【新整理】三角形“四心”向量形式的結(jié)論及證明(附練習(xí)答案)_PDF密碼解除

1、三角形“四心 ”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后,學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：一 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;若 O 是 ABC 的重心,則S1BOC S S S AOC AOBBOC S S S3ABC故 OA OB OC 0 ;1( )PG PA PB PC G 為 ABC 的重心.32）O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心,則 S S S tan A tan B tan CBOC ：

2、 ： ： ：AOC AOB故tan AOA tan BOB tan COC 03）O 是 ABC 的外心 |OA | | OB | | OC | (或若 O 是 ABC 的外心2 2 2OA OB OC )則S S S sin BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B : sin2CBOC： ： ： ：AO C AO B故sin2AOA sin 2BOB sin2COC 04）O 是內(nèi)心 ABC 的充要條件是OA (|ABAB|ACAC) OB (|BABA|BCBC)|OC(|CACA|CBCB)|0引進(jìn)單位向量,使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記 AB, BC,CA 的單位

3、向量為e ,則剛才 O 是1 ,e ,e2 3ABC 內(nèi)心的充要條件可以寫成： O A (e e ) O B (e e ) O C (e e ) 01 3 1 2 2 3O 是 ABC 內(nèi)心的充要條件也可以是 aOA bOB cOC 0若 O 是 ABC 的內(nèi)心,則 S S S a b cBOC ： ： ： ：AOC AO BA故 aO A bOB cO C 0或sinAOA sinBOB sinCOC 0;e1| AB | PC |BC | PA |CA| PB 0 P ABC 的內(nèi)心;e2AB AC向量 ( )( 0)| AB | | AC |線所在直線 ) ；所在直線過(guò) ABC 的內(nèi)心(

4、 是 BAC 的角平分BC二 范例(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查P例 1O 是平面上的一定點(diǎn), A,B,C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) PAB AC滿足OP OA ( ) , 0, 則 P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò) ABC 的（ ）AB AC（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心AB解析：因?yàn)槭窍蛄?AB 的單位向量設(shè) AB 與 AC 方向上的單位向量分別為ABe1和 e ,又2OP OA AP ,則原式可化為 AP (e1 e2 ) ,由菱形的基本性質(zhì)知 AP 平分 BAC ,那么在ABC 中,AP 平分 BAC ,則知選 B.AB點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生” ,首先 是什么？

5、沒(méi)見(jiàn)過(guò)！想想,一個(gè)非零AB向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí),如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等,若十分熟悉,又能迅速地將它們遷移到一起,解這道題一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查 “垂心定理”例 2 H 是ABC 所在平面內(nèi)任一點(diǎn), HA HB HB HC HC HA 點(diǎn) H 是ABC 的垂心.由HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB ,HA BC .故 H 是ABC 的垂心. （反之亦然（證略） ）例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一點(diǎn),若 PA P

6、B PB PC PC PA,則 P 是ABC 的（D ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 .即PB (PA PC) 0,即PB CA 0則 PB CA,同理PA BC, PC AB所以 P為 ABC 的垂心. 故選 D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算,及 “數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直 ”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及 “數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直 ”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且2HA2BC2HB2CA2HC2AB則點(diǎn) H是ABC的垂心2 2 2 2 證明: HA

7、 HB CA BCA( HA HB) BA (CA CB) BA得( HA HB CA CB) BA 0H即( HC HC) BA 0BC圖 6AB HC同理 AC HB , BC HA故H是ABC的垂心(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查 “重心定理”例 4 G 是ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn), GA GB GC =0 點(diǎn) G 是ABC 的重心.證明 作圖如右,圖中 GB GC GE 連結(jié) BE 和 CE,則CE=GB,BE=GC BGCE 為平行四邊形 D 是 BC 的中點(diǎn),AD 為BC 邊上的中線 .將GB GC GE 代入GA GB GC =0,得GA EG =0 GA GE 2GD ,故

8、G 是ABC 的重心.（反之亦然（證略） ）1例 5 P 是ABC 所在平面內(nèi)任一點(diǎn) .G 是ABC 的重心 PG ( ) . PA PB PC3證明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)AG 是ABC 的重心GA GB GC =0 AG BG CG =0,即3PG PA PB PCO1由此可得 PG ( ) .（反之亦然（證略） ）PA PB PC3BECD 例 6 若O 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn),OA OB OC 0 ,則O 是 ABC 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由 OA OB OC 0得OB OC OA ,如圖以 OB、

