(新課標)高考數(shù)學一輪復習第十二章算法初步、推理與證明12.3合情推理與演繹推理習題理

1、12.3 合情推理與演繹推理1兩種基本的推理推理一般包括 和兩類2合情推理(1) 歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理簡言之，歸納推理是由 到整體、由 到一般的推理(2) 類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理簡言之 ，類比推理是由 到的推理(3) 合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行 、 ，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理3演繹推理(1) 演繹推理：從一般性的原理

2、出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理簡言之，演繹推理是由 到 的推理(2) “ ”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.“三段論”可以表示為：大前提：m是p.小前提： s 是 m.結(jié)論： s 是 p.自查自糾1合情推理演繹推理2 (1) 部分個別(2) 特殊特殊(3) 歸納 類比3 (1) 一般特殊(2) 三段論卜列說法正確的是d.關(guān)于歸納推理，下列說法正確的是()a.歸納推理是由一般到一般的推理b.歸納推理是由一般到特殊的推理c.歸納推理的結(jié)論-一定是正確的d.歸納推理的結(jié)論不一定正確解：

3、歸納推理是由特殊到一般的推理，但結(jié)論未必正確故選12 / 18下面幾種推理是合情推理的是(由圓的性質(zhì)類比出球的性質(zhì)；由等差數(shù)列的性質(zhì)類比出等比數(shù)列的性質(zhì)；由三角形的面積公式類比出三棱錐的體積公式；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和為180 ,歸納出所有三角形的180 .a.僅是b.僅是c.僅是d.都是解：是類比推理，是歸納推理.它們都屬于合情推理.故選d.(2015 煙臺質(zhì)檢)命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是()a.使用了歸納推理b.使用了類比推理c.使用了 “三段論”，但大前提錯誤d.使用了 “三段論”，但小前提錯誤解

4、： 三段論的大前提必須是全稱命題，此推理過程是三段論，但大前提是特稱命題故選 c.（2014 課標i ）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過a，b， c 三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過 b 城市；乙說：我沒去過c 城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市由此可判斷乙去過的城市為解： 由題意可判斷：甲沒去過b 城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過 a c城市，而乙“沒去過c城市”，說明乙去過城市a,由此可知，乙去過的城市為 a. 故填a.如圖是 2015 年武漢東湖燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是 （ 填寫對應(yīng)圖形的

5、序號）解： 由前三個圖形呈現(xiàn)出來的規(guī)律可知，下一個圖形可視作上一圖形順時針旋轉(zhuǎn)144。得到的，由第三個圖形順時針旋轉(zhuǎn)144。得到的圖形應(yīng)為.故填.類型一歸納推理根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的一個通項公式.(1) ai = 3 an+1 = 2an + 1 ；1(2) a1 = a, an+1 = 2_an.2解：(1)由已知有a1 = 3=2 1,3% = 2a1+1 = 2x3 + 1 = 7= 2 1,4 .a3= 2a2+ 1 = 2x7 + 1 = 15=2 1,5a4=2a3+ 1 = 2x15+1 = 31 = 2 - 1.由此猜想 an=2n+1-1, n n*

6、.,一11(2)由已知有 a1 = a, a2 = 2_ a1 = 2 a，12 a 13 2aa3=2a2=32a a4=2-a3=4-3an n - 1) 一 n n - 2) a *由此猜想 an=-一7-, ncn.n (n1) a【點撥】 數(shù)列的通項公式表示的是數(shù)列 an的第n項an與序號n之間的對應(yīng)關(guān)系，先 根據(jù)已知的遞推公式，算出數(shù)列的前幾項，再通過觀察，歸納得到關(guān)于數(shù)列通項公式的一個猜想，這種猜想是否正確還有待嚴格的證明.(1)下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成:通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第 4個圖形中，火柴桿有 根；第n個圖形中，火柴桿有 根.解：第一個圖形有4

7、根，第2個圖形有7根，第3個圖形有10根，第4個圖形有13根，依次成等差數(shù)列，所以猜想第n個圖形有3n+1根.故填13; 3n+1.1 113(2)( 2015 ,黑龍71模擬)已知 f( n) = 1+;+十二(n c n),經(jīng)計算得 f (2) =3, 2 3n257 *f (4)2 , f(8) 2，f(16)3 , f (32) 2.據(jù)此猜想一個一般性的結(jié)論為 (nc n).24354657n n+2解：因為 f(2)5，f(2 )2, f(2 )2, f(2 )2,所以當 n2 時，有 f(2 )2一故填f(2n)n 2-t類型二類比推理在 abc 中，若 ab! ac, adl b

