例析幾類(lèi)避免或簡(jiǎn)化分類(lèi)討論的技巧

1、例析幾類(lèi)避免或簡(jiǎn)化分類(lèi)討論的技巧內(nèi)容摘要：分類(lèi)討論問(wèn)題是高中生必須掌握的，然而分類(lèi)討論的繁雜過(guò)程，對(duì)于大家是非常棘手的問(wèn)題，本文通過(guò)一些例題描述了如何有效的避免或者簡(jiǎn)化分類(lèi)討論。關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論 函數(shù) 分析 解答 隨著高考對(duì)能力要求的提高，“分類(lèi)討論”越來(lái)越受到命題者的青睞，而同學(xué)們卻因?yàn)椤胺诸?lèi)討論”的繁雜、易錯(cuò)，總是對(duì)其心存恐懼.其實(shí)，相當(dāng)多的“分類(lèi)討論”問(wèn)題，都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ǎ苊饣蚝?jiǎn)化其討論的過(guò)程。 一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，避免討論導(dǎo)數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具，解決與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的內(nèi)容，往往能起到避免討論的作用。例1 已知函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且（1）求的解析式；（2）若在上是增函數(shù)，求實(shí)

2、數(shù)的取值范圍。分析：這個(gè)題的（1）自然容易得到；（2）的在為增函數(shù)，我們?nèi)菀紫氲椒謥?lái)討論，即如下：當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)，是增函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，的圖象為二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸的方程為 當(dāng)時(shí)，得到 當(dāng)時(shí)，得到綜上但是如果我在（2）的時(shí)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，就可以避免討論，具體如下：解：（2）由題得在為增函數(shù)所以在恒成立即 解之得：二、消去參數(shù)，以避免討論大家知道，之所以要進(jìn)行分類(lèi)討論，最重要的一個(gè)原因就是題中含有參數(shù)，所以，如果想辦法消去題中的參數(shù)，就不用分類(lèi)討論。例2、設(shè)，且 試 比 較與的大小分析：按常規(guī)思路，本題需去絕對(duì)值，分設(shè) 和 進(jìn)行討論，但用這種方法很難得到正確結(jié)果。因此，我們通過(guò)“底數(shù)相同”這一特征，

3、聯(lián)想到換底公式，可以消去參數(shù)，從而避免分類(lèi)討論。解： ， ， .又 原式 1，三、整體代換，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論當(dāng)需要分類(lèi)討論的問(wèn)題涉及若干個(gè)體時(shí)，如能把若干個(gè)體視作一個(gè)整體處理，采用整體代換的換元技巧，往往可以使討論得到簡(jiǎn)化。例 3 求的值域分析：對(duì)于表達(dá)式我們一看就知道先求出兩段的值域再取它們的并集，其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)在兩段區(qū)間里可以如下操作： 評(píng)注：這種整體把握的思路，避開(kāi)了教復(fù)雜的分類(lèi)討論.整體代換或整體處理，就是采用分解、組合等手段，將題目原有的整體結(jié)構(gòu)變換成一種新的整體結(jié)構(gòu)，從而化解難點(diǎn).四、數(shù)與形結(jié)合，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，是通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的

4、思想.在需分類(lèi)討論的問(wèn)題中，如能恰當(dāng)?shù)陌褑?wèn)題的數(shù)量特征與圖形分析結(jié)合，則有利于簡(jiǎn)化討論例 4 已知在上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）.a b c d 分析：本題的常規(guī)解法是令，則 則 ， .在上 是 的減函數(shù)，于是（1）若 ，則是 在上的減函數(shù)，從而是 在上的增函數(shù)，但這與題意不符，因此這樣的不存在；（2）若 ，則是 在上的增函數(shù)，從而是 在上的減函數(shù)，要使 是 在上的減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)， 綜合（1），（2）知 選b。以上討論思路也清楚，解法也正確，但過(guò)程較繁雜.若采用數(shù)形結(jié)合的方法，則簡(jiǎn)化了這種討論.解：因?yàn)?表示斜率是，過(guò)點(diǎn)的一條 直 線，為 確 保 定 義 域上的 ，只需在時(shí)有（可簡(jiǎn)單構(gòu)造

5、減函數(shù)的直線）從而 ，又由函數(shù)的增減性知，故 的取值范圍是。 評(píng)注：這一數(shù)形結(jié)合的思想巧妙把參數(shù)的分類(lèi)討論問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線的斜率問(wèn)題，使討論過(guò)程大為簡(jiǎn)化。例 5 設(shè) 集 合 ，.若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍分析：若由得則 轉(zhuǎn) 化 為 定 區(qū) 間上一元二次方程有解的問(wèn)題，將有一場(chǎng)艱難的討論，換一思路，集合 a、b 有明顯的幾何意義，集合 a 是拋物線上的點(diǎn)集，集合 b 是一條線段上的點(diǎn)集. ，只須兩圖形有交點(diǎn)解：若由得，所以，即 或而時(shí)拋物線與線段明顯無(wú)交點(diǎn)，舍去.當(dāng)時(shí)與線段相切的拋物線是 ，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是 ，因?yàn)閽佄锞€過(guò)定點(diǎn)（0，2）.或，而 時(shí)拋物線與線段無(wú)交點(diǎn).。五、析出參數(shù)或主參易位，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論有很多題目，已知參數(shù)的范圍，要求主元的范圍.我們不妨來(lái)個(gè)主參易位或單獨(dú)把參數(shù)用主元表示出來(lái)，可避免或簡(jiǎn)化分類(lèi)討論。例 6 實(shí)數(shù) a在什么范圍內(nèi)，方程 在上有解.解析：這是一道分類(lèi)討論題，常規(guī)思路是將原方程看成 的一元二次方程，在判別式 條件下，觀察二次函數(shù)圖象與 軸的交點(diǎn)是否落在區(qū)間內(nèi)，進(jìn)行討論，過(guò)程較繁瑣。若我們改