淺談向量中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想

1、淺談向量中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想 研究與解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將反映問題的抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的空間圖形結(jié)合起來考查，即將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來解決問題的一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，稱為“數(shù)形結(jié)合的思想方法”。數(shù)形結(jié)合思想作為最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位。向量既具有數(shù)的特性，又具有形的特征，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，其廣泛應(yīng)用于函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何之中，運(yùn)用向量法和坐標(biāo)法可以簡(jiǎn)捷、規(guī)范地處理數(shù)學(xué)中的許多問題。在處理有關(guān)度量、角度、平行、垂直、共線、夾角、距離等問題時(shí)，運(yùn)用向量知識(shí)，可以使問題直觀化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向“定量

2、”研究，因而成為數(shù)學(xué)解題的強(qiáng)力工具，成為聯(lián)系代數(shù)關(guān)系與幾何圖形的紐帶。下面結(jié)合例題來說明向量學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合思想。 一、“形”中覓“數(shù)” 很多數(shù)學(xué)問題，需要根據(jù)圖形尋求數(shù)量關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形。向量的代數(shù)表示是向量的坐標(biāo)，引入向量的坐標(biāo)表示后，可以使向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，很多幾何問題，像共線、共點(diǎn)等較難問題的證明就可以轉(zhuǎn)化為較為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證，使問題獲解。wtbx 例1 設(shè)拋物線c：y=x2的焦點(diǎn)為f，動(dòng)點(diǎn)p在直線l：x-y-2=o上運(yùn)動(dòng)，過p作拋物線c的兩條切線pa、pb且與拋物線c分別相切于a、b兩點(diǎn)。 求證：pfa=pfb。 證明：設(shè)切點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為（x0，x

3、02），（x1，x12）（x1x0）， 則fa = （x0，x02-14）， fp=（x0+x12x0x114）， fb=（x1，x12-14）。 由于p點(diǎn)在拋物線外，則|fp|0， cosafp=fpfa|fp|fa| =x0+x12x0+(x0x114)(x0214)|fp|x20+(x0214)2 =x0x1+14fp。 同理，cosbfp=fpfb|fp|fb| =x0+x12x1+(x0x114)(x214)|fp|x12+(x1214)2 =(x0x1+14)fp。afp=bfp。 例2 在rtabc中，已知bc=a，若長(zhǎng)為2a的線段pq以點(diǎn)a為中點(diǎn)，問pq與bc的夾角取何值時(shí)，b

4、pcq的值最大？并求出這個(gè)最大值。 解：以直角頂點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系。 設(shè)|ab|=c，|ac|=b，則a（o，o），b（c，o），c（o，b）， 且|pq|=2a，|bc|=a，設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，y），則q（- x，-y）， bp=（x-c，y）,cq=（- x，-y-b）， bc=（-c，b）,pq=（-2x，-2y）， bpcq=（x-c，y）（-x，-y-b） =-（x2+y2）+cx-by。 cos=pqbc|pq|bc|=cxbya2， cx-by=a2cos， bpcq=-a2+ a2cos， 故當(dāng)cos=1，即=0（pq與bc方向相同）

5、時(shí)，bpcq最大，最大值為0。 二、“數(shù)”上構(gòu)“形” 很多數(shù)學(xué)問題，本身是代數(shù)問題，但通過觀察可發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征，由這種幾何特征可以發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，從而將代數(shù)問題化為幾何問題。向量的雙重身份，注定成為聯(lián)系數(shù)與形的紐帶，許多代數(shù)問題可通過構(gòu)造向量來處理解決。wtbx 例3 求證：（ac+bd）2（a2+b2）(c2+d2)。 證明：設(shè)oa=（a,b），ob=（c,d）， 當(dāng)oa，ob中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，所證不等式00成立。 當(dāng)oa，ob均不是零向量時(shí)，設(shè)其夾角為，則有 cos=oaob|oa|ob|=ac+bda2+b2c2+d2。 |cos|1， |ac+bda2+b2c2+

6、d2|1， 即（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）。 三、數(shù)形結(jié)合 用形研究數(shù)，用數(shù)研究形，相互結(jié)合，互為補(bǔ)充，相得益彰，使問題變得直觀、簡(jiǎn)捷、思路易尋。向量中向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，是數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的完美體現(xiàn)。 例4 已知拋物線y2=x+1,定點(diǎn)a（3，1）,b為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)p在線段ab上，且有bppa=12，當(dāng)點(diǎn)b在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)p的軌跡方程，并指出這個(gè)軌跡為哪種曲線 ？ 解：設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，y）,點(diǎn)b的坐標(biāo)為（x1，y1），則 oa=（3，1），op=（x，y），ob=（x1，y1）。 pa=oa-op=（3-x，1-y）， bp=op-ob=（x-x1,y-y1）。 b，p，a三點(diǎn)共線，且bppa=12， jb(3-x=2x-2x, 1-y=2y-2y1，jb)得jb(x1=sx(12sx)(3x-3)，y1=sx(12sx)(3y-1)。jb) 點(diǎn)b（x1，y1）在拋物線y2=x+1上， （3y12）2=32（x-1）+1， 化簡(jiǎn)得x=32y2-y+12,即為p點(diǎn)的軌跡方程，其軌跡為拋物線。 華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！毕蛄渴埂皵?shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合在了一起，將數(shù)學(xué)的解題領(lǐng)入了