熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理第6章

1、1第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究方法 熱力學(xué)是研究熱力學(xué)是研究熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論。它熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論。它以實(shí)驗(yàn)總結(jié)的以實(shí)驗(yàn)總結(jié)的 定律出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理得到物體宏觀熱性質(zhì)間定律出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理得到物體宏觀熱性質(zhì)間 的聯(lián)系，宏觀過程進(jìn)行的方向和限度，從而揭示熱現(xiàn)象的聯(lián)系，宏觀過程進(jìn)行的方向和限度，從而揭示熱現(xiàn)象 的有關(guān)規(guī)律。的有關(guān)規(guī)律。 統(tǒng)計(jì)物理統(tǒng)計(jì)物理是研究熱運(yùn)動(dòng)的微觀理論。它是研究熱運(yùn)動(dòng)的微觀理論。它從從宏觀物質(zhì)宏觀物質(zhì) 系統(tǒng)由大量系統(tǒng)由大量微觀粒子組成出發(fā)，認(rèn)為微觀粒子組成出發(fā)，認(rèn)為宏觀性質(zhì)是大量微宏觀性質(zhì)是大量微 觀粒子的

2、集體表現(xiàn)觀粒子的集體表現(xiàn), 宏觀熱力學(xué)量則是相應(yīng)微觀力學(xué)量宏觀熱力學(xué)量則是相應(yīng)微觀力學(xué)量 的統(tǒng)計(jì)平均值。的統(tǒng)計(jì)平均值。 2第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 3第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 孤立系統(tǒng)的熵永不減少。孤立系統(tǒng)的熵永不減少。孤立系統(tǒng)中發(fā)生的不可孤立系統(tǒng)中發(fā)生的不可 逆過程總是朝著熵增加的方向進(jìn)行的。這個(gè)宏觀的不逆過程總是朝著熵增加的方向進(jìn)行的。這個(gè)宏觀的不 可逆性不能由微觀粒子遵循的具有可逆性的力學(xué)規(guī)律可逆性不能由微觀粒子遵循的具有可逆性的力學(xué)規(guī)律 得出。得出。 4第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 拉普拉斯拉普拉斯 玻耳茲曼玻耳茲曼 吉布斯吉布斯 龐加萊龐加萊 5第六章 近獨(dú)立粒子的最概

3、然分布 6第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 7第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 第六章第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布近獨(dú)立粒子的最概然分布 8第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 微觀粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元（如分子、微觀粒子是指組成物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元（如分子、 原子、離子、電子、光子等）和準(zhǔn)粒子（如聲子、激原子、離子、電子、光子等）和準(zhǔn)粒子（如聲子、激 子、極化子和旋子等）。子、極化子和旋子等）。 粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 如果認(rèn)為粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子如果認(rèn)為粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描

4、述稱為經(jīng)典描述。 如果認(rèn)為粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子如果認(rèn)為粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對粒子 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為量子描述。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為量子描述。 6.1 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述 9第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 123 , r q q qq 1212 , rr q qqp pp（；） 自由度為自由度為r的的一個(gè)一個(gè)微觀粒子的微觀粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由由2r個(gè)個(gè) 廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量確定。廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量確定。 粒子的自由度數(shù)（粒子的自由度數(shù)（r） 能夠完全確定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。能夠完全確定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。 123 ,

5、 r p ppp 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 廣義動(dòng)量廣義動(dòng)量 能量能量 10第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 空間中空間中任何任何一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一一 個(gè)個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為代表點(diǎn)。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨 時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在空間中移動(dòng)，描畫出空間中移動(dòng)，描畫出 一條軌跡。一條軌跡。 1212 , rr q qqp pp（；） 空間空間 由由2r個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量構(gòu)成的一個(gè)個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量構(gòu)成的一個(gè)2r維直角維直角 坐標(biāo)空間。微觀粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由坐標(biāo)空間。微觀粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可由

6、空間中一空間中一 點(diǎn)表示。點(diǎn)表示。 空間中一點(diǎn)的坐標(biāo)空間中一點(diǎn)的坐標(biāo) 11第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （一）自由粒子（一）自由粒子 自由度：自由度： 3 空間維數(shù)空間維數(shù)：6 zmpp ympp xmpp z y x 3 2 1 廣義動(dòng)量： zq yq xq 3 2 1 廣義坐標(biāo)： 不受外力的作用而自由運(yùn)動(dòng)的粒子。例不受外力的作用而自由運(yùn)動(dòng)的粒子。例 如當(dāng)不存在外場時(shí)的理想氣體分子或金屬中如當(dāng)不存在外場時(shí)的理想氣體分子或金屬中 的自由電子。的自由電子。 12第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 能量：能量：)( 2 1 222 zyx ppp m 13第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 x x p

7、o x p o x L 0 x xL p 14第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （二）一維線性諧振子（二）一維線性諧振子 自由度：自由度：1 1 空間維數(shù)：空間維數(shù)：2 2 pmx qx 質(zhì)量為質(zhì)量為m的粒子在彈性力的粒子在彈性力f=-Ax作用下作用下,將在將在 原點(diǎn)附近作圓頻率為原點(diǎn)附近作圓頻率為 的簡諧振動(dòng)，稱為的簡諧振動(dòng)，稱為 線性諧振子。線性諧振子。 如在一定條件下的分子內(nèi)原子的振動(dòng)，晶體如在一定條件下的分子內(nèi)原子的振動(dòng)，晶體 中原子或離子在其平衡位置附近的振動(dòng)。中原子或離子在其平衡位置附近的振動(dòng)。 mA 廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)： 廣義動(dòng)量廣義動(dòng)量： 15第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 能量

