教什么和怎樣教同樣重要 演示文稿定稿_席爭光

1、教什么和怎樣教同樣重要教什么和怎樣教同樣重要 以用字母表示數(shù)為例 河南省洛陽市吉利區(qū)白坡小學(xué) 席爭光 為什么這么多老師對為什么這么多老師對用字用字 母表示數(shù)母表示數(shù)一課情有獨(dú)鐘？一課情有獨(dú)鐘？ 在小學(xué)從算術(shù)到代數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個在小學(xué)從算術(shù)到代數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個 轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是認(rèn)識過程的一次點(diǎn)，也是認(rèn)識過程的一次飛躍飛躍。學(xué)生學(xué)會了。學(xué)生學(xué)會了 用字母表示數(shù)，可以表達(dá)更加普遍意義的數(shù)量關(guān)用字母表示數(shù)，可以表達(dá)更加普遍意義的數(shù)量關(guān) 系，鞏固、加深理解所學(xué)的一些算術(shù)知識，有助系，鞏固、加深理解所學(xué)的一些算術(shù)知識，有助 于發(fā)展抽象思維能力。有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)的于發(fā)展抽象思維能力。有利于加

2、強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)的 銜接，初步滲透代數(shù)的思想。銜接，初步滲透代數(shù)的思想。-小學(xué)數(shù)學(xué)教小學(xué)數(shù)學(xué)教 學(xué)探索學(xué)探索梁秋蓮梁秋蓮 為什么這么多老師對為什么這么多老師對用字母表用字母表 示數(shù)示數(shù)一課情有獨(dú)鐘？一課情有獨(dú)鐘？ n用字母表示數(shù)是算術(shù)發(fā)展到代數(shù)的用字母表示數(shù)是算術(shù)發(fā)展到代數(shù)的 一個基本特征，是人類認(rèn)識上的一一個基本特征，是人類認(rèn)識上的一 個個重大飛躍重大飛躍。理解用字母表示數(shù)的。理解用字母表示數(shù)的 意義，是代數(shù)學(xué)習(xí)的意義，是代數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵關(guān)鍵，因?yàn)樗?，因?yàn)樗?是運(yùn)用代數(shù)式、方程、不等式、函是運(yùn)用代數(shù)式、方程、不等式、函 數(shù)等，進(jìn)行交流的數(shù)等，進(jìn)行交流的前提條件前提條件。- 新課標(biāo)與新課標(biāo)與“數(shù)學(xué)教

3、學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容” 為什么這么多老師對為什么這么多老師對用字母用字母 表示數(shù)表示數(shù)一課情有獨(dú)鐘？一課情有獨(dú)鐘？ n因?yàn)橛米帜副硎緮?shù)是小學(xué)數(shù) 學(xué)教材中的核心概念。 n在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從算術(shù)到代數(shù) 是人們對客觀現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān) 系的認(rèn)識上的一個飛躍。數(shù)學(xué) 教學(xué)參考西師版 核心詞： n轉(zhuǎn)折點(diǎn)、飛躍。轉(zhuǎn)折點(diǎn)、飛躍。 n重大飛躍、關(guān)鍵、前提條重大飛躍、關(guān)鍵、前提條 件。件。 n核心概念。核心概念。 n飛躍。飛躍。 教什么？ n教知識。 n教什么知識？ n教數(shù)學(xué)知識。 n教什么樣的數(shù)學(xué)知識？（我很困惑 也很迷茫。） n因?yàn)橹挥袛?shù)字和算術(shù)已經(jīng)不夠了。 n從自然數(shù)說起。自然數(shù)：一切等等 價價的有限集合有限集

4、合的標(biāo)記標(biāo)記。7是一切 具有7個元素的等價類集合的標(biāo) 志。自然數(shù)抽象、概括的描述著 我們生活的世界。這是人類發(fā)展 歷史上的第一次抽象和概括。 為什么要用字母表示數(shù)？ n隨著人們對客觀世界認(rèn)識的不斷加 深，人們逐步的意識到當(dāng)一個集合 中元素個數(shù)不知道，或者集合中元 素個數(shù)在不斷變化時，原來自然數(shù) 就不能表達(dá)和刻畫，這是我們就需 要有新的符號。這是人類歷史上的 第二次抽象和概括。 為什么要用字母表示數(shù)？ 對教學(xué)的啟示： n如何才能夠讓學(xué)生感受到原有的數(shù) 已經(jīng)不夠用了呢？ n如何實(shí)現(xiàn)字母與數(shù)的銜接呢？ 用字母表示數(shù)的內(nèi)涵是什么？ n字母表示數(shù)是一個非常豐富而又字母表示數(shù)是一個非常豐富而又 “難產(chǎn)難產(chǎn)

