) lim ( )f xx x0及 lim ( )g xx x0都存在,則(1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) f x g x f x g xx x x x x x0 0 0；(2) xlim ( ) ( ) lim ( ) lim (

7、) ,f x g x f x g xx x x x x0 0 0limx x0Cf( )xClimx x0f()x( C 為任意常數(shù) );(3) f (x) f ( x)lim limx 0 g xx )g(x xx ( )0(lim g(x)x x00)上述極限四則運(yùn)算法則對(duì)自變量的其他變化過(guò)程下的極限同樣成立3 兩個(gè)重要極限(1) lim sin 1,xx0 xsin u( x)一般形式為 1（其中u(x) 代表x 的任意limu( x) 0 u( x)函數(shù)）x(2) lim 1 1 e,x x3u ( x)1一般形式為 elim 1u( u( x)x)（其中 u(x) 代表 x 的任意函

8、數(shù)） 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量在討論無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念及其相關(guān)性質(zhì)時(shí) , 均以xx0的極限變化過(guò)程為例 . 其他極限變化過(guò)程 , 有完全類似的結(jié)論（）無(wú)窮小量在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,以零為極限的變量稱為該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小例如 , 如果 lim ( ) 0f xx x0,則稱當(dāng)xx0時(shí), f (x) 是無(wú)窮小量注意 一般說(shuō)來(lái),無(wú)窮小表達(dá)的是變量的變化狀態(tài),而不是變量的大小,一個(gè)變量無(wú)論多么小,都不能是無(wú)窮小量,數(shù)零是惟一可作為無(wú)窮小的常數(shù)（） 無(wú)窮大量 在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,絕對(duì)值可以無(wú)限增大的變量稱為這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大應(yīng)該注意的是：無(wú)窮大量是極限不存在的

9、一種情形,我們借用極限的記號(hào) lim ( )f xx x 0,表示“當(dāng) x x0 時(shí), f (x) 是無(wú)窮大量” （）無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中,無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量,非零無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量（）無(wú)窮小量的運(yùn)算 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量 無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量 常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量（5）無(wú)窮小量的比較下表給出了兩個(gè)無(wú)窮小量之間的比較定義無(wú)窮小量的比較表4設(shè)在自變量x x 的變化過(guò)程中, ( x)與 ( x) 均是無(wú)窮小量0無(wú)窮小的比較 定 義 記 號(hào)(x)(x)是比 (x) 0高階的無(wú)窮小limx x0

10、(x)( x) (x)（x x ）0(x)C C(x x ( )與 ( ) lim 為不等于零的常數(shù)是同階的無(wú)窮小x x(x)0(x)a(x x 1)與 ( ) lim 是等階無(wú)窮小)與 ( ) limx ( )x0 a x(x) (x)（x ）x0（） 極限與無(wú)窮小量的關(guān)系定理lim f xx ( )x0A的充分必要條件是 f (x) A ( x) ,其中 a( x) 是當(dāng)x x 時(shí)0的無(wú)窮小量（） 無(wú)窮小的替換定理設(shè)當(dāng)x 時(shí), 1 ( x) ( x) , 1( x) ( x) ,x2 20(x)2lim0 (x)x x2存在,則(x) (x)1 2l i mx x (x) ( )0 x1

11、25函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)的定義：定義 設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 若當(dāng)自變量的 增量 x x x 趨于零時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零,即0lim lim ( 0 ) ( 0)y f x x f xx 0 x 00 ,則稱函數(shù) f ( x) 在點(diǎn)x 處連續(xù),或稱0x 是 f ( x) 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)0x ,則稱函數(shù) f ( x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)x定義 若lim ( ) ( )f x f x00x ,則稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處左x 左右連續(xù)的概念 若 lim ( ) ( )f x f x0 0連續(xù)；若x ,則稱函數(shù) f (

12、x) 在點(diǎn) x0 處右連續(xù)xlim 0f (x) f (x ) 0 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x 處連續(xù)的充分必要條件是 f (x) 在點(diǎn)0x 處既左連續(xù)05又右連續(xù)由此可知,函數(shù) f ( x) 在點(diǎn) x 處連續(xù),必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：0 函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x 的某鄰域內(nèi)有定義,0 lim ( )f xx x 0存在, 這個(gè)極限等于函數(shù)值 f (x ) 0 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn),那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù),在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)

