空間向量與立體幾何教材分析

1、空間向量與立體幾何教材分析一、內(nèi)容安排本章是選修2-1 的第 3 章，包括空間向量的基本概念和運算，以及用空間向量解決直線、 平面位置關(guān)系的問題等內(nèi)容。 通過本章的學(xué)習(xí)， 要使學(xué)生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，并進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力?？臻g向量為處理立體幾何問題提供了新的視角， 它是解決空間中圖形的位置關(guān)系和度量問題的非常有效的工具。 本章以平面向量的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)， 通過類比的方法， 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程， 然后通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用向量方法處理空間幾何問題的基本思想方法。二、主要特點1. 強調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法。充分利用空間向量與平面向量

2、之間的內(nèi)在聯(lián)系， 通過類比， 引導(dǎo)學(xué)生自己將平面向量中的概念、 運算以及處理問題的方法推廣到空間， 既使相關(guān)內(nèi)容相互溝通， 又使學(xué)生學(xué)習(xí)類比、 推廣、特殊化、 化歸等思想方法， 促使他們體會數(shù)學(xué)探索活動的基本規(guī)律， 提高他們對向量的整體認識水平。空間向量的引進、運算、正交分解、坐標表示、用空間向量表示空間中的幾何元素等， 都是通過與平面向量的類比完成的。 在空間向量運算中，還注意了與數(shù)的運算的對比。另外，通過適當?shù)睦樱瑢鉀Q空間幾何問題的三種方法，即向量方法、解析法、綜合法進行了比較，引導(dǎo)學(xué)生對各自的優(yōu)勢以及面臨問題時應(yīng)當如何做出選擇進行認識。2. 突出用空間向量解決立體幾何問題的基本思想。

3、根據(jù)問題的特點，以適當?shù)姆绞桨褑栴}中涉及的點、 線、 面等元素用空間向量表示出來， 建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系； 然后通過空間向量的運算， 研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系 （距離和夾角等問題） ； 最后對運算結(jié)果的幾何意義作出解釋， 從而解決立體圖形的問題。3. 用恰時恰點的問題引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。使用了大量的“探究”、“思考”等， 引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行深入研討。 例如， 在對空間向量的各種運算與相應(yīng)的平面向量運算的異同的比較與證明、 空間向量的正交分解定理的推導(dǎo)及向空間向量基本定理的推廣、 如何對各種幾何元素及其關(guān)系進行恰當?shù)南蛄勘硎竞妥鴺吮硎尽⑷绾胃鶕?jù)具體問題的需要選擇恰當?shù)姆椒ǖ?，?/p>

4、用“探究”、“思考”等方式提出問題 , 幫助學(xué)生形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。三、背景分析1、平面向量的知識背景線性運算與數(shù)量積應(yīng)用：證明向量（ 直線 ） 平行、垂直，求距離、角等2、立體幾何背景判定定理等沒有證明 （ 原因：較難 ）如：線面垂直的判定定理距離、角只介紹了有關(guān)概念，及很簡單的求解題。設(shè)計意圖：從整體上考慮，利用向量的優(yōu)勢，降低難度四、地位和作用用空間向量處理某些立體幾何問題， 可以為學(xué)生提供新的視角， 在空間特別是空間直角坐標系中引入空間向量， 可以為解決三維圖形的形狀、 大小及位置關(guān)系的幾何問題增加一種理想的代數(shù)工具， 從而提高學(xué)生的空間想象能力和學(xué)習(xí)效率。向量

5、知識的引進， 使我們能用代數(shù)的觀點和方法解決立體幾何問題， 用計算代替邏輯推理和空間想象，用數(shù)的規(guī)范性代替形的直觀性，具體、可操作性強，從而大大降低了立體幾何的求解難度。 普通高中數(shù)學(xué)課程標準 對立體幾何的定位主要作了三個方面的調(diào)整： 強調(diào)把握圖形能力的培養(yǎng)， 強調(diào)空間想象與幾何直觀能力的培養(yǎng)，強調(diào)邏輯思維能力的培養(yǎng).英國著名數(shù)學(xué)家 m.阿蒂亞說過：“幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個部分， 其中視覺思維占主導(dǎo)地位， 而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對詞更好，即洞察與嚴格，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用”內(nèi)容展開方式立體幾何初步的安排是橫向的：空間線線關(guān)系，空間線面關(guān)系

6、，空間面面關(guān)系； 空間向量與立體幾何的安排是縱向的：直線的方向向量與平面的法向量，線面關(guān)系的判定，空間角的計算本章先講清直線的方向向量與平面的法向量兩個基本概念， 然后從線面關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面）的判定，空間角（包括異面直線所成的角， 直線與平面所成的角、 平面與平面所成的角） 的計算兩個方面研究空間向量在立體幾何中的應(yīng)用， 側(cè)重于應(yīng)用向量解決立體幾何問題的思想方法， 而 不在于簡單地用空間向量把立體幾何的有關(guān)概念、判定和性質(zhì)復(fù)述一遍四、本章的基本思想本章突出了用空間向量解決立體幾何問題的基本思想 根據(jù)問題的特點，以適當?shù)姆绞?（例如構(gòu)建向量、 建立空間直角坐標系） 用