8、c 于_111 ,4_一一d，則而高在四面體 a-bcd中，若ab, ac ad兩兩垂直，ah1底面bcd垂足 ad2 ab2 ac2為h,則類似的結(jié)論是什么？并說明理由.解：如圖，在四面體a-bcd43,若 ab ac, ad兩兩垂直,ahl底面bcd垂足為h,則!人人 ah2 ab2 ac2 ad2證明如下：連接 bh并延長交cd于e,連接ae.ab, ac ad兩兩垂直，abl平面 acd又. ae?平面 acd ab ae在rtabe中，有1111= z7-h- -二.ah2 ab2 ae2111 又易證 cdl ae .在 rtaacd, = 777 . ae2 ac2 ad2一，、

9、一m 1111將式代入 式信ah2= ab2+ ac寧ad2ah2 ab2 ac2 ad2【點撥】 本題考查的是平面到空間的推廣類比，并且在推導空間的結(jié)論時用到了平面的結(jié)論.一般地，平面中的一些元素與空間中的一些元素可類比如下:平囿占八、線圓三角形角面積空間線面球三棱錐二面角體積表向積已知命題：平面直角坐標系xoyp=m2 n2)上,中， abca( -p, 0)和 c(p, 0),頂點 b在橢圓篙y2= 1(nn0,橢圓的離心率是e,則sina + sinc 1sinbe試將該命題類比到雙曲線中,給出一個結(jié)論.解：利用兩種圓錐曲線元素之間的對應(yīng)關(guān)系，類比可得：平面直角坐標系abc頂點 a(-

10、p, 0)和 qp, 0),頂點 b在雙曲線 x2-y|=1(n0, n0, m2 n2xoy 中，p=、m2+ n2)上,雙曲線的離心率是 e,則|sina sinc| 1sinb類型三演繹推理指出下面推理中的錯誤：(1)自然數(shù)是整數(shù)大前提5是整數(shù)小前提所以，5是自然數(shù)結(jié)論(2)指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)大前提1y=-是指數(shù)函數(shù)小前提1皿所以，y=萬是增函數(shù)結(jié)論(3)三角函數(shù)是周期函數(shù)大前提y = sin x(0 x兀)是三角函數(shù) 小前提所以，y=sinx(0xtt)是周期函數(shù) 結(jié)論解：(1)推理形式錯誤，自然數(shù)是整數(shù)為大前提，小前提應(yīng)是判斷某數(shù)為自然數(shù)，而不是某數(shù)為整數(shù).(2)大前提錯誤，因

11、為當0ab, cd,則 adbc解：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，只有c選項符合概念，故選 c3.下面使用類比推理正確的是（）a.由“若 a 3= b 3,則 a= b類推出a - 0= b - 0,則 a= b”b.由“（a+b）c=ac+bc” 類推出（a - b） c = ac - bc” a + b a bc. 由 （a+b）c=ac+bc 類推出 = 十 （cw0）c c cd.由 “（ab）n=anbn” 類推出 “（a + b） n= an+bn” 解：易知a, b, d錯誤.故選c.a卜萬_l h 1 a

12、?o i h， al h4 7-l h， |t|4 .以余 i 7u 育工 1 .a+b 1, a+b 3, a + b 4, a + b 7, a + b ii）, 火1j10 .10 z、a + b =（）d. 199c. 123b. 76a. 28解：歸納推理：. 1+ 3 = 4, 3+4 = 7, 4+ 7=11, 7+ 11= 18, 11+ 18= 29, 18+29 =47, 29+47=76, ，a10 + b10= 47+76= 123,故選 c5 .觀察下列事實：|x|十|y|=1的不同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為 4, |x|十|y|=2的不 同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為

13、8, |x| 十|y| =3的不同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為12,，則| x| 十|y|=20的不同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為（）d. 92c. 86b. 80a. 76解：以上各式不同整數(shù)解的個數(shù)按順序構(gòu)成首項為4,公差為4的等差數(shù)列，即當|x|十 |y|=n時，對應(yīng)的不同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為 4n,因此|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為4x20= 80,故選b.6 .如圖，橢圓的中心在坐標原點，f為其左焦點，當fbuab寸，橢圓的離心率為5u,此類橢圓被稱為“黃金橢圓” .類比“黃金橢圓”可得“黃金雙曲線”的離心率為（）解:設(shè)雙曲線方程為d.第十1c.75-1a.5

