高中數學案例：“函數的奇偶性”教學案例

1、高中數學案例淺談啟發(fā)式教學在高中數學課堂中的應用“函數的奇偶性”教學案例一、案例背景葉圣陶先生說：“教者，蓋在于引導、啟發(fā)?！?新課程標準的實施也要求教師從傳統的“填鴨式”教學方法向“啟發(fā)式”教學方法轉變。教師把自己視為教學的指導者、促進者和幫助者，是“帶著學生走向知識”而不是“帶著知識走向學生”?；诖耍n堂上教師可以精心組織教材，恰當的設計提問，引導，啟發(fā)學生自主地去尋找，歸納，掌握知識。下面就以函數的奇偶性為例講講啟發(fā)式教學在高中數學課堂上的應用。二 、情景再現函數是高中數學中學生首次接觸的較為抽象的概念，而函數的奇偶性又是函數的一個重要性質 , 它有助于培養(yǎng)學生的理解能力，推理論證能力

2、和探索精神，在高中數學中有廣泛的應用，本節(jié)課研究的主要知識點有： 1 、函數奇偶性的定義。2 、利用奇、偶函數的定義判斷某些簡單函數的奇偶性。3 、若 f1(x) 為 r上的奇函數， f2(x) 為 r 上的奇函數， g(x) 為 r 上的偶函數， h(x) 為 r 上的偶函數，探究 f1(x).h(x),f1(x)f2(x),g(x)h(x) 的奇偶性。4 、奇函數，偶函數的圖像的特點 探究一 : 師：根據課本上函數奇偶性的定義：一般地，如果對于函數f(x)定義域d內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數;如果對于函數f(x)定義域d內的任意一個x,都有f(-x

3、)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數。若d是函數的定義域，如果對 d 內的任意一個 x, 必有一個 -x 也在 d 內，這可以得到什么啟示？ 生：這說明如果這個函數具有奇偶性，那么首先它的定義域一定關于坐標原點對稱。 師：回答得很好！請同學們再思考一下，如果一個函數的定義域不關于坐標原點對稱，那么這個函數還會是奇函數或偶函數嗎？ 生：一定不會，因為首先定義域沒有關于原點對稱，失去了是奇函數或偶函數成立的前提條件。這個函數肯定既不是奇函數也不是偶函數。師：非常正確！探究二：師：下面同學們根據奇函數，偶函數的定義判斷下列函數的奇偶性： （ 1 ） f（x） = 3x （2）f（x） =-x

4、 2+2（3）f（x）= x+1（4）f（x）= x(x2 +1) 師：這四道題目中的定義域是什么？生：這四小題中的定義域都是xr，關于原點對稱。師：如何根據奇函數，偶函數的定義去判斷函數的奇偶性？生一： f（x） = 3x是奇函數; 是偶函數 ;生三：同理，(3) 既不是奇函數也不是偶函數 （4）是奇函數 . 師：完全正確！如果我將（2 ）f（x） = -x 2+2加上條件x ,那么（2）中的f（x） 還是偶函數嗎？生：不是，因為定義域x沒有關于原點對稱。師：所以判斷函數的奇偶性應該先看什么？生：定義域有沒有關于原點對稱！師：很好。以上的四個函數都是較為簡單的函數，而且定義域都是能夠直接得到

5、的，若我們把（1）改成：，（2）改成 判斷它們的奇偶性有什么變化？生：先求定義域生一：（1）既不是奇函數，也不是偶函數，因為它的定義域變成了，沒有關于原點對稱，所以不具有奇偶性。生二：（2）仍然是偶函數，因為它的定義域變成了，還關于原點對稱，一樣是偶函數。師：由此，請同學們自己歸納一下：判斷函數的奇偶性可以分成幾個步驟？生：可以分成三個步驟：第一步先看定義域（沒有直接給出的要先求出定義域）有沒有關于原點對稱，第二步，代入-x，求出f(-x),第三步，把f(-x)和f(x)比較得出結論。師：很好。學習了用定義法去判斷一些簡單函數奇偶性的步驟后，請同學們思考一下一次函數f(x)=kx+b(k 0)

6、 的奇偶性？請同桌之間展開討論。 生 1一：有可能是奇函數，如當 b=0 時， f(x)=kx(k 0) 滿足 f(-x)=-f(x) 。 生 二 ：他說的正確，但我認為 f(x)=kx+b(k 0) 一定不是偶函數，因為 f(-x) f(x). 師：你們總結的很好，當 b=0 時， f(x)=kx(k 0) 滿足 f(-x)=-f(x) ；當 b 0 時， f(-x) f(x) ， f(-x) -f(x),f(x)=kx+b(k 0) 既不是奇函數，也不是偶函數。 那同學們再思考二次函數 f(x)=ax2 +bx+c(a 0) 是否具有奇偶性呢？ 生三：可能具有也可能不具有，特別的當 b=0

7、 時， f(x) 是偶函數； b 0 時既不是奇函數，也不偶函數。 師：好。對于我們熟悉的一次函數 f(x)=kx+b（k 0）, 當 b=0 時為奇函數，否則既不是奇函數，也不偶函數；二次函數 f(x)=ax2 +bx+c(a 0), 當 b=0 時為偶函數，否則既不是奇函數，也不偶函數，希望同學們理解并記住。 探究三：師：下面同學們根據以上例題，再想一想 f(x)=x(x 2 +1) 可看成一個函數g(x)=x和函數h(x)= x 2 +1 的乘積，函數g(x)=x是什么函數？，函數h(x)= x 2 +1是什么函數？函數f(x)=x(x 2 +1)又是什么函數？生：函數g(x)=x是奇函

