數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

1、畢 業(yè) 論 文 微元法在物理解題中的應(yīng)用微元法在物理解題中的應(yīng)用 趙 云 云 指導(dǎo)教師姓名： 項(xiàng)明寅 副教授 黃山學(xué)院 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 學(xué)士 學(xué)科、專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文提交日期： 2007 年 05 月 論文答辯日期: 2007 年 05 月 學(xué)位授予單位：黃山學(xué)院 答辯委員會(huì)主席： 評(píng) 閱 人： 2007 年 05 月 dissertation submitted to huangshan university for the bachelor degree of maths and applied maths the apply of element method in sol

2、ving physics problems byby zhao yunyun supervisor: associate prof. xiang mingyin january 2007 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 i 微元法在物理解題中的應(yīng)用微元法在物理解題中的應(yīng)用 摘摘要要 微元法是分析連續(xù)過(guò)程積累的一種方法，故在普通物理學(xué)中應(yīng)用廣泛在進(jìn)入大學(xué)學(xué) 習(xí)之初，常常因從中學(xué)的恒力問(wèn)題過(guò)渡到變力問(wèn)題，時(shí)而思路混亂，于是牛頓采用“微 元”方法處理分析物理現(xiàn)象，創(chuàng)立微積分學(xué)本文追隨著大師的思想，介紹物理解題所 采用的微元法在力學(xué)和電磁學(xué)方面的具體的應(yīng)用 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：微元法，萬(wàn)有引力，牛頓運(yùn)動(dòng)定律，磁通量 微

3、元法在物理解題中的應(yīng)用 ii the apply of element method in solving physics problems abstract element analysis is the process of continuous accumulation of a method, therefore, in general physics widely used. at the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondary

4、 issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, so newton used“element method”dealing with the physical phenomena analysis, the creation of calculus. this paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the element method in mechanics and electromagnetic

5、fields of science, the specific application. key words: element method, universal gravitation, newtons laws of motion, flux 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 iii 目目 錄錄 第一章第一章 緒緒 論論 1 第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ) 1 2-1 微元法的定義 1 2-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ) 3 第三章第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 4 第四章第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 6 第五章第五章 總結(jié)總結(jié) 8 參考文

6、獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 9 致致 謝謝 10 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 1 第一章第一章 緒緒論論 “微元法”是在物理解題時(shí)所采用的一種特殊的分析方法這種方法的精髓就是把確定的研究對(duì)象 分割為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通過(guò)對(duì)所抽取的這一部分的研究，就 可以認(rèn)為是整體或全過(guò)程的性質(zhì)和規(guī)律，它實(shí)質(zhì)上是“從復(fù)合到單一，從單一到復(fù)合”的分析與綜合 思維方法，因此微元法具有廣泛的應(yīng)用性 第二章第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ) 2-12-1 微元法的定義微元法的定義 所謂微元法就是指將連續(xù)的（線，面，體）看成無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限?。ň€元，面元，體元）的集合，整 個(gè)物體的物理量就變?yōu)闊o(wú)

7、限個(gè)小微元相應(yīng)物理量的“無(wú)限積累” ，從而將物理問(wèn)題“翻譯”成為數(shù)學(xué)問(wèn) 題的一種方法微元法在某些文獻(xiàn)中被命名為元過(guò)程分析法，它把一個(gè)極小的微元過(guò)程和一個(gè)大過(guò)程 視為本質(zhì)上的相同只要分析透了微元的物理狀況（實(shí)際上可推廣到一切動(dòng)態(tài)變化）及其邊界條件的 相互關(guān)系，就可以根據(jù)定積分去推倒全過(guò)程的基本規(guī)律 在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，有大量的問(wèn)題，定量求解它們的途徑都可以歸結(jié)為一種和的極限的運(yùn)動(dòng)，這 種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象，就成為定積分微元法概念這類問(wèn)題，在力學(xué)中比比皆是，也就是說(shuō)，在力 學(xué)中，有不少的物理量，可以借助于微元法來(lái)計(jì)算其滿足條件的數(shù)值大小或分析其作為變量的變化期 間和變化規(guī)律，所以，定積分在力學(xué)中得到