5、”的概念，遠(yuǎn)非我們想象的概念，遠(yuǎn)非我們想象 的那么簡單。人類從用符號表示的那么簡單。人類從用符號表示 “特定的數(shù)特定的數(shù)”，發(fā)展到有意識的，發(fā)展到有意識的， 系統(tǒng)的用字母表示數(shù)，經(jīng)歷了系統(tǒng)的用字母表示數(shù)，經(jīng)歷了 12001200年。年。 用字母表示數(shù)的內(nèi)涵是什么？ n字母有豐富的特性：它可以是已字母有豐富的特性：它可以是已 知數(shù)、可以是未知數(shù)，也可以是知數(shù)、可以是未知數(shù)，也可以是 變化的數(shù)，它可以表示具體意義變化的數(shù)，它可以表示具體意義 的數(shù)，也可以表示一般意義的數(shù)。的數(shù)，也可以表示一般意義的數(shù)。 n含有字母的式子不僅可以表示數(shù)含有字母的式子不僅可以表示數(shù) 量，還可以表示兩個數(shù)量之間的量，還可

6、以表示兩個數(shù)量之間的 關(guān)系。關(guān)系。 用字母表示數(shù)的內(nèi)涵是什么？ n含有字母的式子不僅可以表示相等關(guān)系，含有字母的式子不僅可以表示相等關(guān)系， 還可以表示不相等的關(guān)系，既可以表示還可以表示不相等的關(guān)系，既可以表示 運(yùn)算定律還可以表示計(jì)算公式。運(yùn)算定律還可以表示計(jì)算公式。 n更為一般地說含有字母的式子是一個數(shù)更為一般地說含有字母的式子是一個數(shù) 學(xué)模型，它是用來刻畫和描述生活中的學(xué)模型，它是用來刻畫和描述生活中的 規(guī)律。從這個層面來分析，代數(shù)式的本規(guī)律。從這個層面來分析，代數(shù)式的本 質(zhì)是：它表示了一個規(guī)律。質(zhì)是：它表示了一個規(guī)律。 如此豐富的內(nèi)涵對教學(xué)有什么 啟示？ n用字母表示數(shù)的內(nèi)容不是一課時就用

7、字母表示數(shù)的內(nèi)容不是一課時就 可以進(jìn)行完的。可以進(jìn)行完的。 n我們應(yīng)該分層次的來進(jìn)行教學(xué)。西我們應(yīng)該分層次的來進(jìn)行教學(xué)。西 師版四課時。人教版四課時。師版四課時。人教版四課時。 n用字母表示數(shù)最最重要、最最關(guān)鍵，用字母表示數(shù)最最重要、最最關(guān)鍵， 能夠?qū)W(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展的地能夠?qū)W(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展的地 方究竟在哪里呢？方究竟在哪里呢？ 用字母表示數(shù)的歷史是怎樣的？ n代數(shù)學(xué)符號發(fā)展的歷史，可分為三代數(shù)學(xué)符號發(fā)展的歷史，可分為三 個階段。第一個階段為三世紀(jì)之前，個階段。第一個階段為三世紀(jì)之前， 對問題的解不用縮寫和符號，而是對問題的解不用縮寫和符號，而是 寫成一篇論文，稱為文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)。寫成

8、一篇論文，稱為文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)。 第二個階段為三世紀(jì)至第二個階段為三世紀(jì)至1616世紀(jì)，對世紀(jì)，對 某些較常出現(xiàn)的量和運(yùn)算采用了縮某些較常出現(xiàn)的量和運(yùn)算采用了縮 寫的方法，稱為簡化代數(shù)。三世紀(jì)寫的方法，稱為簡化代數(shù)。三世紀(jì) 的的丟番圖丟番圖的杰出貢獻(xiàn)之一，就是把的杰出貢獻(xiàn)之一，就是把 希臘代數(shù)學(xué)簡化，開創(chuàng)了簡化代數(shù)。希臘代數(shù)學(xué)簡化，開創(chuàng)了簡化代數(shù)。 n然而此后文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)，在除了印度然而此后文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)，在除了印度 以外的世界其它地方，還十分普通地以外的世界其它地方，還十分普通地 存在了好幾百年，尤其在西歐一直到存在了好幾百年，尤其在西歐一直到 1515世紀(jì)。第三個階段為世紀(jì)。第三個階段為1616