7、空間向量表示空間圖形中的點、線、面等元素，建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系；然后通過空間向量的運算，研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系(平行、垂直、角和距離等)；最后對運算結(jié)果的幾何意義作出解釋， 從而解決立體幾何的問題 教科書還通過例題， 引導(dǎo)學(xué)生對解決立體幾何問題的三種方法(向量方法、坐標法、綜合法)進行比較，分析各自的優(yōu)勢， 因題而宜作出適當?shù)倪x擇， 從而提高綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力1、重點空間向量的運算( 線性運算、數(shù)量積)幾何形式、坐標形式應(yīng)用空間向量證明空間線、面的位置關(guān)系應(yīng)用空間向量求空間線、面距離、角2、難點共面向量定理、空間向量基本定理(1) 共線向量、共面向量定理用于證明空間線、面

8、平行(2) 空間向量基本定理用于引進向量的坐標表示(3) 空間向量的數(shù)量積用于研究距離、角的計算(4) 直線的方向向量與平面的法向量研究線、面所成的角五、教學(xué)建議1、重視運用類比的方法進行空間向量的教學(xué)空間向量概念雖多， 但它是平面向量在空間的推廣與拓寬， 所涉及內(nèi)容多數(shù)與平面向量相似。因此，在教法上，宜多用類比法，在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上， 通過類比， 經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。 找出空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別。 如空間向量的加法， 由于任何兩個空間向量經(jīng)平移可以共起點， 則可以將兩個空間向量的加法轉(zhuǎn)化為平面向量的加法。 同時， 空間首尾相接的兩個向量也可采

9、用三角形法則。 在 3 個以上空間向量相加時，與平面向量不同， 這些向量可能不共面， 但仍可通過平移逐個相加。 又如向量基本定理，對于平面向量，它的基底是不共線的兩個非零向量，而對于空間向量，它的基底則是不共面的三個非零向量。 在學(xué)習(xí)空間向量的過程中， 必須注意維數(shù)增加所帶來的影響。例：1）平面向量共線定理類比：空間向量共線？空間向量共面？2）平面向量線性運算類比：空間向量線性運算？3）平面向量基本定理類比：空間向量基本定理:問題一： 由二維類比到三維， 對于空間任意一個向量， 還可以用兩個不共線的向量線性表示嗎？問題二： 如果將平面向量基本定理推廣到空間， 你認為應(yīng)該怎樣敘述這個命題？問題三

10、：類比平面向量基本定理的證明方法，你能證明你的結(jié)論成立嗎？對于問題二， 有兩個思維方法： 一是從基本量角度， 一是用類比思維的一般方法：抓類比點 （ 類比元素和類比關(guān)系 ）2、重視探究過程線線、線面、面面平行、垂直的條件（ 用方向向量和法向量表示）線面垂直的判定定理的證明思路的探索3、引導(dǎo)學(xué)生歸納以向量方法解決立體幾何問題的規(guī)律課程標準關(guān)于空間向量的應(yīng)用給出了如下要求：1）理解直線的方向向量與平面的法向量。2）能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。3） 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）4）能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題。體會向量方法在

11、研究幾何問題中的作用。所以，培養(yǎng)學(xué)生在研究立體幾何問題上的向量意識，掌握以向量解題的基本方法成為空間向量與立體幾何的重中之重。 為此， 教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生依以下步驟思考：（ 1） 如何設(shè)置空間直角坐標系把已知的幾何條件（如角或線段）轉(zhuǎn)換為向量表示；（ 2）考慮一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示；（ 3）如何對已經(jīng)表示出來的向量進行運算，獲得需要的結(jié)論。立體幾何傳統(tǒng)的方法是“形到形”的綜合推理， 這對多數(shù)學(xué)生來說是比較困難的。而向量方法即代數(shù)推理的方法，就其體系而言，與算術(shù)、代數(shù)運算體系基本相似， 學(xué)生可運用已熟悉的代數(shù)方法進行推理來掌握空間圖形的性質(zhì)。 具體地說，以往用純幾何方法處理時，技巧性較大隨機性較強，而采用向量，可應(yīng)用一 些通法以降低解題難度，操作性較強。通過相當?shù)挠?xùn)練，使學(xué)生達到以下意識和習(xí)慣：（ 1） 凡是能用向量解決的立體幾何問題盡可能用向量解法；（ 2） 在解題過程中必須給出規(guī)范的格式和書寫， 如空間直角坐標系的設(shè)置，各有關(guān)向量的坐