8、廣泛的應(yīng)用 應(yīng)用定積分理論解決力學(xué)實(shí)際問(wèn)題的第一步是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，這一步往往比較困難，而微元 法（亦稱為微元法分析法，元素法）恰是解決這一困難，實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的有力 設(shè)求解的實(shí)際問(wèn)題可化為在區(qū)間上的某個(gè)量，如果我們?cè)诰哂写硇缘娜我恍^(qū)間, a bf 上，以“勻代不勻”或“不變代變”找到這個(gè)量的微元,則根據(jù)微元,則根據(jù)微, x xdx( )dff x dx 分基本定理，這個(gè)量就可以應(yīng)用定積分計(jì)算顯然，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在微( )( )( ) b a f af bf x dx 小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析，尋找并列出正確的微分式，故而這種方法稱為微元法 2-22-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ)微元法的應(yīng)用理

9、論基礎(chǔ) 2-2-1 微元法的理論基礎(chǔ)微元法的理論基礎(chǔ) 我們知道，能夠應(yīng)用微元法求解的量應(yīng)該具備下列條件：f 微元法在物理解題中的應(yīng)用 2 （1）它是一個(gè)與變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；, a b （2）它對(duì)于區(qū)間具有可加性，即如果把分成若干個(gè)小區(qū)間，則它能相應(yīng)地分成若干, a b, a b 個(gè)對(duì)應(yīng)的部分量，且該量就等于所有部分量之和； （3）部分量的近似值可以表示為，這樣就可以用定積分來(lái)表示這個(gè)量 i f( ) ii fxf 將滿足上述條件的量寫成可運(yùn)算的積分表達(dá)式的步驟可歸納為：f （1）根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量（例如）作為積分變量并確定它的變化區(qū)間；x, a b （2）將區(qū)間分成若干個(gè)小

10、區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作 ，求出相應(yīng)與這個(gè)小, a b, x xdx 區(qū)間的部分量的近似值，如果能近似地表示為 x 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)與的乘積（這里ff f xdx 與相差一個(gè)比高階的無(wú)窮?。?，就可以將它記作為，即；f f x dxdxdf( )dff x dx （3）以所求量的微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作定積分得：f f x dx, a b ( ) b a ff x dx 結(jié)果即為所求的實(shí)際量，根據(jù)所求問(wèn)題的不同，它可以是一個(gè)具體的數(shù)值，也可以是一個(gè)函數(shù) 作為微元法應(yīng)用的實(shí)例，我們考察一個(gè)以速度定積分作變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，欲求它在時(shí)間 vv t 間隔內(nèi)產(chǎn)生的位移的大小, a b 在這里，速度是

11、一個(gè)隨時(shí)間變化的量，因此求該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的位移就不能冒失的應(yīng), a b 用這樣的簡(jiǎn)單公式了，但只要我們注意到質(zhì)點(diǎn)的速度是連續(xù)變化的，即它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，xvt 在一段很短的時(shí)間內(nèi)，它的變化很小，近似不變，這就為我們提供了以“不變代變”的條件，而且所 取的時(shí)間間隔越短，這種近似代替的精確度就越高 我們所求的位移具有可加性，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)的總位移等于每一個(gè)小區(qū)間的位移之和，, a b 這樣就使它具備了用微元法求解的條件具備了條件就可以著手解決問(wèn)題了，首先“化整為零” ，把時(shí) 間區(qū)間用分點(diǎn)、，分為段，而且滿足，這樣, a b 0 t 1 t 2 t 1n t n tn 011nn attt