8、能量 22 2 2 1 2 xm m p 具有確定能具有確定能 量的代表點(diǎn)量的代表點(diǎn) 的軌跡是一的軌跡是一 個(gè)橢圓個(gè)橢圓 1 2 2 2 22 m x m p x p 16第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （三）轉(zhuǎn)子（三）轉(zhuǎn)子 17第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 12 12 m m m mm 18第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 sincosxr sinsinyr cosrz 用球極坐標(biāo)表示用球極坐標(biāo)表示 x y z r 設(shè)該質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為設(shè)該質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為x,y,z )( 2 1 222 zyxm 能量能量 19第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 sincoscoscossins

9、inxrrr sinsincossinsincosyrrr sincosrrz 222222222 11 ()(sin) 22 m xyzm rrr 求直角坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)求直角坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 0 r 22222 1 (sin) 2 m rr 考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變 ，于是，于是 20第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 轉(zhuǎn)子的自由度數(shù)：轉(zhuǎn)子的自由度數(shù)：2 2 空間維數(shù)：空間維數(shù)：4 4 廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)： 12 (0 ), (0 2 )qqqq 廣義動(dòng)量：廣義動(dòng)量： 2 1 22 2 sin ppmr ppmr 2222222 2 111 (sin

10、)() 22sin m rrpp I 能量：能量： 21第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 r prM 0,2 p M M M 2 2 22 2 11 () 2sin22 p M pp III 22第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 轉(zhuǎn)子不受外力時(shí)總角動(dòng)量守恒轉(zhuǎn)子不受外力時(shí)總角動(dòng)量守恒 x y z r p A p M x y z r =/2 P=0 A p =M =M 23第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 6.2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 （1 1）微觀粒子具有波粒二象性（粒子性與波動(dòng)性）微觀粒子具有波粒二象性（粒子性與波動(dòng)性） 一方面它們是客觀存在的單個(gè)實(shí)體，另一方面它們是客觀存在

11、的單個(gè)實(shí)體，另一一 方面在適當(dāng)?shù)臈l件下又可以觀察到微觀粒子顯方面在適當(dāng)?shù)臈l件下又可以觀察到微觀粒子顯 示干涉、衍射等為波動(dòng)所特有的現(xiàn)象。所以微示干涉、衍射等為波動(dòng)所特有的現(xiàn)象。所以微 觀粒子普遍具有波粒二象性。觀粒子普遍具有波粒二象性。 24第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 25第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 粒子性與波動(dòng)性的聯(lián)系粒子性與波動(dòng)性的聯(lián)系 德布羅意關(guān)系德布羅意關(guān)系kp 其中其中 sJ10055. 12 34 h 具有角動(dòng)量量綱，稱為普朗克常數(shù)。具有角動(dòng)量量綱，稱為普朗克常數(shù)。 德布羅意指出：德布羅意指出： 能量為能量為、動(dòng)量、動(dòng)量為為p的自由粒子聯(lián)系著圓頻的自由粒子聯(lián)系著圓頻 率為率

12、為、波矢為、波矢為k k的平面波，稱為的平面波，稱為德布羅意波。德布羅意波。 26第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 27第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，這微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，這 生動(dòng)地說明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng)。微觀粒子生動(dòng)地說明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng)。微觀粒子 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述的，而是用波函的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述的，而是用波函 數(shù)或量子數(shù)來描述的。數(shù)或量子數(shù)來描述的。 （2）微觀粒子運(yùn)動(dòng)滿足）微觀粒子運(yùn)動(dòng)滿足不確定關(guān)系不確定關(guān)系 hpq 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。在量子力學(xué)中，微觀粒

13、子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。 量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于 粒子的自由度數(shù)。粒子的自由度數(shù)。 , ,0 qop qp 28第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 微觀粒子的能量是不連續(xù)微觀粒子的能量是不連續(xù) 的的,每一個(gè)不連續(xù)的能量值按每一個(gè)不連續(xù)的能量值按 高低排序稱為能級。高低排序稱為能級。 （3）能級與簡并）能級與簡并 量子態(tài)可以位于不同的能量子態(tài)可以位于不同的能 級上。如果一個(gè)能級只有一個(gè)級上。如果一個(gè)能級只有一個(gè) 量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。 如果一個(gè)能級上的量子態(tài)不止如果一個(gè)能級上的量子態(tài)不止 一個(gè)，則

14、該能級就稱為簡并的。一個(gè)，則該能級就稱為簡并的。 一個(gè)能級上的的量子態(tài)數(shù)稱為一個(gè)能級上的的量子態(tài)數(shù)稱為 該能級的簡并度，該能級的簡并度，g用表示。用表示。 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 29第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （一）線性諧振子（一）線性諧振子 , 2 , 1 , 0 ) 2 1 (nn n 圓頻率為圓頻率為的線性諧振子的能量可能值為的線性諧振子的能量可能值為 所有能級等間距，均為所有能級等間距，均為 。能級為非簡。能級為非簡 并。一個(gè)確定的量子態(tài)表示為并。一個(gè)確定的量子態(tài)表示為n。 30第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （二）轉(zhuǎn)子（二）轉(zhuǎn)子 , 2 , 1 , 0 ) 1(

15、 22 lllM lllmmM Z , 1, 轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)子的自由度為自由度為2，一個(gè)量子態(tài)用一個(gè)量子態(tài)用( (l, m) )表示表示. . I ll l 2 ) 1( 2 , 2 , 1 , 0l 基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，簡并度為簡并度為12 l 轉(zhuǎn)子的能量轉(zhuǎn)子的能量 I M 2 2 量子理論要求量子理論要求 能級能級 31第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （三）自旋角動(dòng)量（三）自旋角動(dòng)量 S稱為自旋量子數(shù)，可以是整數(shù)或半整數(shù)。自旋量子稱為自旋量子數(shù)，可以是整數(shù)或半整數(shù)。自旋量子 數(shù)的數(shù)值是基本粒子的固有屬性。數(shù)的數(shù)值是基本粒子的固有屬性。 22 =S(S+1) S 自旋自