9、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形,則OB OC OD ,由平行四邊形性質(zhì)知1OE OD ,OA 2 OE ,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì),2所以是重心,選 D。點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí), 平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)： 重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn),所分這比為21。本題在解題的過(guò)程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相 關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式： 已知 D,E,F 分別為 ABC 的邊BC,A C,AB 的中點(diǎn)則 AD BE CF 0 證明：ADBECF3 23232GAGBGCAD BE CF32(GAGBGC)GA GB GC 0AD BE CF

10、0 變式引申： 如圖 4,平行四邊形 ABCD 的中心為 O ,P 為該平面上任意一點(diǎn),則 1 ( ) PO PA PB PC PD 4證明：1PO (PA PC ) ,21PO PB PD ,( )21PO PA PB PC PD ( ) 4點(diǎn)評(píng)：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則,證法 2 運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則 （2）若P 與O 重合,則上式變 OA OB OC OD 0(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例 7 若O 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn), OA OB OC ,則O 是 ABC 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定義知 O到 ABC 的三頂點(diǎn)距離相等。故 O

11、 是 ABC 的外心 ,選 B。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8已知向量OP ,OP2 ,OP3 滿足條件 O P1 +OP2 +OP3 =0,|OP1 |=|OP2 |=|OP3 |=1,1求證 P1P2P3 是正三角形 .（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下） ,溫習(xí)參考題五 B 組第 6題）證明 由已知 OP1 +O P2 =- OP3 ,兩邊平方得 O P1 OP2 =12,同理 OP2 OP3 = OP3 O P1 =12,| P1P2 |=|P2P3 |=|P3P1 |= 3 ,從而P1P2P3 是正三角形 .反之,若點(diǎn)

12、 O 是正三角形 P1P2P3 的中心,則顯然有 OP1 +OP2 +OP3 =0 且|OP1 |=|OP2 |=|OP3 |.即 O 是ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn),OP +OP2 + OP3 =0 且|O P1 |=|O P2 |=|OP3 | 點(diǎn) O 是正P1P2P3 的中心.1例 9在ABC中,已知 Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： Q、G、H三點(diǎn)共線,且 QG:GH=1:2。 【證明】：以 A為原點(diǎn),AB所在的直線為 x 軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。 設(shè) A(0,0) 、B（x1,0 ）、C(x2,y 2) ,D、E、F 分別為 A B、B C、AC的中點(diǎn),則有：x x

13、x y x y1 ,0) ( 1 2 , 2 ) ( 2 , 2 )E FD（ 、 、2 2 2 2 2由題設(shè)可設(shè)x1Q（ , y )、H (x , y ),3 2 42Gx x y1 2 2( , )3 3yC(x 2,y2)x x y2 1 2AH (x , y ),QF ( , y )2 4 32 2 2BC (x x ,y )2 1 2AH BCAH BC x (x x ) y y 0 2 2 1 2 4F HEGQ xA D B( x1,0y4x (x x )2 2 1y2QF ACx x y2 1 2QF AC x ( ) y ( y ) 02 2 32 2 2y3x (x x )

14、 y2 2 1 22y 22x 2x x 3x (x x ) y1 2 1 2 2 1 2QH (x , y y ) , )（ 2 4 32 2 2y 22x x x y 2x x y x ( x x ) y2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2QG ( , y ) , )（33 2 3 6 3 2y 222x x 3x (x x ) y 1 2x x 3x (x x ) y2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , )6 6y 6 3 2 2y 22 2=13QH即QH =3QG ,故 Q、G、H三點(diǎn)共線,且 Q G：GH=1：2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量

15、的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理,都相當(dāng)麻煩,而借用向量的坐標(biāo)形式,將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算,這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起,從而,很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問(wèn)題的證明,都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例 10若 O、H 分別是ABC 的外心和垂心 .求證 OH OA OB OC .證明 若ABC 的垂心為 H,外心為 O,如圖.連 BO 并延長(zhǎng)交外接圓于 D,連結(jié) AD,CD. AD AB,CD BC .又垂心為 H,AH BC ,CH AB , AHCD,CHAD,四邊形 AHCD 為平行四邊形, AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“歐拉定理”