12、tb 各段區(qū)間長(zhǎng)為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在第 個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)所產(chǎn)生的位 010 ttt 121 ttt 11nnn ttt i 移為，在這一短暫時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的速度變化很小，可近似視為不變，因此質(zhì)點(diǎn)在這一短暫時(shí) i x 間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)就可視為勻速運(yùn)動(dòng)而利用公式求其位移了，即;把各個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的xvt( ) iii xv tt 位移相加，即得，當(dāng)，即可得到此變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的位移 1 0 ( ) n ii i xv tt 0 i t , a b 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 3 ，當(dāng)全部的同時(shí)趨于 0 時(shí)，的極限存在，則此極限值就是質(zhì)點(diǎn)的位移，也就 1 0 0 lim( ) i n ii t i xv tt i tx

13、是函數(shù)在區(qū)間 上的定積分 yv t, a b( ) b a xv t dt 由此，我們可以歸納出如下的解題步驟： （1）由于質(zhì)點(diǎn)的速度是隨時(shí)間變化的，因此選取 作為積分變量，其變化區(qū)間為；vt, a b （2）將分為若干個(gè)小區(qū)間，在任意小區(qū)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移，, a b 0 t 1 t 1n t i t( ) iii xv tt 因?yàn)樗俣鹊淖兓沁B續(xù)的，因此可以表示為一個(gè)連續(xù)函數(shù)與的乘積，此時(shí)可將它記作， i x v tdtdx 即； dxv t dt （3）以所求量的微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作，對(duì)于具體問(wèn)題，x v t dt, a b( ) b a fv t dt 的積分后代入，下限即可得到

14、運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在在區(qū)間上的位移 v t, a b, a b 上述步驟亦可規(guī)律化為： （1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題性質(zhì)確定積分變量及其變化區(qū)間； （2）將變量的變化區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，求出每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)待求量的表達(dá)式，這就是所謂 的“化整為零” ； （3）待求量在變量的變化區(qū)間內(nèi)具有可加性，利用求和的方法將對(duì)應(yīng)于每一個(gè)小區(qū)間的待求量的 部分量相加，這就是所謂的“集零為整” ，得到待求量的近似值； （4）當(dāng)每一個(gè)小區(qū)間的原寬度趨與零時(shí)，即可得到待求量的極限，也就是待求量的準(zhǔn)確值 2-2-2 本文所涉及的物理學(xué)知識(shí)：本文所涉及的物理學(xué)知識(shí)： 萬(wàn)有引力定律質(zhì)量分別是和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的引力為其中是 1 m 2 m

15、12 12 3 12 m m fg r 12 f 作用在上的引力，是由指向的矢徑是萬(wàn)有引力系數(shù)；年國(guó)際科學(xué)聯(lián) 1 m 2 m 12 r 1 m 2 mg 盟理事會(huì)科技數(shù)據(jù)委員會(huì)推薦的數(shù)值為；codata 1132 6.67259 10gmkg s 重力加速度；gmg 2 9.8/gm s 牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律；fma 合 水的靜壓力 為水的比重；fgvv 液 功率 由歐姆定律；pir 2 v pir r 功 ；wfs 2 v wptt r 微元法在物理解題中的應(yīng)用 4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 對(duì)于空間形體，繞,軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為xyz ， 2222 ()() x iyzdmyzdv ， 2222 ()()

16、 y ixzdmxzdv ， 2222 ()() z ixydmxydv ； 222222 1 ()()() 2 oxyz ixyzdmxyzdviii 真空中的靜電荷場(chǎng)強(qiáng)公式 ， 其中 k 是靜電力常量； 2 q ek nr ， ，其中是電磁感應(yīng)強(qiáng)度；eblvqcecblvb 電磁感應(yīng)定律 ， 其中磁通量 d dt bs 第三章第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 下面舉例說(shuō)明說(shuō)明微元的具體應(yīng)用 1 液體靜壓力液體靜壓力 例 1 如圖（1）所示為一管道的圓形閘門（半徑為 3 米）問(wèn)水平面齊及直徑時(shí)，閘門所受到的水 的靜壓力為多大？ 解：該圓的方程為 ， 22 9xy 由于在相同深