16、旋角動(dòng)量的狀態(tài)由自旋角動(dòng)量的狀態(tài)由自旋量子數(shù)量子數(shù)S及其在本征方向的及其在本征方向的 投影量子數(shù)投影量子數(shù)Sz確定。以確定。以Z表征本征方向，表征本征方向，Sz的可能值為的可能值為 S m, mS, S-1, , -(S-1), -S zS S 某些基本粒子具有內(nèi)稟某些基本粒子具有內(nèi)稟角動(dòng)量，稱為角動(dòng)量，稱為自旋自旋角動(dòng)量角動(dòng)量S S。 所以一個(gè)微觀粒子的自旋量子態(tài)表示為所以一個(gè)微觀粒子的自旋量子態(tài)表示為 ( (S, mS) )。 對電子而言，對電子而言，S=1/2, mS=1/2 32第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 自旋磁矩自旋磁矩在外場在外場B B中的能量為中的能量為 0 2 z e BB

17、BB m 自旋磁矩自旋磁矩在在z z方向的投影為方向的投影為 S m 2 zz eee S mmm 電子自旋電子自旋角動(dòng)量和角動(dòng)量和自旋自旋磁矩的關(guān)系為磁矩的關(guān)系為 = = 2 eee S Smmm 作業(yè)：作業(yè)：6.1，6.2，6.3，6.4，自學(xué)附錄，自學(xué)附錄B 1，2，3，4，5 33第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 四、自由粒子四、自由粒子 波矢量可能值波矢量可能值 , 2 , 1 , 0, xx nnL 考慮處于長度為考慮處于長度為L的一維容器中自由粒子的運(yùn)的一維容器中自由粒子的運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)。周期性邊界條件要求粒子可能的運(yùn)動(dòng)狀動(dòng)狀態(tài)。周期性邊界條件要求粒子可能的運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)，其德布羅意波長態(tài)

18、，其德布羅意波長 滿足滿足 2 x k, 2, 1, 0, 2 xxx nn L k xx kp , 2, 1, 0, 2 xxx nn L p動(dòng)量可能值動(dòng)量可能值 34第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 2 2222 2 2L n mm p xx nx , 2, 1, 0 x n 基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并。 能量可能值能量可能值 一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由一個(gè)量子數(shù)一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由一個(gè)量子數(shù)nx描述。描述。 35第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 三維自由粒子三維自由粒子 zz yy xx n L p n L p n L p 2 2 2 ,0, 1,

19、 2, xyz n n n L 考慮處于線度為考慮處于線度為L的三維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。的三維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 假設(shè)粒子被限制在一個(gè)邊長為假設(shè)粒子被限制在一個(gè)邊長為L的方盒子中運(yùn)動(dòng)，仿的方盒子中運(yùn)動(dòng)，仿 照一維粒子的情形，該粒子在三個(gè)方向動(dòng)量的可能值為照一維粒子的情形，該粒子在三個(gè)方向動(dòng)量的可能值為 36第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 一個(gè)量子態(tài)由一個(gè)量子態(tài)由3 3個(gè)個(gè)量子數(shù)量子數(shù)描述描述),( zyx nnn 222222 222 2 2 22 xyzxyz pppnnn p mmmL 能量的可能值為能量的可能值為 22 2 1,1,1, 2223 2 xyzxyz xyz

20、nnnnnn nnn mL 相鄰兩個(gè)能級的能級差為相鄰兩個(gè)能級的能級差為 37第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （1）在微觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值的不連續(xù)在微觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值的不連續(xù) 性很顯著，粒子量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由三個(gè)量子數(shù)表征性很顯著，粒子量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由三個(gè)量子數(shù)表征 222 zyx nnn 例如對于例如對于1 222 zyx nnn 2 22 2 mL 有六個(gè)量子態(tài)與之對應(yīng)，有六個(gè)量子態(tài)與之對應(yīng)， ) 1 , 0 , 0( ) 1, 0 , 0( )0 , 1 , 0( )0 , 1, 0( )0 , 0 , 1 ( )0 , 0 , 1( 所以該能級為六度簡并，所以該能級

21、為六度簡并，g=6。 能級決定于能級決定于 ),( zyx nnn 38第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 對于對于能級能級 222 3 xyz nnn 22 2 2 3 mL 有八個(gè)量子態(tài)與之對應(yīng)，有八個(gè)量子態(tài)與之對應(yīng)， (1,1,1),( 1,1,1),(1, 1,1),(1,1, 1), ( 1, 1,1),(1, 1, 1),( 1,1, 1),( 1, 1, 1) 所以該能級為八度簡并，所以該能級為八度簡并，g=8。 39第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （2 2）在宏觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值是準(zhǔn)連續(xù)的）在宏觀體積下，粒子的動(dòng)量值和能量值是準(zhǔn)連續(xù)的 這時(shí)往往考慮體積這時(shí)往往考慮體積在