9、世紀(jì)以后，世紀(jì)以后， 對問題的解多半表現(xiàn)為由符號組成的對問題的解多半表現(xiàn)為由符號組成的 數(shù)學(xué)速記，這些符號與所表現(xiàn)的內(nèi)容數(shù)學(xué)速記，這些符號與所表現(xiàn)的內(nèi)容 沒有什么明顯的聯(lián)系，稱為符號代數(shù)。沒有什么明顯的聯(lián)系，稱為符號代數(shù)。 1616世紀(jì)世紀(jì)韋達(dá)韋達(dá)的名著的名著分析方法入門分析方法入門， 對符號代數(shù)的發(fā)展有不少貢獻(xiàn)。對符號代數(shù)的發(fā)展有不少貢獻(xiàn)。1616世世 紀(jì)末，維葉特開創(chuàng)符號代數(shù)，經(jīng)紀(jì)末，維葉特開創(chuàng)符號代數(shù)，經(jīng)笛卡笛卡 爾爾改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式。改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式。 回顧歷史 n三世紀(jì)之前：文字?jǐn)⑹龅姆绞?。三世紀(jì)之前：文字?jǐn)⑹龅姆绞健?n三世紀(jì)（三世紀(jì)（17001700年前）丟番圖年前）丟番

10、圖算術(shù)算術(shù) 中，首次用符號來表示未知數(shù)。中，首次用符號來表示未知數(shù)。 n7 7世紀(jì)。印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多用顏世紀(jì)。印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多用顏 色的名稱來表示未知數(shù)。色的名稱來表示未知數(shù)。 n1515世紀(jì)。韋達(dá)（世紀(jì)。韋達(dá)（1540-16031540-1603）有意）有意 識、系統(tǒng)的使用字母表示數(shù)，從而識、系統(tǒng)的使用字母表示數(shù)，從而 使代數(shù)的性質(zhì)發(fā)生了變化。使代數(shù)的性質(zhì)發(fā)生了變化。 n16371637年，笛卡爾（年，笛卡爾（1569-16501569-1650）在韋達(dá)創(chuàng)用）在韋達(dá)創(chuàng)用 符號代表數(shù)的基礎(chǔ)上，引進(jìn)了本質(zhì)上可以代符號代表數(shù)的基礎(chǔ)上，引進(jìn)了本質(zhì)上可以代 表任何一種量的符號體系。表任何一種量

11、的符號體系。 n16731673年荷蘭數(shù)學(xué)家赫德提出字母不僅可以表年荷蘭數(shù)學(xué)家赫德提出字母不僅可以表 示正數(shù)又可以表示負(fù)數(shù)。從此，一套完備的示正數(shù)又可以表示負(fù)數(shù)。從此，一套完備的 符號體系建立起來了。由此數(shù)學(xué)在表達(dá)方法、符號體系建立起來了。由此數(shù)學(xué)在表達(dá)方法、 解題思想和研究方法方面都發(fā)生了深刻的變解題思想和研究方法方面都發(fā)生了深刻的變 化，大大的前進(jìn)了一步?；?，大大的前進(jìn)了一步。 回顧歷史 給我的啟示 n數(shù)學(xué)的又一特征是具有自己特殊數(shù)學(xué)的又一特征是具有自己特殊 的符號語言。這既包括最簡單的的符號語言。這既包括最簡單的 數(shù)字符號，也包括由現(xiàn)代的數(shù)理數(shù)字符號，也包括由現(xiàn)代的數(shù)理 邏輯研究所發(fā)展起

12、來的完整的符邏輯研究所發(fā)展起來的完整的符 號系統(tǒng)。號系統(tǒng)。數(shù)學(xué)教育哲學(xué)數(shù)學(xué)教育哲學(xué)鄭毓鄭毓 信信 給我的啟示 n符號語言的學(xué)習(xí)應(yīng)該是本節(jié)課教符號語言的學(xué)習(xí)應(yīng)該是本節(jié)課教 學(xué)的一個重要內(nèi)容，了解用字母學(xué)的一個重要內(nèi)容，了解用字母 表示數(shù)的歷史可以使學(xué)生對這一表示數(shù)的歷史可以使學(xué)生對這一 部分的知識有更深的認(rèn)識。部分的知識有更深的認(rèn)識。 n 對字母意義的反復(fù)理解和體驗(yàn)對字母意義的反復(fù)理解和體驗(yàn) 也應(yīng)是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。也應(yīng)是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。 算術(shù)與代數(shù)有什么區(qū)別？ n算術(shù)是數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)是算術(shù)是數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)是“式式” 的運(yùn)算。這是一個根本差別，是的運(yùn)算。這是一個根本差別，是 學(xué)生從算術(shù)向代數(shù)的