13、 間斷點(diǎn)若函數(shù) f ( x) 在點(diǎn)x 處不連續(xù),則稱點(diǎn)0x 為函數(shù) f (x) 的間斷點(diǎn)0 間斷點(diǎn)的分類設(shè)x 為 f ( x) 的一個(gè)間斷點(diǎn),如果當(dāng)0x 時(shí), f (x) 的左極限、右極x0限都存在,則稱類間斷點(diǎn)x 為 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)；否則,稱0x 為 f (x) 的第二0對(duì)于第一類間斷點(diǎn)有以下兩種情形： 當(dāng)lim ( )f xx x0與lim ( )f xx x0都存在,但不相等時(shí),稱x 為 f (x) 的跳躍間0斷點(diǎn)； 當(dāng)lim ( )f xx x0存在,但極限不等于 f ( )時(shí),稱x0x 為 f ( x) 的可去間斷0點(diǎn) 初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)

14、的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值 根 的存在 定理 設(shè) f ( x) 為閉 區(qū)間 a,b 上的連 續(xù)函數(shù),且 f (a)與f (b) 異號(hào),則至少存在一點(diǎn) (a,b) ,使得 f ( ) 0 介值定理 設(shè) f (x) 是閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)函數(shù),且 f (a) f (b) ,則對(duì)介于 f (a)與f (b) 之間的任意一個(gè)數(shù) ,則至少存在一點(diǎn) ( a,b) ,使6得 f ( ) 二、主要解題方法1求函數(shù)極限方法(1) 利用極限存在的充分必要條件求極限例1 求下列函數(shù)的極限：（1）xlim2x2 x

15、24,（2）f x1x sin 1 xx2a,xx00,當(dāng)a為何值時(shí), f (x) 在x 0的極限存在.解 (1)x 2 2 xlim lim22 x 4 (x 2)( xx x 22)14,x 2 x 2lim lim22 x 4 (x 2)( xx x 22)14,因?yàn)樽髽O限不等于右極限,所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點(diǎn) x 0處,兩邊的表達(dá)式不同,因此一般要考慮在分段點(diǎn) x 0處的左極限與右極限于是,有1 1lim f (x) lim (x sin a) lim (x sin ) lim a a,x xx 0 x 0 x 0 x 0limx 0f()x 2 lim (1 )x 0x1

16、,為使 lim ( )f xx 0存在,必須有 lim f (x)x 0= lim ( ) f xx 0,因此 ,當(dāng)a=1 時(shí), lim ( )f xx 0存在且 lim f (x)x 0=1小結(jié) 對(duì)于求含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限,要用左右極限來(lái)求,只有左右極限存在且相等時(shí)極限才存在,否則,極限不存在7（3）利用極限運(yùn)算法則求極限例2 求下列函數(shù)的極限：(1)22xlimx1 x312x 9, (2) lim2x x 5x 6, (3)2 1lim( )2x 1 x 1 x1,(4)limx5xx12解 (1)22xlimx1 x13=2lim (2x 3)x =1lim (x

17、1)x 112(2) 當(dāng)x 3 時(shí),分子、分母極限均為零,呈現(xiàn)00型,不能直接用商的極限法則,可先分解因式,約去使分子分母為零的公因子,再用商的運(yùn)算法則2x 9 (x 3)( x 3) x 3原式= 6lim lim lim2x 5x 6 x 3 x x 2) 23 x ( 3)( xx 3(3) 當(dāng)x 1時(shí),2 1,21 x 1 x的極限均不存在,式2 121 x 1 x呈現(xiàn)型,不能直接用“差的極限等于極限的差”的運(yùn)算法則,可先進(jìn)行通分化簡(jiǎn),再用商的運(yùn)算法則即2 1 2 (1 x)原式=lim( ) lim2 2x 1 x 11 x 1 x 1 x(1 x) 1 1lim limx 1 (1