22、在V=LV=L3 3內(nèi)，在動(dòng)量內(nèi)，在動(dòng)量PxPx到到Px+dPxPx+dPx， PyPy到到Py+dPyPy+dPy，PzPz到到Pz+dPzPz+dPz范圍內(nèi)自由粒子的量子態(tài)數(shù)目。范圍內(nèi)自由粒子的量子態(tài)數(shù)目。 zz yy xx n L p n L p n L p 2 2 2 2 222 22 2 L nnn m zyx n 40第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 zz yy xx dp L dn dp L dn dp L dn 2 2 2 在體積在體積V=L3內(nèi)，分別在內(nèi)，分別在PxPx到到Px+dPxPx+dPx， PyPy到到Py+dPyPy+dPy， PzPz到到Pz+dPzPz+dPz間

23、間可能的可能的PxPx， PyPy， PzPz的數(shù)目分別為的數(shù)目分別為 在體積在體積V V內(nèi)，動(dòng)量分量在內(nèi)，動(dòng)量分量在 PxPx到到Px+dPxPx+dPx， PyPy到到Py+dPyPy+dPy， PzPz到到Pz+dPzPz+dPz間自由粒子間自由粒子可能可能的量子態(tài)數(shù)：的量子態(tài)數(shù)： 3 3 ) 2 ( h dpdpVdp dpdpdp L dndndn zyx zyxzyx 41第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 hpq hpq r 3 123123 qqqppph 相格大小為相格大小為 因此因此dnxdnydnz 的含義為的含義為空間體積元空間體積元Vdpxdpydpz 中中 包含的量子態(tài)

24、數(shù)。包含的量子態(tài)數(shù)。 42第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 空間由位形空間和空間由位形空間和動(dòng)量空間構(gòu)成。動(dòng)量空間構(gòu)成。動(dòng)量空間動(dòng)量空間采用采用 球極坐標(biāo)。球極坐標(biāo)。 , ,p zyx ppp, sincos sinsin cos x y z pp pp pp px py pz p 43第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 2 3 ( , , )sin V dn ppdpd d h 2 2 3 00 ( )sin V dn ppdpd d h dpp h V 2 3 4 兩邊完成全空間方位角的積分，得兩邊完成全空間方位角的積分，得在體積在體積V內(nèi)，動(dòng)量內(nèi)，動(dòng)量 大小在大小在 p到到p+dp范圍內(nèi)，自由

25、粒子可能的狀態(tài)數(shù)為范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 在體積在體積V V內(nèi)，動(dòng)量大小在內(nèi)，動(dòng)量大小在 p p到到p+dpp+dp， 動(dòng)量方向在動(dòng)量方向在 到到+d+d， 到到 +d+d的范圍內(nèi)，自由粒子的范圍內(nèi)，自由粒子可能可能的的 狀態(tài)數(shù)為狀態(tài)數(shù)為 44第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 131 222 33 42 ( )( )2(2)(2 ) VV dnDdm dmmd hh dm h V dD 2123 3 )2( 2 )( D()表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)， 稱為態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零，以上量子態(tài)數(shù)公稱為態(tài)密度。如果粒子的自旋不為零，以上量

26、子態(tài)數(shù)公 式需乘以式需乘以2。 2/1 2 )2(, 2 mp m p 利用利用自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系，可得，可得在體積在體積V內(nèi)，內(nèi)， 能量在能量在 到到+d范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 45第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 6.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 一一. .全同粒子全同粒子系統(tǒng)系統(tǒng)與近獨(dú)立粒子與近獨(dú)立粒子系統(tǒng)系統(tǒng) 1 1）全同粒子系統(tǒng)）全同粒子系統(tǒng) 具有完全相同的內(nèi)稟屬性（相同的質(zhì)量、自旋和具有完全相同的內(nèi)稟屬性（相同的質(zhì)量、自旋和 電荷）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。電荷）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。 2 2）近獨(dú)立

27、粒子系統(tǒng)）近獨(dú)立粒子系統(tǒng) 指粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能指粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能 量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之 間的相互作用。間的相互作用。近獨(dú)立粒子系統(tǒng)的能量近獨(dú)立粒子系統(tǒng)的能量滿足滿足 N i i E 1 46第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 單個(gè)粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由單個(gè)粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由 2r個(gè)廣義坐個(gè)廣義坐 標(biāo)和廣義動(dòng)量來描述標(biāo)和廣義動(dòng)量來描述.當(dāng)系統(tǒng)由當(dāng)系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成時(shí)個(gè)粒子組成時(shí), 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定是指整個(gè)系統(tǒng)中每一個(gè)粒系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定是指整個(gè)系統(tǒng)中每一個(gè)粒 子在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀

28、態(tài)都確定。因此確定系統(tǒng)子在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都確定。因此確定系統(tǒng) 的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要 , 21irii qqq irii ppp, 21 Ni, 1 二二. 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典經(jīng)典描述描述 這這 2rN 個(gè)變量來確定。個(gè)變量來確定。 47第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 或用或用 空間中空間中N個(gè)點(diǎn)描述個(gè)點(diǎn)描述 一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以 在在空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由空間中用一個(gè)點(diǎn)表示，由N個(gè)全同粒子組個(gè)全同粒子組 成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以由成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以由空空 間中間中N個(gè)點(diǎn)表示。個(gè)點(diǎn)表

29、示。 全同粒子在經(jīng)典描述中是可以分辨的（因全同粒子在經(jīng)典描述中是可以分辨的（因 為經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以為經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以 被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng) 中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，交換前中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，交換前 后，系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。后，系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。 48第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 ),( 2121iriiirii pppqqqi),( 2121jrjjjj pppqqqj ),( 2121iriiirii pppqqqj),( 2121jrjjjj