17、度處水的靜壓力相同，其值等于水的比重與( ) 深度的乘積，故當(dāng)很小時(shí)，閘門上從深度到這一狹 xxxxx 小上所受的靜壓力為a 2 29pdpxx 從而閘門上所受的總壓力為 圖（1） 3 2 0 2918 px dx 2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例 2 計(jì)算半徑為，質(zhì)量為的均勻分布球體繞任一直徑及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rm 解 在高等數(shù)學(xué)中對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，是微分法在物理學(xué)中的重要應(yīng)用之一對(duì)于空間形體， 繞,軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為xyz ， 2222 ()() x iyzdmyzdv ， (1) 2222 ()() y ixzdmxzdv 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 5 ， 2222 ()() z ixydmxy

18、dv 222222 1 ()()() 2 oxyz ixyzdmxyzdviii 在（1）式中或?yàn)橘|(zhì)量元或體積元，或積分元在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)式為球dmdvdv 體密度，一般為,的函數(shù)，在本題中因質(zhì)量均勻分布，故為常量考慮到對(duì)稱性，xyz 3 4 3 m r （球心在原點(diǎn)）應(yīng)有，只要求出其中一個(gè)如，則，及即可得到 xyz iii x i y i z i o i 對(duì)（1）式微分，有,它表示質(zhì)量為的質(zhì)量元繞 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 2222 x diyzdmyzdvdm 慣量，()是 dm 到 x 軸的距離的平方，求出所有的 dm 對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即得到整個(gè)球體的 22 yzx 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 在本題中，

19、如用直角坐標(biāo)系，則有,則由（1）式有dmdxdydz 22222 22222 2222 ()() rrxrxy x rrxrxy iyzdxdydzdxdyyzdz 22 3 2 22 2222222 1 3 2() rrx rrx dxyrxyrxy 22 1 2 () r r rxdx 52 1162 2153 rmr 因，所以 2 2 5yzz iiimr 2 31 25 () oxyz iiiimr 如用柱坐標(biāo)系，有，則dmrdrd dz 222 xyr 22 22 2 23 00 rrx z rx ir rdrd dzdr drdz 322 0 4 r rrr dr 3 2 222

20、222 2 5 0 0 () 44 5 r r rrr rr rr dr 22 3 2 22 05 () 4 3 r rr r 2 2 5mr 微元法在物理解題中的應(yīng)用 6 如用球坐標(biāo)系有 ,有 2 sindmrdrd d 2222 sinyxr 2 43234 2 5 000 sin r z irdrd dmrdsindr dr 2 2 5mr 在該問(wèn)題中用球坐標(biāo)系，計(jì)算較為簡(jiǎn)便 然而，在物理學(xué)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，往往不是通過(guò)計(jì)算三重積分的方法來(lái)進(jìn)行的如在本問(wèn)題 中通常以圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（為圓板質(zhì)量，為圓板半徑）為基礎(chǔ)，把球體看成是由許多 2 1 2 imrmr 薄圓板組成，并把任一薄圓板的轉(zhuǎn)

21、動(dòng)慣量記為 , (2) 2 1 2x didmr 其中為薄圓板質(zhì)量求出所有的薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和技即得到整個(gè)球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣dm 量每一個(gè)薄圓板都繞同一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，且,將此式代入（2）式，注意到， 2 dmy dx 222 yxr 有 4222 112 225 () r x r iy dxrxdxmr 有時(shí)，常常選取薄球殼，計(jì)算也非常方便，把球看作是由許多薄球殼所組成，由于薄球殼上dm 的每一點(diǎn)到球心的距離都相同，則每一球殼繞其球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， （3） 2 o didmr 且,將此代入（3）式有 2 4dmr dr ， 4 3 5 0 4 r o ir drmr 因，故 2 33331 2

