中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：折疊問題精品文檔

1、中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：折疊問題本資料為word文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址www.5y十折疊問題首先，在最近幾年的中考中題折疊問題中頻頻出現(xiàn)，這對(duì)于我們識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求。希望通過今天的討論，使同學(xué)們對(duì)折疊問題中有關(guān)的幾何圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)；在問題分析和解決的過程中鞏固頭腦中已有的有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)以及解決有關(guān)問題的方法；并在觀察圖形和探索解決問題的方法的過程中提高分析問題和解決問題的能力。那么，什么是折疊問題呢？這個(gè)問題應(yīng)分兩個(gè)方面，首先什么是折疊，其次是和折疊有關(guān)的問題。下面我們將對(duì)它們分別進(jìn)行討論一

2、.折疊的意義折疊，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180º，使它與另一部分在這條直線的同旁，與其重疊或不重疊；顯然，“折”是過程，“疊”是結(jié)果。如圖（1）是線段ab沿直線l折疊后的圖形，其中ob是ob在折疊前的位置；圖（2）是平行四邊形abcd沿著對(duì)角線ac折疊后的圖形，abc是abc在折疊前的位置，它們的重疊部分是三角形；圖形在折疊前和折疊后翻折部分的形狀、大小不變，是全等形如圖如圖（1）中ob=ob；如圖（2），abcabc；圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對(duì)稱如圖（1）ob和ob關(guān)于直線l成軸對(duì)稱；如圖（2）abc和abc關(guān)于直線ac成軸對(duì)稱。二和折疊有關(guān)的問

3、題圖形經(jīng)過折疊，其翻折的部分折疊前的圖形組合成新的圖形，新的圖形中有關(guān)的線段和角的位置、數(shù)量都有哪些具體的關(guān)系呢？這就是我們今天要重點(diǎn)討論的問題。下面，我們以矩形的折疊為例，一同來探討這個(gè)問題。問題1:將寬度為a的長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的形狀，觀察圖中被覆蓋的部分aef.（a）aef是什么三角形？結(jié)論：三角形aef是等腰三角形證明：方法一，圖形在折疊前和折疊后是全等的,1=2,又矩形的對(duì)邊是平行的1=3,2=3,ae=af三角形aef是等腰三角形方法二：圖形在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，只是位置不同表示矩形寬度的線段ep和fq相等，即aef的邊ae和af上的高相等，ae=af三角形aef

4、是等腰三角形改變折疊的角度的大小，三角形aef的面積是否會(huì)改變？為什么?答：不會(huì)改變。分析：的改變影響了ae的長(zhǎng)度，但卻不能改變邊ae上的高，三角形aef的面積會(huì)隨著的確定而確定.例一：在上面的圖中，標(biāo)出點(diǎn)a在折疊前對(duì)應(yīng)的位置a,四邊形aeaf是什么四邊形？分析：（1）由前面的分析可知a與a在折疊前的位置a關(guān)于折痕ef成軸對(duì)稱,所以作a關(guān)于ef的對(duì)稱點(diǎn)即可找到點(diǎn)a（過點(diǎn)a作aaef交矩形的邊于點(diǎn)a）。同學(xué)們還可以動(dòng)手折疊一下，用作記號(hào)的方法找到點(diǎn)a。（2）四邊形aeaf是菱形證法一：a是a在折疊前對(duì)應(yīng)的位置,a和a關(guān)于直線ef軸對(duì)稱,aaef,且ao=ao,又aeaf,eoof=aooa,eo

5、=of四邊形aeaf是菱形證法二：a是a在折疊前對(duì)應(yīng)的位置,aefaef,ae=ae,af=af，又aef是等腰三角形（已證）,ae=af,ae=af=ae=af,四邊形aeaf是菱形.例2.在上題的圖中,若翻折的角度=30º,a=2,求圖中被覆蓋的部分aef.的面積.。分析：圖中被覆蓋的部分aef是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的寬度2,所以，本題的解題關(guān)鍵就是要求出腰af或ae的長(zhǎng)。答：s四邊形aeaf2saef=（解答過程略）練一練：當(dāng)?shù)拇笮》謩e45º、60º時(shí)，圖中被覆蓋的部分aef.的面積是多少？例題3.如圖：將矩形abcd對(duì)折，折痕為mn，再沿ae折