30、pppqqqi i i j j 交換前交換后 49第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 1 ）全同性原理）全同性原理 全同粒子在量子描述中是不可分辨的，在含全同粒子在量子描述中是不可分辨的，在含 有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個(gè)全同粒有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個(gè)全同粒 子加以對換，不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。子加以對換，不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。 三三. 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 i ii i 交換前交換后 50第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 2 1 0t 0t 2 1 經(jīng)典力學(xué)情形經(jīng)典力學(xué)情形 量子力學(xué)情形量子力學(xué)情形 51第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 2 2）

31、 玻色子與費(fèi)米子玻色子與費(fèi)米子 玻色子玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子。：自旋量子數(shù)為整數(shù)的基本粒子。 如光子（如光子（1）、）、介子（介子（0）等。）等。 費(fèi)米子費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子。：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的基本粒子。 如電子、質(zhì)子、中子如電子、質(zhì)子、中子自旋量子數(shù)均為自旋量子數(shù)均為1/2。 52第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 復(fù)合粒子的分類復(fù)合粒子的分類 ： 凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子；凡是由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子； 由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由 奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費(fèi)米子。奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子

32、是費(fèi)米子。 如，如，1H原子原子、2H核核、4He核核、 4He原子為玻色子。原子為玻色子。 2H原子 原子、3H核核、3He核核、 3He原子為費(fèi)米子。原子為費(fèi)米子。 53第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 3） 泡利不相容原理泡利不相容原理 對于含有多個(gè)全同近獨(dú)立的費(fèi)米子的系統(tǒng)，對于含有多個(gè)全同近獨(dú)立的費(fèi)米子的系統(tǒng)， 一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多能容納一個(gè)費(fèi)米子。 費(fèi)米子遵從泡利不相容原理，即在含有多費(fèi)米子遵從泡利不相容原理，即在含有多 個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個(gè)個(gè)體個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個(gè)個(gè)體 量子態(tài)的費(fèi)米子不可能超過一個(gè)，而玻色子構(gòu)量子態(tài)的費(fèi)

33、米子不可能超過一個(gè)，而玻色子構(gòu) 成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費(fèi)米子成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。費(fèi)米子 和玻色子遵從不同的統(tǒng)計(jì)。和玻色子遵從不同的統(tǒng)計(jì)。 54第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 55第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 4）玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng): : 由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成，由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成，不受泡利不受泡利 不相容原理約束的系統(tǒng)不相容原理約束的系統(tǒng)稱為稱為玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)。 玻色系統(tǒng)玻色系統(tǒng): : 由不可分辨的全同近獨(dú)立的玻色粒子組成，由不可分辨的全同近獨(dú)立的玻色粒子組成， 不受泡

34、利不相容原理的約束的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。不受泡利不相容原理的約束的系統(tǒng)稱作玻色系統(tǒng)。 費(fèi)米系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng): : 由不可分辨的全同近獨(dú)立的費(fèi)米粒子組成，由不可分辨的全同近獨(dú)立的費(fèi)米粒子組成， 受泡利不相容原理約束的系統(tǒng)稱作費(fèi)米系統(tǒng)。受泡利不相容原理約束的系統(tǒng)稱作費(fèi)米系統(tǒng)。 56第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 玻耳玻耳 茲曼系統(tǒng)茲曼系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng) 57第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 量子態(tài)量子態(tài)1量子態(tài)量子態(tài)2量子態(tài)量子態(tài) 3 1AB 2AB 3AB 4AB 5BA 6AB 7BA 8AB 9BA 對于玻耳茲曼系統(tǒng)可有對于玻耳茲曼系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)種不同的微觀狀態(tài) 58第六章 近獨(dú)立粒子

35、的最概然分布 量子態(tài)量子態(tài)1 量子態(tài)量子態(tài)2量子態(tài)量子態(tài)3 1 AA 2 AA 3 AA 4 AA 5 AA 6 AA 對于玻色系統(tǒng)，可以有對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)。種不同的微觀狀態(tài)。 59第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 量子態(tài)量子態(tài)1 量子態(tài)量子態(tài)2量子態(tài)量子態(tài)3 1 AA 2 AA 3 AA 對于費(fèi)米系統(tǒng)，可以有對于費(fèi)米系統(tǒng)，可以有3個(gè)不同的微觀狀態(tài)。個(gè)不同的微觀狀態(tài)。 分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù)分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù) 61第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 62第六章 近獨(dú)立

36、粒子的最概然分布 63第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 64第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 6.5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù) , lll a 由大量全同近獨(dú)立粒子組成由大量全同近獨(dú)立粒子組成, N, N、E E、V V確定且處確定且處 在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，粒子數(shù)按能級的一種分配方在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，粒子數(shù)按能級的一種分配方 式稱為一個(gè)分布式稱為一個(gè)分布 能級：能級： 簡并度：簡并度： 粒子數(shù)：粒子數(shù)： , 21l , 21l , 21l aaa 對于具有確定對于具有確定N、E、V的系統(tǒng)，分布必須滿足的系統(tǒng)，分布必須滿足 EaNa l ll l l 65第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布

37、微觀狀態(tài)是粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是所有粒微觀狀態(tài)是粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是所有粒 子占據(jù)各能級量子態(tài)的一種方式。它反映的子占據(jù)各能級量子態(tài)的一種方式。它反映的 是粒子運(yùn)動(dòng)特征。例如：在某一能級上，假是粒子運(yùn)動(dòng)特征。例如：在某一能級上，假 設(shè)有設(shè)有3個(gè)粒子，這三個(gè)粒子是如何占據(jù)該能級個(gè)粒子，這三個(gè)粒子是如何占據(jù)該能級 的量子態(tài)，一種占據(jù)方式就是該能級的一個(gè)的量子態(tài)，一種占據(jù)方式就是該能級的一個(gè) 微觀狀態(tài)。各能級上的粒子占據(jù)該能級上各微觀狀態(tài)。各能級上的粒子占據(jù)該能級上各 個(gè)量子態(tài)的一種方式即為系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)。個(gè)量子態(tài)的一種方式即為系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)。 分布與微觀狀態(tài)數(shù)的區(qū)別分布與微觀狀態(tài)數(shù)的區(qū)別 66第六章

38、 近獨(dú)立粒子的最概然分布 67第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 ll aa lll l ! l a l l N l a l l l a N ! ! l a l l l BM l a N ! ! . 68第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 69第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 (1) ll a )!1( ! )!1( ll ll a a l ll ll a a )!1( ! )!1( l l ll EB a a )!1( ! )!1( . (1)! ll a 70第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 )!( !/ ! llll aa l lll l aa)!( ! ! l lll l DF aa)!( ! !