18、 x )(1 x) x 1 1 x 2(4) 當(dāng)x 時(shí),分子分母均無(wú)極限,呈現(xiàn) 形式需分子分母同時(shí)除以 x ,將無(wú)窮大的 x 約去,再用法則求8 15x原式= 5limx 21x小結(jié) （I ）應(yīng)用極限運(yùn)算法則求極限時(shí),必須注意每項(xiàng)極限都存在（對(duì)于除法,分母極限不為零）才能適用（II ）求函數(shù)極限時(shí),經(jīng)常出現(xiàn)0 等情況,都不能直接0, ,運(yùn)用極限運(yùn)算法則, 必須對(duì)原式進(jìn)行恒等變換、 化簡(jiǎn),然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（i ）對(duì)于 型,往往需要先通分,化簡(jiǎn),再求極限,（ii ）對(duì)于無(wú)理分式,分子、分母有理化,消去公因式,再求極限,（iii ）對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解,再求極限,（iv ）對(duì)

19、于當(dāng) x 時(shí)的 型,可將分子分母同時(shí)除以分母的最高次冪,然后再求極限（3）利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例 3 求下列函數(shù)的極限（1）2xlimx1 x11, （2）limxx sin x13x解（1） 因?yàn)閘im ( 1) 0xx 12而lim ( 1) 0xx 1,求該式的極限需用無(wú)窮x 1小與無(wú)窮大關(guān)系定理解決 因?yàn)?0lim2x 1 x1x,所以當(dāng) x 1時(shí),2x11是無(wú)窮小量,因而它的倒數(shù)是無(wú)窮大量,即2xlimx 1 x11（2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則,因?yàn)楫?dāng) x 時(shí)分子,極限91xx不存在,但sin x 是有界函數(shù), 即 sin x 1而 0lim limx 3 x11 x13x,因此

20、當(dāng) x 時(shí),x31 x為無(wú)窮小量 . 根據(jù)有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積仍為無(wú)窮小定理,即得x sin xlim 0x 31 x.小結(jié) 利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零,而分子極限存在的函數(shù)極限） ；利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小定理可得一類函數(shù)的極限 （有界量與無(wú)窮小之積的函數(shù)極限）（4）利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4 求下列函數(shù)的極限：（1）limx 0cos xcos 3x2x, （2）1x2 lim (1 )x x解（1）分子先用和差化積公式變形,然后再用重要極限公式求極限原式=limx 02 sinxxsin22xsin x sin 2x= ) 1 4 4li

21、m lim (4x0 xx x 2（2）解一 原式=1 1 1 1x x xlim (1 ) (1 ) lim (1 ) lim (1x x x x xx 0 x)x1=ee 1 1,1 (2解二 原式=( x )lim 1( 2 ) x x1 x)=e0 1sin x小結(jié) （I ）利用 1limx0 x求極限時(shí),函數(shù)的特點(diǎn)是0 型,滿足0sin u( x)limu( x ) 0 u x)(的形式,其中 u x 為同一變量；10（II ）用1xlim 求極限時(shí),函數(shù)的特點(diǎn) 1 型冪指函數(shù),其形式(1 )x x1為 1 x ( x) 型,( )x 為無(wú)窮小量,而指數(shù)為無(wú)窮大,兩者恰好互為倒數(shù)；（

22、III ）用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí),往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或作變量代換,使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。(5) 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常用等價(jià)無(wú)窮小有當(dāng)x 0 時(shí), x sin x tan x arcsin x arctan x ln( 1 x) ex 1,11 x x , 2x sin 2x tan 2x cos 22例 5 求下列函數(shù)的極限（1）1 coslim2x x0 3x, （2）limx 0tan x sin x3x解 （1）1 coslim2x0 3xx122x=lim 2x0 3x16（12x 0,1 cos x x ）2（2）tan x sin xlim =x

23、0 sin3xsin x(1 coslim3x x cos x0x)limx 0sin x (1 cos x) 12x x cosx=limx 02sin2x2x2=1 （22x x2x 0, sin ） 2 2小結(jié) 利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母, 也可代換分子或分母中的因式,但當(dāng)分子或分母為多項(xiàng)式時(shí),一般不能代換其中一項(xiàng)。否則會(huì)出錯(cuò)11tan x sin x x x如上題 lim 0lim3 3x x 00 sin x x, 即得一錯(cuò)誤結(jié)果（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6 求下列函數(shù)的極限（1）2x sin xlimx 2 x 2e 1 x, （2） lim arcsin( 2 x x)xx解 (1) 因?yàn)?xxesin1 xx2是初等函數(shù),在 x 2 處有定義,所以 2 x s