13、一次飛躍。學(xué)生從算術(shù)向代數(shù)的一次飛躍。 實(shí)際上，用文字代表數(shù)只是表面實(shí)際上，用文字代表數(shù)只是表面 現(xiàn)象，根本內(nèi)涵是現(xiàn)象，根本內(nèi)涵是“未知數(shù)的符未知數(shù)的符 號號x x可以和數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)可以和數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn) 算算”。小學(xué)數(shù)學(xué)研究小學(xué)數(shù)學(xué)研究張奠宙張奠宙 算術(shù)與代數(shù)有什么區(qū)別？ n算術(shù)有兩種含義，一種是從中國傳下算術(shù)有兩種含義，一種是從中國傳下 來的，相當(dāng)于一般所說的來的，相當(dāng)于一般所說的“數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”， 如如九章算術(shù)九章算術(shù)等。另一種是從歐洲等。另一種是從歐洲 數(shù)學(xué)翻譯過來的，源自希臘語，有數(shù)學(xué)翻譯過來的，源自希臘語，有 “計(jì)算技術(shù)計(jì)算技術(shù)”之意。作為現(xiàn)代小學(xué)課之意。作為現(xiàn)代小學(xué)課 程內(nèi)容的算

14、術(shù)，主要講的是自然數(shù)、程內(nèi)容的算術(shù)，主要講的是自然數(shù)、 正分?jǐn)?shù)以及它們的四則運(yùn)算，并通過正分?jǐn)?shù)以及它們的四則運(yùn)算，并通過 由計(jì)數(shù)和度量而引起的一些最簡單的由計(jì)數(shù)和度量而引起的一些最簡單的 應(yīng)用題加以鞏固。應(yīng)用題加以鞏固。 n作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的 初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程 理論。理論。 n代數(shù)與算術(shù)不同，主要區(qū)別在代數(shù)與算術(shù)不同，主要區(qū)別在 于代數(shù)要引入未知數(shù)，根據(jù)問于代數(shù)要引入未知數(shù)，根據(jù)問 題的條件列出方程，然后解方題的條件列出方程，然后解方 程求未知數(shù)。程求未知數(shù)。 算術(shù)與代數(shù)有什么區(qū)別？ 算術(shù)與代數(shù)有什么區(qū)別？ n韋達(dá)認(rèn)為代數(shù)是

15、韋達(dá)認(rèn)為代數(shù)是“類的算術(shù)類的算術(shù)”，把算，把算 術(shù)和代數(shù)加以區(qū)別。同時規(guī)定了算術(shù)術(shù)和代數(shù)加以區(qū)別。同時規(guī)定了算術(shù) 與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于 事物的類或形式，算術(shù)運(yùn)算實(shí)施于具事物的類或形式，算術(shù)運(yùn)算實(shí)施于具 體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類 型的形式和方程的學(xué)問，因而抽象并型的形式和方程的學(xué)問，因而抽象并 且應(yīng)用的更加廣泛。因此，韋達(dá)被西且應(yīng)用的更加廣泛。因此，韋達(dá)被西 方稱為方稱為“代數(shù)學(xué)之父代數(shù)學(xué)之父”。 新的感受和體會 n字母表示數(shù)最最重要和關(guān)鍵的地字母表示數(shù)最最重要和關(guān)鍵的地 方有兩點(diǎn)：其一是表示變化的數(shù)方有兩點(diǎn)：其

16、一是表示變化的數(shù) 以及未知數(shù)的思想，其二是含有以及未知數(shù)的思想，其二是含有 字母的式子不僅可以表示一個數(shù)字母的式子不僅可以表示一個數(shù) 量，還可以表示兩個數(shù)量之間的量，還可以表示兩個數(shù)量之間的 關(guān)系。這也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)方關(guān)系。這也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)方 程的關(guān)鍵所在。程的關(guān)鍵所在。 教什么？ n我的教學(xué)目標(biāo)： n知識與技能：知道字母可以表示一個變化的數(shù)，知道 字母可以表示一個未知數(shù)，知道含有字母的式子不僅 可以表示一個數(shù)量還可以表示數(shù)量關(guān)系。 n過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變 化規(guī)律，并能夠用字母（式）表示，發(fā)展學(xué)生的符號 感和函數(shù)思想，具有初步的代數(shù)思想。 n情感態(tài)度和價值觀。在