39、 . 71第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 1 l l a 72第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 l l ll EB a a )!1( ! )!1( . l l llllll a aa )!1( ! )!1()2)(1( . . ! ! l a lM B l N NaN l ll l DF aa)!( ! ! . l ll llllll aa aa )!( ! )!)(1() 1( . . ! ! l a lM B l N NaN 73第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 ! . . N BM DFEB 74第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 r rr hppqq 011 75第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布

40、 l a 現(xiàn)將現(xiàn)將空間劃分為許多體積元空間劃分為許多體積元 ，以，以 表示運(yùn)動(dòng)表示運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)處在狀態(tài)處在 內(nèi)的粒子所具有的能量，內(nèi)的粒子所具有的能量， 內(nèi)包含的內(nèi)包含的 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為 這樣，這樣，N個(gè)粒子處在各能級的一個(gè)分布可表示為個(gè)粒子處在各能級的一個(gè)分布可表示為 能級：能級： 簡并度：簡并度： 粒子數(shù)：粒子數(shù)： , 21l , 21l aaa r l h0 , 00 2 0 1 r l rr hhh 體體 積積 元元: , 21l 76第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 l a l r l l l cl ha N )( ! ! 0 . 77第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 玻耳茲曼系

41、統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng) 玻色系統(tǒng)玻色系統(tǒng) 費(fèi)米系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng) 經(jīng)典系統(tǒng)經(jīng)典系統(tǒng) l a l l l l BM a N ! ! . )!1( ! )!1( . ll ll l EB a a )!( ! ! . lll l l DF aa . 0 ! () ! l a l cl r l l l N ah 系統(tǒng)系統(tǒng)微觀狀態(tài)微觀狀態(tài) 78第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （2）一個(gè)宏觀態(tài)所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)有多少）一個(gè)宏觀態(tài)所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)有多少? （1）一個(gè)分布能給出的微觀狀態(tài)數(shù)是多少）一個(gè)分布能給出的微觀狀態(tài)數(shù)是多少? 6.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 宏觀態(tài)時(shí)所有可能的宏觀態(tài)時(shí)所有可能的 . . . ,

42、 , , lM BB EF Dcl a 79第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 1 nT 21 ),(VEN 2 1 l a 2 l a nl a n 80第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 1 ),100(VE 2 1 10,19,21,18,2,7,23 l a 10,16, 4 , 7 ,33,21, 9 2 l a l a 37, 0 ,13, 4 ,26,13, 7 nl a n 81第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 （3）某一分布出現(xiàn)的概率是多少）某一分布出現(xiàn)的概率是多少? 根據(jù)根據(jù) 玻耳茲曼系統(tǒng)的玻耳茲曼系統(tǒng)的玻耳茲曼分玻耳茲曼分 布。布。 根據(jù)概率加法定理，某一分布出現(xiàn)的概率與這種根據(jù)概

43、率加法定理，某一分布出現(xiàn)的概率與這種 分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)成正比。分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)成正比。 12Tii 某一分布出現(xiàn)的概率為某一分布出現(xiàn)的概率為 1 () i ii TT P 總的微觀狀態(tài)數(shù)總的微觀狀態(tài)數(shù) 82第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 12 12 () ()()() () 1 i T TTT i i P PPP P 所以宏觀平衡態(tài)就是它的全部微觀態(tài)出現(xiàn)概率的總所以宏觀平衡態(tài)就是它的全部微觀態(tài)出現(xiàn)概率的總 和和,它是一個(gè)概率等于它是一個(gè)概率等于1的確定事件。的確定事件。 （4）一個(gè)熱力學(xué)平衡態(tài)出現(xiàn)的概率是多少）一個(gè)熱力學(xué)平衡態(tài)出現(xiàn)的概率是多少? 根據(jù)概率加法定理，在一定宏觀條件下系統(tǒng)任

44、一宏觀根據(jù)概率加法定理，在一定宏觀條件下系統(tǒng)任一宏觀 狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)等于對應(yīng)的各微觀態(tài)的概率之和狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)等于對應(yīng)的各微觀態(tài)的概率之和 83第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 對對取極值問題的討論等價(jià)于取極值問題的討論等價(jià)于討論討論ln的極值的極值 l a l l l l a N ! ! l ll l l aaNln!ln!lnln l ll l ll aaaNNln) 1(ln) 1(lnln 對對 兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得 利用利用近似近似 lnm!=m(lnm-1) 推導(dǎo)玻耳茲曼分布推導(dǎo)玻耳茲曼分布給出微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布給出微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布 84第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布

45、兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 求變分求變分 l a l ll l ll l l aaaalnlnln l l l l a a )ln(ln lnlnlnln lllll lll NNNaaaa l ll l ll aaaNNlnlnlnln 85第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 l a 由于由于 不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件 l l aN l ll aE 必須滿足必須滿足 l l aN0 0 l ll aE l a 86第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗 日乘子法，取拉氏乘子為日乘子法，取拉氏乘子為

