專題16 用樣本估計總體、統(tǒng)計案例（知識精講）（原卷版）

1、專題十六 用樣本預計總體、統(tǒng)計案例 知識精講一 知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi) 容考點關(guān)注點用樣本預計總體、統(tǒng)計案例頻率分布直方圖畫圖、由圖求數(shù)據(jù)百分位數(shù) 求百分位數(shù)及其含義平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)求值及其含義方差、極差求值及其含義二.學法指導1.繪制頻率分布直方圖應注意的問題(1)在繪制出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高一般地,頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的,合理的定高方法是“以一個恰當?shù)膯挝婚L度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定),然后以各組的“”所占的比例來定高如我們預先設定以“”為1個單位長度,代表“0.1”,則若一個組的為0.2,則該小矩形的高就是“”(占兩個單位長度),如此類推(2)

2、數(shù)據(jù)要合理分組,組距要選取恰當,一般盡量取整,數(shù)據(jù)為30100個左右時,應分成512組,在頻率分布直方圖中,各個小長方形的面積等于各組的頻率,小長方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和為1.2. 頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)因為小矩形的面積組距頻率,所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1.(3) 樣本容量頻數(shù)/相應的頻率3折線統(tǒng)計圖的讀圖方法(1)讀折線統(tǒng)計圖時,首先要看清楚直角坐標系中橫、縱坐標表示的意義；其次要明確圖中的數(shù)量及其單位(2)在折線統(tǒng)計圖中,從折線

3、的上升、下降可分析統(tǒng)計數(shù)量的增減變化情況,從陡峭程度上,可分析數(shù)據(jù)間相對增長、下降的幅度4.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟(1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)計算i：計算inp%；(3)定數(shù)：若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)5.根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算,其次預計百分位數(shù)在哪一組,再應用方程的思想方法,設出百分位數(shù),解方程可得6.求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時,把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后,按照其求法進行7.利用樣本數(shù)字特征進行

4、決策時的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點,無法客觀反映總體特征(2)當平均數(shù)大于中位數(shù)時,說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值8.標準差、方差的意義(1)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,標準差的大小不會超過極差(2)標準差、方差的取值范圍：0,)標準差、方差為0時,樣本各數(shù)據(jù)相等,說明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性9.數(shù)據(jù)分析的要點(1)要正確處理此類問題,首先要抓住問題中

5、的關(guān)鍵詞語,全方位地進行必要的計算、分析,而不能習慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好,像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析,如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當?shù)卦u估后,組織好正確的語言作出結(jié)論(2)在進行數(shù)據(jù)分析時,不同的標準沒有對和錯的問題,也不存在唯一解的問題,而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策,至于決策的好壞,是根據(jù)提出的標準而定的三.知識點貫通知識點1 頻率分布直方圖的畫法畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數(shù)：當樣本容量不超過100時,常分成512組,為了方便起見,一般取等長組距,并且組距應力求“取整”(3)將數(shù)據(jù)分組(4

6、)列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率其中頻數(shù)合計應是樣本容量,頻率合計是1.(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示分組,縱軸表示.小長方形的面積組距頻率各小長方形的面積和等于1.例1.一個農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長的分布情況,在一塊試驗田里抽取了100株麥穗,量得長度如下(單位：cm)：656.46.75.85.95.95.24.05.44.6585.56.06.55.16.55.35.95.55.8625.45.05.06.86.05.05.76.05.5686.06.35.55.06.35.26.07.06.4645.85.95.76.86.66.06.45.77.4605.

7、46.56.06.85.86.36.06.35.6536.45.76.76.25.66.06.76.76.0566.26.15.36.26.86.64.75.75.7585.37.06.06.05.95.46.05.26.0635.76.86.14.55.66.36.05.86.3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表,繪制出頻率分布直方圖,并預計在這塊試驗田里長度在5.756.35 cm之間的麥穗所占的百分比知識點二 頻率分布直方圖的應用例題2：為了了解高一年級學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),圖中從左到右各小矩形的面積之比為24

8、171593,第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標,則該校全體高一年級學生的達標率是多少？知識點三 百分位數(shù)的計算1第p百分位數(shù)的定義一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值2計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù)第2步,計算inp%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)例題3 .從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)

9、品中,任意抽取12顆珍珠,得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：79,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,75,95百分位數(shù)(2)請你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品,依照這個樣本的數(shù)據(jù),給出該公司珍珠等級的劃分標準知識點四 百分位數(shù)的綜合應用四分位數(shù)25%,50%,75%這三個分位數(shù)把一組數(shù)據(jù)由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù)例題4某市為了鼓勵市民節(jié)約用電,實行“階梯式”電價,將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔,

10、月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費,超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費,超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費(1)求某戶居民用電費用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時)的函數(shù)解析式(2)為了了解居民的用電情況,通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖若這100戶居民中,今年1月份用電費用不超過260元的占80%,求a,b的值(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的75%分位數(shù)知識點五 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(2)中

11、位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于中間位置的數(shù)如果個數(shù)是偶數(shù),則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)例題5.已知10名工人生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,設其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有()AabcBacbCcab Dcba知識點六 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實際應用眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息,對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后

12、的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分,對極端值不敏感例題6.下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表：老板大廚二廚采購員雜工服務生會計3 000元450元350元400元320元320元410元(1)計算所有人員的周平均收入；(2)這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板的收入后,再計算平均收入,這能代表打工人員的周收入的水平嗎？知識點七 根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積

13、的乘積之和近似代替(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應的數(shù)據(jù)例題7.某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生,其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示(1)求這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)知識點八 方差和標準差的計算一組數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差和標準差數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差為,標準差為.2總體方差和標準差(1)總體方差和標準差：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,YN,總體的平均數(shù)為,則稱S2為總體方差,S為總體標準差(2)總體方差的加權(quán)形式：如果總體的N個

14、變量值中,不同的值共有k(kN)個,不妨記為Y1,Y2,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i1,2,k),則總體方差為S2.3樣本方差和標準差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,yn,樣本平均數(shù)為,則稱s2為樣本方差,s為樣本標準差例題8.甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件,為檢驗質(zhì)量,各從中抽取6件測量,數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定知識點九 分層隨機抽樣的方差分層隨機抽樣的方差設樣本容量為n,平均數(shù)為,其中兩層的個體數(shù)量分別為n1,n2,兩

15、層的平均數(shù)分別為1,2,方差分別為s,s,則這個樣本的方差為s2s(1)2s(2)2例題9.甲、乙兩支田徑隊體檢結(jié)果為：甲隊的體重的平均數(shù)為60 kg,方差為200,乙隊體重的平均數(shù)為70 kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為14,那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么？知識點十 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應用標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度,標準差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小例題10.某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽,對甲、乙兩名跳高運動員進行了8次選拔比賽,他們的成績(單位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.經(jīng)預測,跳高1.65 m就很可能獲得冠軍該校為了獲取冠軍,可能選哪位選手參賽？若預測跳高1.70 m方可獲得冠軍呢？五 易錯點分析易錯一 畫頻率直方圖例題11.如表所示給出了在某校500名12歲男孩中,用隨機抽樣得出的120人的身高(單位：cm)區(qū)間界限122,126)126,130)130,134)134,1