14、+12b.x2 y2才比=1(0,b0),f(-c, ),b(,幼，a(a,0),則 fb=(c,b) , ab= ( - a, b).14 /182fejar . .fej- ab= - ac+ b2= 0.222又b = c a , c ac a = 0, 即 e e 1 = 0.解得 e = -2.又 e1,，e=2但.故選 a.7. (2015 西安市自主命題)已知：xc(0, +8),觀察下列式子：1 4xx4 a*x 2 , x + -= + - + 3,，類比有 x + n+ 1( n n),則 a 的值為xx222x2xn 1224 x x 4解：根據(jù)題意，對給出的等式變形可得

15、：x + -2, x+=x+ =- + - + 3,類xx2 x2 2 2 x2比有x +axnan +1a+ - (n+ 1)- = n +xnnn1,a= nn.故填 nn.8. (2013 陜西)觀察下列等式：(1 +1)=2x1,一一 一一2一(2 + 1)(2 + 2) =2 x 1 x 3,3(3 + 1)(3 +2)(3 +3)=2x1x3x5,照此規(guī)律，第n個等式可為 .解：觀察到等式左邊依次是(n+1)( n+2)( n+3)( n+n),等式右邊是2n與n個奇數(shù) 的乘積，(n+ 1)( n+ 2)(n+ n) = 2nx 1x 3x 5x x (2 n 1).故填(n+ 1

16、)( n+2)-(n +n) = 2nx1x3x5x x (2n-1).9.先解答(1),再根據(jù)結(jié)構(gòu)類比解答(2).(1)已知 a, b 為實數(shù)，且 | a|1 , | b|a+b；(2)已知 a, b, c均為實數(shù)，且 | a|1 , | b|1 , | c|a+b+c.證明：(1) ab+1(a+b) = (a1)( b1)0.(2) i a|1 , |b|1 , |c|1 , . . |ab|ab+ c,，abc+2=( ab) c+ 1 + 1(ab+ c) + 1(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,=(ab+ 1) + ca+ b+ c.(i )sin213。+ cos217 sin13 c

17、os17 ;(n )sin215。+ cos215。sin15 cos15 ;(.)sin218+ cos212。-sin18 cos12 ;(iv)sin2(-18 )+ cos 248 一sin( 18)cos48 ;(v )sin2(-25)+ cos 255一sin:-25)cos55 .10.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù);將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.解法一：(1)選擇(n)式，計算如下:.2sin 15+ cos 215 sin151=1 二 sin302cos151=14=4.19

18、 / 18(2)三角恒等式為22sin a + cos (30a ) - sin a cos(303 )=4.證明如下:2=sin a一.一 2sin a22 一+ cos (30a ) sincos (30= sin a + cos (30a ) cos (30a ) sin+ cos(30 a )( cos30 cos a + sin30sin a sin2=sin a + cos (30a )(cos30cos asin30sin2=sin a +( cos30 cos a + sin30sin a )(cos30=sin 2 a + cos 230 cos a2cos a-sin 30

19、2-sin 30sin1 cos21 12-2cos2 a.22 ,sin a + cos (30 2 ,一 sin a +cos2(301 + cos (60 2a)1 1+ 2+ 2( cos60co s222cos2 a +2+ 4cos2一sin+ sin603+ -sin24= sin2a+3cos2a-4sin1 sin43 . 232=sin a +二cos a4434.解法二：(1)同解法一.(2)三角恒等式為a ) sin a cos(303 a )=4.證明如下:a ) sin a cos (30 a ( cos30 cos a + sin30 sinsi2a)挈inaco

20、ssin*sin2a(1 cos2a) = 4434.11.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖、為她們刺繡中最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形.(1) 求出 f (5) ；(2) 利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出 f(n 1)與f(n) 的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n) 的表達式解：(1) -. f(1) =1, f(2) =5, f(3) =13, f(4) =25, ，f (5) =25 + 4x4= 41.(2) . f (2) -f (1) =4 = 4x1.f (3) -f(2) =8=4x2, f(4) -f (3) =12=4x3, f(5)