46、a和和，分別乘以上面兩分別乘以上面兩 式，有式，有 l l aN0 0 l ll aE 令令 0)ln(ln l l l l a a 87第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 0)ln(ln ll l l a a EN 則有則有 0)ln( l l l a 即即 l ea ll 從中減去后兩式從中減去后兩式 l e a l l ln)ln( 88第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 l l l l l eaN l ll l ll l eaE s 上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布，稱上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布，稱 為玻耳茲曼分布。為玻耳茲曼分布。和和分別由下面條件決定分別由下面條件決定 l ea

47、ll 89第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為S S 的量子 的量子 態(tài)上的平均粒子數(shù)態(tài)上的平均粒子數(shù) s ef s s s eN s s s eE l e a l l 和和分別由下面條件決定分別由下面條件決定 l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 S 90第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 說明說明 （1）取極大值的條件要求滿足二級變分小于零）取極大值的條件要求滿足二級變分小于零 0ln 2 證明：由證明：由 l l l l a a )ln(ln 0 )( )ln(ln 2 2 l l l l l l a a a a 所以滿足取極大值

48、的條件，所以滿足取極大值的條件，玻耳茲曼分布的確是玻耳茲曼分布的確是 最可幾條件。最可幾條件。 91第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 考慮一個(gè)考慮一個(gè)對玻耳茲曼分布有微小偏離的分布的微對玻耳茲曼分布有微小偏離的分布的微 觀狀態(tài)數(shù)觀狀態(tài)數(shù) 例如例如 ), 21 ll aaaa 1122 , llll aaaa aaaa ),10,10,10 965 l a 如果發(fā)生相對偏離如果發(fā)生相對偏離 5 10 l l a a 5694 101,1010,1010 , 100001,1000010,1000001000, ll aa 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 一個(gè)對玻耳茲曼分布有微小偏離的分布一個(gè)對玻耳茲曼分

49、布有微小偏離的分布 （2）處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)的分布近似為最概然分布）處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)的分布近似為最概然分布 92第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 ln 2 1 lnln)ln( 2 l l l a a 2 )( 2 1 ln l l l a a 2 )( 2 1 ln 對對ln(+)作泰勒展開作泰勒展開 93第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 Naa a a l ll l l l 10102 10 2 1 10 2 1 )( 2 1 ln 取取N=1023的宏觀系統(tǒng)，的宏觀系統(tǒng)，微觀狀態(tài)數(shù)的相對變化微觀狀態(tài)數(shù)的相對變化 13 1 exp(10)1 2 1 l l a a 23 1 exp(

50、10)1 2 如果發(fā)生最大相對偏離如果發(fā)生最大相對偏離 同理得微觀狀態(tài)數(shù)的相對變化同理得微觀狀態(tài)數(shù)的相對變化 94第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 12Tii 由等概率原理和概率加法定理每一種分布出現(xiàn)的概率為由等概率原理和概率加法定理每一種分布出現(xiàn)的概率為 1 () i ii TT P 一個(gè)平衡態(tài)總的微觀狀態(tài)數(shù)一個(gè)平衡態(tài)總的微觀狀態(tài)數(shù) 由于最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)遠(yuǎn)大于別的分布由于最概然分布給出的微觀狀態(tài)數(shù)遠(yuǎn)大于別的分布 的微觀狀態(tài)數(shù)，所以的微觀狀態(tài)數(shù)，所以 () l Till ae 95第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 ()1 i ii T i TT P 即一個(gè)宏觀平衡態(tài)出現(xiàn)的概率其實(shí)就是它的

51、最概然分即一個(gè)宏觀平衡態(tài)出現(xiàn)的概率其實(shí)就是它的最概然分 布出現(xiàn)的概率，這個(gè)概率約等于布出現(xiàn)的概率，這個(gè)概率約等于1，是一個(gè)必然事件。所，是一個(gè)必然事件。所 以一個(gè)系統(tǒng)處于熱力學(xué)平衡態(tài)的分布可近似為其最概然分以一個(gè)系統(tǒng)處于熱力學(xué)平衡態(tài)的分布可近似為其最概然分 布。布。 與一個(gè)宏觀平衡態(tài)出現(xiàn)的概率相同與一個(gè)宏觀平衡態(tài)出現(xiàn)的概率相同 根據(jù)等概率原理和概率加法原理，最概然分布出現(xiàn)根據(jù)等概率原理和概率加法原理，最概然分布出現(xiàn) 的概率為的概率為 1 ( )1 T P 96第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 1, 1, 1 ll aN 97第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 經(jīng)典系統(tǒng)與玻耳茲曼系統(tǒng)遵守的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)相經(jīng)

52、典系統(tǒng)與玻耳茲曼系統(tǒng)遵守的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)相 同同經(jīng)典系統(tǒng)滿足的分布也是玻耳茲曼經(jīng)典系統(tǒng)滿足的分布也是玻耳茲曼 0 l l r l Ne h 0 l l l r l Ee h 0 l l l r ae h 98第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 同理可以求出玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中粒子的最概然布同理可以求出玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中粒子的最概然布 對對 l l ll EB a a )!1( ! )!1( . )!1ln(!ln)!1ln(ln llll l aa )1(ln) 1(ln 1)ln( !ln!ln)!ln(ln llll llll l llll l aa aa aa 兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得 67 玻