8、數，函數h(x)= x 2 +1是偶函數，函數f(x)=x(x 2 +1)是奇函數。師：這三者之間有什么聯系？生：這說明若f(x)是一個奇函數 g(x) 和一個偶函數 h(x) 的乘積，即f(x)=g(x).h(x) 則f(x)為奇函數。師：好，那么如果 g(x) 和 h(x) 同為偶函數或奇函數呢？ 生一： f(x) 為偶函數。因為當g(x) 和 h(x) 同為偶函數f(-x)=g(-x).h(-x)=g(x).h(x)=f(x)；當g(x) 和 h(x) 同為奇函數時，f(-x)= g(-x).h(-x)=-g(x).-h(x)=g(x).h(x)= f(x) 生二：也就是說奇函數乘以偶函

9、數結果為奇函數。同奇同偶的兩個函數相乘仍然是偶函數 師：同學們總結的非常好，如果我們將這個問題再深入分析下去，想一想，奇函數加上或減去奇函數會是什么函數？偶函數加上或減去偶函數會是什么函數？請同學們按照剛才的方法自己在紙上舉例推斷一下。生（推算）：奇函數加上或減去奇函數仍是奇函數，偶函數加上或減去偶函數仍是偶函數。師：同學們能不能把這些性質歸納一下？生：偶函數的和、差、積仍為偶函數，奇函數的和、差仍為奇函數。一奇一偶的函數相乘為奇函數，同奇同偶的函數相乘為偶函數。師：很好！得到了這些性質，那么我們以后在解題中除了用定義法，還可以用性質法去判斷函數的奇偶性。遇到多個函數相乘時，就可以分析每一個函

10、數的奇偶性來判斷整個函數的奇偶性，但同時不要忘記，判斷函數奇偶性，首先要看定義域有沒有關于原點對稱。如果定義域沒有關于原點對稱，則不論f(-x)= -f(x)或者f(-x)= f(x)是否成立此函數都不是奇函數或者偶函數。探究四： 師：接下來我們一起來研究奇函數或偶函數的圖象有何特點？請同學們分別作出 y =-2x 和 y=x2 的圖象，并觀察有何特點？ 生一：奇函數 y=-2x 的圖象是一條過原點的直線，并且關于原點成中心對稱圖形；生二：偶函數 y=x2+1 的圖象是一條拋物線，頂點是（ 0 ，0 ）、開口方向向上，且關于 y 軸對稱。 師：回答得太棒了！大家再作出 y=3x 和 y=-x2

11、 +1的圖象，觀察是否有類似的規(guī)律？ 生： y=3x和y=-2x 的圖象一樣也是關于原點成中心對稱圖形； y=-x2 +1 與 y=x 2 的圖象一樣也關于 y 軸對稱。 師：那么我們可以猜想：奇函數的圖象有什么特點？偶函數的圖象有什么特點？生：奇函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，偶函數的圖象是以 y 軸為對稱軸的軸對稱圖形，師：對極了。反之亦然。如果一個函數的圖象關于原點對稱，則這個函數是奇函數。如果一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數。生：噢，原來如此。 師：根據奇、偶函數圖象的特點請同學們思考如何作出函數 y=1/x2 的圖象？ 生一 ：該函數的定義域為（ 0 ， +

12、 ）（ - ， 0 ），又是偶函數，偶函數的圖象關于y軸對稱，只需作出 y=1/x2 在（ 0 ， + ）上的圖象，然后對稱過去就好了。但我不知該怎樣做？ 生 二 ：用描點法。（主動到黑板上做圖，并根據關于y軸對稱做出（ - ， 0 ）的圖象。 生（全體）：對了！ 師：好。若將題目改成作出函數y=x3的圖象，又將如何操作？生（全體）：先用描點法作出函數y=x3在 0 ，+ ）上的圖象，再根據函數y=x3是一個奇函數，它的圖象關于原點對稱，作出（ - ， 0 ）部分的圖象。師：回答的都很正確。奇函數，偶函數圖象的特點不僅可以幫助我們解決相關類型的題目，而且我們還可以圖像法去判斷函數的奇偶性。因為

13、一個奇（偶）函數的充要條件就是它的圖像關于原點（y軸）對稱。課堂總結：師：同學們，這節(jié)我們要掌握的就是奇函數，偶函數的概念，判斷函數的奇偶性可以用定義法、性質法、圖像法等去判斷。特別要注意的是，不管用哪一種方法判斷一個函數的奇偶性，首先要看這個函數的定義域有沒有關于原點對稱，還要學會并牢記奇函數，偶函數圖象的特征并能夠靈活應用。此外給大家留一個思考題：運用函數奇偶性的定義及步驟去判斷分段函數的奇偶性，并寫出證明過程。三、案例反思：學生在學習數學中因為高中數學的概念抽象，內容枯燥，往往對數學心生厭煩，沒有好感。所以教師在傳授新課時，就可以結合教材的特點，由淺入深的設計課堂提問去吸引學生，使學生一聽到問題，就都想一試鋒芒。促使學生自己去動腦筋解決，從而激發(fā)學生的學習熱情，達到教而不教的目的。本節(jié)課就是通過設置一系列有層次的問題來驅動“函數奇偶性”的教學，不僅突破了教學難點，而且讓學生在解決問題的過程中明白了奇偶性定義形式化的必要性，深化了對于奇偶性本質的深刻理解全國特