22、2225 () oxyzxyz iiiiiiimr 2 2 5xyz iiimr 第四章第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 3 功與平均功率功與平均功率 例 3 在純電阻電路圖(2)中,已知交流電壓為求 m vv sin t 在一個(gè)周期內(nèi)消耗在電阻上的能量，并求0,t 2 t rw 與之相當(dāng)?shù)闹绷麟妷?解：在直流電壓下，功率，那么在時(shí)間t內(nèi) 圖（2） 0 vv 0 v p r r 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 7 所做的功為現(xiàn)在為交流電壓，瞬時(shí)功率為 2 0 v t wpt r v 2 2 ( ) m v p tsin t r 這相當(dāng)于：在任意一小段時(shí)間區(qū)間上，當(dāng)很小是，可把近似看作恒為

23、 ,0,t ttttv 的情形于是取功的微元,并由此求得 m v sin t dwp t dt 222 2 00 ( ) t mm vv wp t dtsin t dt rr 而平均功率則為 222 0 (/2)1 ( ) 22 t mmm vvv pp t dt trrr 例 4如圖（4）所示，某人用力轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為的轉(zhuǎn)盤，力的大小不變；方向始終與用力的作fr 用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一周的過(guò)程中該力做多少功？ 解：在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一周的過(guò)程中，力的方向時(shí)刻發(fā)生變化，但每一f 瞬時(shí)力總是與該瞬時(shí)的速度方向一致，即在每一瞬時(shí)都與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)過(guò)的ff 極小位移同向，這樣無(wú)數(shù)的極小位移， ，都s 1 s

24、2 s 3 s n s 與那一瞬時(shí)的力同向，因而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，力做功應(yīng)等于ff 在各極小段位移所做功的代數(shù)和，即f 圖（3） 12n wfsfsfs 12 () n fsss 2fr 4 場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng) 例 5如圖（4）所示，均勻帶電圓環(huán)所帶電荷量為，半徑為，圓心為，為垂直于圓環(huán)qrop 平面的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，試求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)oplp 解：設(shè)想將圓環(huán)等分為個(gè)小段，當(dāng)相當(dāng)大的時(shí)候，nn 每一小段都可以看作點(diǎn)電荷，有真空中點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可求 得每一點(diǎn)電荷在處的場(chǎng)強(qiáng)為： p 圖(4) 2 22 qq ekk nrn rl 其中為靜電力常量由對(duì)稱性可知各微元帶電環(huán)在處的場(chǎng)強(qiáng)的垂直于軸向的kpe 分量相互抵

25、消，而 e 的軸向分量之和，即為帶電環(huán)在 p 處的場(chǎng)強(qiáng)為： y e x e 微元法在物理解題中的應(yīng)用 8 yx ene 22 cos () q nk n rl 22 22 () ql nk n rl rl 322 ql k rl 例 6如圖（5）所示，一無(wú)限長(zhǎng)的形金屬導(dǎo)軌，豎直放置且置于足夠大的水平均勻磁場(chǎng)中，磁u 感應(yīng)強(qiáng)度，導(dǎo)軌間距為，上方串一耐壓力足夠大的電容器，電容為，開(kāi)始時(shí)不帶電另有一根blc 質(zhì)量為的金屬棒，可無(wú)摩擦地沿導(dǎo)軌滑動(dòng)而不脫落，設(shè)整個(gè)系統(tǒng)的電阻不計(jì)，金屬桿從靜止開(kāi)mmn 始滑動(dòng)，問(wèn)棒下滑高度時(shí)的速度多大？h 解：設(shè)金屬桿運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)速度為，此時(shí)棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)v ，eblv 對(duì)應(yīng)電容器充電，電荷量為qcecblv 如果換個(gè)角度考慮短暫時(shí)間，金屬桿速度變化為,電容器又被tv 蟲微小電荷量，則有，充電電流為qqc ecbl v 圖（5） qcbl vv icblcbla ttt 其中 a 為此時(shí)棒的加速度，這時(shí)棒收到向上的安培力為 22 fbilcb l a 對(duì)棒，根據(jù)牛頓第二定律有即故mnmgfma 22 macb l a 22 mg a mcb l 從上式中知，加速度大小不變，這表明金屬棒在勻加速度下滑，當(dāng)棒下滑高度時(shí)，h 速度為 22 2 2 mgh vah