6、疊，把b點(diǎn)疊在mn上，（如圖中1的點(diǎn)p）,若ab=3,則折痕ae的長(zhǎng)為多少？分析：折痕ae為直角三角形abe的斜邊，故解決本題的關(guān)鍵是求pe的長(zhǎng)。解法一：由折疊的意義可知，apep,延長(zhǎng)ep交ad于f,則fe=fam、n分別是矩形的邊ab和cd的中點(diǎn)，mnadbc且eppf=bnna=11,又ape=d=90,ae=afae=af=ef,1=2=30,1=30ae=2。m、n分別是矩形的邊ab和cd的中點(diǎn)，mnadbc且an是ap的一半mnanae=af又fe=faae=af=ef,1=2=30,1=30ae=2。由bc/mn/da且m、n分別為cd和ab的中點(diǎn)可得ep=pf，eo=aopo=

7、af，又po=ae，ae=afae=af=ef，eaf=60（其余同上）例題4.在例3中，若m、n分別為cd、ab的三等分點(diǎn)（如圖），ab=5,其他條件不變，折痕ae的長(zhǎng)為多少？分析：本題與上一題略有不同，mn由原來的二等分線變?yōu)槿确志€，其他條件不變。所以本題的解題關(guān)鍵還是求出eb的長(zhǎng)解：延長(zhǎng)ep交ad于f,則fe=fam、n分別是矩形的邊ab和cd的三等分點(diǎn)mnadbc且eppf=bnna=12,設(shè)ep=x,則pf=2x,af=ef=3x,在直角三角形apf中有ap²+pf²=af²5+²=²,x=1,ae²=1+5=6,ae=例

8、4如圖3,有一張邊長(zhǎng)為3的正方形紙片,將其對(duì)折,折痕為mn,再將點(diǎn)b折至折痕mn上,落在p點(diǎn)的位置,折痕為ae.求mp的長(zhǎng);求以pe為邊長(zhǎng)的正方形的面積.分析：將本題與例題2比較，不難看出它們的共同之處，顯然，解決本題的關(guān)鍵是求pe和pn的長(zhǎng)解法一：延長(zhǎng)ep交ad的延長(zhǎng)線于f,則fe=fam、n分別是矩形的邊ab和cd的中點(diǎn)，mnadbc且an是ap的一半mnanae=afae=af=ef,1=2=30,1=30pn=，mp=1-pn=3-,又ap=3,ep=，以ep為邊長(zhǎng)的正方形的面積為3。其他解法請(qǐng)同學(xué)們思考。例5.如圖，將矩形abcd折疊，使c點(diǎn)落在邊ab上，（如圖中的m點(diǎn)），若ab=1

9、0,bc=6,求四邊形cnmd的面積分析：本題與上一題區(qū)別在于點(diǎn)c折疊后落在矩形的邊ab上，由折疊的意義可以知道，acn和amn是全等的，所以，求四邊形cnmd的面積的關(guān)鍵就是求dcn或dmn的面積，所以本題的解題關(guān)鍵還是求出nc的長(zhǎng).解:在直角三角形adm中,ad=6,dm=dc=10,由勾股定理可以求得am=8.bm=10-8=2.設(shè)nc=x,則mn=x,bn=6-x,在rtbmn中，mn2=bn2+bm2x2=（6-x）2+4x=s四邊形cnmd=2sdcn=例6.將長(zhǎng)為8，寬為6的矩形abcd折疊，使b、d重合，（1）求折痕ef的長(zhǎng)。（2）求三角形def的面積分析：由矩形折疊的意義可知

10、，ef垂直平分bd（o為bd的中點(diǎn)由ab/dc可得eo:fo=bo:do=1:1o為ef的中點(diǎn)，所以可設(shè)法先求出eo的長(zhǎng)，或直接求ef的長(zhǎng),進(jìn)而求三角形def面積。解（法一）：d、b關(guān)于ef成軸對(duì)稱ef垂直平分db，又dccb,doedcb在rtdcb中，由勾股定理可得bd=10又ab/dceo:of=do:obdo=5由doedcb得do:dc=de:bceo:6=5:8eo=ef=sdef=efdo=5=解（法二）：過c作cp/ef，交ab于pefdbcpdb易得cbpdcbcp:bd=cb:dcef=sdef=efdo=5=同學(xué)們，圖形折疊問題中題型的變化比較多，但是經(jīng)過研究之后不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從今天我們對(duì)矩形折疊情況的討論中可以得到以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)：圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形；2圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對(duì)稱；3.