53、色分布和費(fèi)米分布玻色分布和費(fèi)米分布 若假設(shè)若假設(shè)N1，al1 ， l1,可得到：可得到： 99第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于al求變分求變分 l a 但這些但這些al不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件不完全是獨(dú)立的，必須滿足約束條件 l l aN l ll aE 則必須滿足則必須滿足 l l aN00 l ll aE llll l aaaln)ln(ln lnln)ln()(ln llllllll l aaaa 100第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗日乘數(shù)法，為求在此約束條件下的最大值，使用拉格朗日乘數(shù)法， 取未定因子為取未定因子為a和和分

54、別乘以上面兩式，有分別乘以上面兩式，有 l l aN0 0 l ll aE 令令 則有則有 0ln)ln(ln lllll aaaEN 0ln)ln( llll aa 1 l e a l l 從中減去前兩式從中減去前兩式 0ln)ln(ln llll l aaa l e al l ln) 1ln( 101第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 同理可導(dǎo)出費(fèi)米同理可導(dǎo)出費(fèi)米分布為分布為 s 上式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻色分上式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻色分 布。布。 a和和分別由下面條件決定分別由下面條件決定 1 l e N l l 1 l e E ll l 1 l e a l

55、 l 1 l e N l l 1 l e E ll l 102第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 玻色分布和費(fèi)米分布分布也可表示為處在能量為玻色分布和費(fèi)米分布分布也可表示為處在能量為S 的量子態(tài)的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)上的平均粒子數(shù) 1 1 s e f s 1 1 s e N s 1 s e E s s 1 1 l l l a e a和和分別由下面條件決定分別由下面條件決定 103第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 l ea ll 1 l e a l l 1 l e a l l l l aN l ll aE 104第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 如果參數(shù)如果參數(shù)滿足條件滿足條件 1 e l lll e

56、eeeee a l lll l 11 l lll e eeeee a l lll l 11 由于由于條件條件 1 1 1 l e a l l 1 e 等價(jià)等價(jià) 105第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 均稱為經(jīng)典極限條件，或稱非簡并性條件。均稱為經(jīng)典極限條件，或稱非簡并性條件。這時(shí)玻色這時(shí)玻色 分布和費(fèi)米分布過渡到玻耳茲曼分布。即滿足經(jīng)典極分布和費(fèi)米分布過渡到玻耳茲曼分布。即滿足經(jīng)典極 限條件的玻色限條件的玻色(費(fèi)米費(fèi)米)系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)同樣的分系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)同樣的分 布。布。 1 1 1 l e a l l 1 e 所以所以 106第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 當(dāng)滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，

57、微觀狀態(tài)數(shù)和分當(dāng)滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，微觀狀態(tài)數(shù)和分 布退化的規(guī)律布退化的規(guī)律 l l ea e a ll l l 1 ! . . N BM DFEB 107第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 量子統(tǒng)計(jì)量子統(tǒng)計(jì) 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì) 系統(tǒng)系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng) 經(jīng)典系統(tǒng)經(jīng)典系統(tǒng) 微觀狀態(tài)微觀狀態(tài)最概然分布最概然分布 滿足經(jīng)典極滿足經(jīng)典極 限條件時(shí)限條件時(shí) 滿足經(jīng)典極滿足經(jīng)典極 限條件時(shí)限條件時(shí) l ea ll 1 l e a l l 1 l e a l l l e h a r l l 0 ! . . N BM EB l a l l l l BM a N ! ! . )!1( ! )!1( . ll ll l E

58、B a a )!( ! ! . lll l l DF aa l a r l l l l cl ha N ) ( ! ! 0 ! . . N BM DF l a l l l l BM a N ! ! . l a r l l l l cl ha N ) ( ! ! 0 l ea ll l ea ll l ea ll l e h a r l l 0 第六章小節(jié)第六章小節(jié) 108第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 隨幾事件：在一定宏觀條件下，還存在各種偶然因素，隨幾事件：在一定宏觀條件下，還存在各種偶然因素， 使得事件使得事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，則稱事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，則稱事件A為為隨幾事隨幾事

59、 件件。 附錄附錄B 概率基礎(chǔ)知識概率基礎(chǔ)知識 1、隨幾事件的概率加法定理、隨幾事件的概率加法定理 其中其中 01 A P lim A A N N P N 隨幾事件隨幾事件A的概率的概率 例如多次投擲色例如多次投擲色 子出現(xiàn)子出現(xiàn)4的概率為的概率為 4 4 1 lim 6 N N P N 109第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 如果兩個(gè)隨幾事件在一次觀測中不可能同時(shí)發(fā)生，則如果兩個(gè)隨幾事件在一次觀測中不可能同時(shí)發(fā)生，則 稱這兩個(gè)事件為稱這兩個(gè)事件為互斥事件互斥事件。 2、互斥事件概率的加法定理、互斥事件概率的加法定理 或或 lim AB A BAB N NN PPP N 互斥事件互斥事件A或事件

60、或事件B出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率 A B CABC PPPP 1 i i P 全部互斥事件出現(xiàn)的的概率全部互斥事件出現(xiàn)的的概率 110第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 根據(jù)概率加法定理在一定宏觀條件下，系統(tǒng)任根據(jù)概率加法定理在一定宏觀條件下，系統(tǒng)任 一宏觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)等于對應(yīng)的各微觀態(tài)的概一宏觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)等于對應(yīng)的各微觀態(tài)的概 率和。率和。 如擲骰子出現(xiàn)雙數(shù)的概率為如擲骰子出現(xiàn)雙數(shù)的概率為 246 1111 6662 PPPP 雙 135 1111 6662 PPPP 單 如擲骰子出現(xiàn)單數(shù)的概率為如擲骰子出現(xiàn)單數(shù)的概率為 111第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 如果兩個(gè)隨幾事件彼此之間沒有任