17、學(xué)習(xí)的過程中，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用 的廣泛性，感受數(shù)學(xué)的簡潔美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探索的艱辛 和成功后的精神愉悅。 劉加霞老師給我“潑”的冷水。 n“青蛙歌”教學(xué)的尷尬-關(guān)于學(xué)生對用字母 表示數(shù)理解水平的過程研究（小學(xué)教學(xué) 2007、5-6期）一文中指出：這節(jié)課教學(xué)的尷 尬在于：更多的學(xué)生，即使學(xué)了還是不能達(dá) 到高水平，而能夠達(dá)到高水平的又不是老師 教的結(jié)果。 n而這里的高水平參照的是英國csms小組的研 究。該研究認(rèn)為學(xué)生對用字母表示數(shù)的理解 有6種層次： n給字母附值。當(dāng)學(xué)生看到一個字母以后 他們主動地賦予字母一個特定的值。 n忽略字母的意義。對字母不予考慮；根 本忽視字母的存在，或雖然承認(rèn)它的存 在，但不

18、賦予意義。 n把字母當(dāng)做物體。 n把字母當(dāng)成特定的未知量。 n把字母當(dāng)成廣義的數(shù)。 n把字母當(dāng)成變量。 劉加霞老師給我“潑”的冷水。 n劉加霞老師的結(jié)論： 1、學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的理解水平基本處 于CSMS所提出的第二和第三種水平。 2、學(xué)生的理解過程十分復(fù)雜，常常是有時能達(dá) 到高水平的理解但有時又降到低水平，是 “一會明白，過一會兒又糊涂”的混沌狀態(tài)。 3、不同學(xué)生之間理解水平的差異非常大。 4、“用字母表示數(shù)”是一個“核心概念”，學(xué) 生的理解不可能一次到位。 劉加霞老師給我“潑”的冷水。 冷靜之后的細(xì)心思考： n用字母表示數(shù)不是那么簡單的。尤其是對字 母表示變量的理解。字母式表示數(shù)量和

19、數(shù)量 關(guān)系的理解。 n是什么影響了學(xué)生對用字母表示數(shù)的理解水 平？用什么樣的方式才能夠提升學(xué)生對用字 母表示數(shù)的理解水平呢？ n什么樣的練習(xí)能夠真正考察學(xué)生對“用字母 表示數(shù)”的理解水平呢？是否我們能在短時 期內(nèi)避免學(xué)生理解上的反復(fù)呢？ 給老師們的測試 n張桌子可以做（ ）人。 a個正方形要（ ）根小棒。 給老師們的測試 n結(jié)論：發(fā)現(xiàn)規(guī)律并不困難，真正困難的 地方在于如何用一個含有字母的式子表 示這個規(guī)律。也就是說描述和刻畫這個 規(guī)律的能力是有差別的。 n啟示：我們的課堂教學(xué)應(yīng)充分的讓學(xué)生 經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律、描述規(guī)律、利用規(guī)律的 過程。尤其是對規(guī)律描述過程的關(guān)注。 這也正是用字母表示數(shù)的重點(diǎn)和關(guān)鍵

20、所 在。 對學(xué)生的課前測試 n請你用含有字母的式子填空。 1、有20千克面粉，每天吃x千克，這些面粉夠吃（ ） 天。 2、爸爸買了5千克梨，花了m元，每千克梨（ ） 元。 3、師傅每天做b件衣服，比徒弟多做a件，徒弟每天 做（ ）件。 4、媽媽拿50元，買了一本新華字典花了n元， 還剩（ ）元。 5、果園里有蘋果樹y棵，杏樹比蘋果樹的2倍多3棵， 杏樹有（ ）棵。 對學(xué)生的課前測試 n測試結(jié)果：五年級正確率84%，六年級正確率 93.6%，四年級正確率73%。 n分析（1）四、五年級學(xué)生的確是把字母看成 一個物體，或者賦予字母一個值。說明學(xué)生對 用字母表示數(shù)的理解是在一個較低水平上。 （2）正

21、確率高的原因是因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)過多年的 算術(shù)學(xué)習(xí)對這些數(shù)量關(guān)系十分熟悉?，F(xiàn)在的唯 一差別是數(shù)與字母。而學(xué)生明顯的是把字母看 成了數(shù)。（3）在上用字母表示數(shù)時如果出這 樣的練習(xí)，是不能有效地檢測學(xué)生對用字母表 示數(shù)的理解水平的。 我重新確定教學(xué)目標(biāo)： n知識與技能：體會字母可以表示一個變化的 數(shù)，體會字母可以表示一個未知數(shù)，感受含 有字母的式子不僅可以表示一個數(shù)量還可以 表示數(shù)量關(guān)系。 n過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)量 關(guān)系和變化規(guī)律，并能夠用字母（式）表示， 發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，發(fā)展學(xué)生的符號 感和函數(shù)思想，具有初步的代數(shù)思想。 n情感態(tài)度和價值觀。在學(xué)習(xí)的過程中，感受 數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，感受數(shù)