16、講的是銳角三角形的“三心” 外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線” ； （2）三角形的重心在“歐拉線”上,且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn),即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2 倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單,可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題 .例 11 設(shè) O、G、H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心 .1求證 OG OH31證明 按重心定理 G 是ABC 的重心 ( )OG OA OB OC3按垂心定理 OH OA OB OC1 . 由此可得 OG OH3三、與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例 1：（2003 年全國(guó)高考題） O 是平面上一

17、定點(diǎn), A、B、C 是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P 滿足AB ACOP OA ( ), 0, ,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡一定通過(guò) ABC的（ ）AB ACA F （A）外心 （B）內(nèi)心E C （C）重心 （D）垂心TAB事實(shí)上如圖設(shè) ,AEACAF 都是單位向量BAB AC易知四邊形 AETF是菱形 故選參考答案 B例 2：（2005 年北京市東城區(qū)高三模擬題） O 為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),如果 OA OB OB OC OC OA,則 O必為 ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上 OA OB OB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OBCA 故選參考答案

18、D例 3：已知 O 為三角形 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足2 2 2 2 2 2OA BC OB CA OC AB ,則點(diǎn) O 是三角形 ABC 的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實(shí)上由條件可推出 OA OB OB OC OC OA 故選參考答案 D例 4：設(shè) O是平面上一定點(diǎn), A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),AB AC動(dòng)點(diǎn) P 滿足 OP ) , 0, ,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡一定通過(guò) ABC的（ ）OA (AB cos B AC cos C（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心AB AC事實(shí)上 ( ) BC ( BC BC) 0AB cosB AC cosC故

19、選參考答案 D例 5 ：2005 年全 國(guó) （I ） 卷第 15 題 “ ABC 的 外接圓 的圓 心 為 O , 兩條 邊 上的高 的 交點(diǎn) 為 H ,OH m(OA OB OC),則實(shí)數(shù) m =_”先解決該題：作直經(jīng) BD ,連 DA ,DC , 有OB OD ,DA AB , DC BC ,AH BC ,CH AB ,故 CH / DA , AH / DC故 AHCD 是 平 行 四 邊 形 , 進(jìn) 而 AH DC , 又D C O C O D O C OOH OA AH OA DC圖 3故OH OA OB OC,所以 m 1評(píng)注：外心的向量表示可以完善為：若O 為 ABC 的外心, H

20、 為垂心,則 OH OA OB OC。其逆命題也成立。例 6已知向量 OP1 ,OP2 , O P3 滿足條件 OP1 + OP2 + OP3 =0,| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1,求證： P1P2P3是正三角形 .（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下） ,溫習(xí)參考題五 B 組第 6 題）證明： 由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ,兩邊平方得 OP1 O P2 =12,同理 OP2 OP3 = OP3 OP1 =12, |P1P2 |=| P2P3 |=| P3 P1 |= 3 ,從而 P1P2P3 是正三角形 .反之,若點(diǎn) O 是正三角形 P1P2P3 的中心,則顯然有 O P1 +

21、 OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |,即 O 是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),OP + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 | 點(diǎn) O 是正 P1P2P3的中心 .1四、練習(xí)11已知 A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),O是三角形 ABC的重心,動(dòng)點(diǎn) P滿足 OP = (312OA +12OB +2OC ),則點(diǎn) P一定為三角形 ABC的( B)A. AB邊中線的中點(diǎn) B. AB邊中線的三等分點(diǎn) ( 非重心) C. 重心 D. AB邊的中點(diǎn)分析：取 AB邊的中點(diǎn) M,則OA OB 2OM ,1由OP = (312OA + 1 2O

22、B +2OC ) 可得 3OP 3OM 2MC , 2MP MC ,即點(diǎn) P為三角形中 AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn),且點(diǎn) P不過(guò)重心。32在同一個(gè)平面上有 ABC及一點(diǎn) 滿足關(guān)系式： OA2+BC 2=OB 2+CA 2OC 2AB 2,則為ABC的( D )A.外心 B.內(nèi)心 C重心 D垂心3已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn) P滿足： PA PB PC 0 ,則 P為ABC的( C )A.外心 B. 內(nèi)心 C重心 D垂心4已知 O是平面上一定點(diǎn), A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P滿足：OP OA AB AC ,則 P的軌跡一定通過(guò) ABC的( C )( )A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D垂心5已知ABC,P 為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn),且滿足： PA PC PA PB PB PC 0 ,則 P 點(diǎn)為三角形的 ( D )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn),且點(diǎn) P滿足： a PA b PB c PC 0 ,則 P點(diǎn)為三角