運(yùn)用運(yùn)算律的討論

1、運(yùn)用運(yùn)算律的討論蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊第 62 頁“試一試”有這樣一道題 : 你能用簡便算法計算嗎？(2)5 x37x 2=5x 2x37=10x 37=370。對其運(yùn)用的運(yùn)算律是乘法交換律還是乘法交換律和乘法結(jié)合律, 一些學(xué)生和教師產(chǎn)生分歧, 下課后老師們在辦公室內(nèi)你一言我一語的爭論起來。爭論半天, 大致分為三種觀點(diǎn) :一、運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律(1)算式5x37x2中的乘數(shù)37和2先交換了位置，然后5和2 結(jié)合。認(rèn)為乘法結(jié)合律的核心是誰與誰結(jié)合后使計算簡便。(2) 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊教師教學(xué)用書 ( 以下簡稱“教參” ) 第 138 頁針對該題有這樣的敘述: 對于5x37x2

2、, “要使學(xué)生認(rèn)識到：僅僅應(yīng)用乘法結(jié)合律，還不能使計算簡便, 還得先應(yīng)用乘法交換律交換乘數(shù)5 與 37( 或 37與 2) 的位置 , 再應(yīng)用乘法結(jié)合律, 才可以使計算簡便。 ”教參的意思應(yīng)為 : 先應(yīng)用乘法交換律交換乘數(shù)5 與 37 的位置 ,即:5 x37x 2=37x (5 x 2)=37 x 10=370 或交換乘數(shù) 37 與 2 的 位置，即:5 x37x 2=5x 2x37=10x 37=370。 所以交換乘數(shù) 37 與 2 的位置的算法是運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律。二、5x37x2=5x2x 37 時只運(yùn)用了乘法交換律,5 x37x 2=(52) x 37 時運(yùn)用了乘法交換律和

3、乘法結(jié)合律算式5x37x2中乘數(shù)37與2交換位置后按運(yùn)算順序就應(yīng)該先計算 5 與 2 的積 , 運(yùn)算順序沒發(fā)生變化 , 乘法結(jié)合律的核心是改變算式的運(yùn)算順序。5x 37x 2=(5 x 2) x 37時添加了小括號 , 結(jié)合律的重要標(biāo)志是小括號的應(yīng)用 ( 小學(xué)教材完全解讀 江蘇版四年級數(shù)學(xué)上冊/ 吉林人民出版社/ 劉慧主編第93頁)。三、只運(yùn)用了乘法交換律(1)算式5x37x2中乘數(shù)37與2交換位置后按運(yùn)算順序就應(yīng)該先計算5 與 2 的積 , 運(yùn)算順序沒發(fā)生變化 , 乘法交換律的本質(zhì)是乘數(shù)的位置發(fā)生變化而運(yùn)算順序不變; 乘法結(jié)合律的核心乘數(shù)的位置不變而算式的運(yùn)算順序改變。5x37x2中交換乘數(shù)

4、37與2的位置后為5x2x37,然后按運(yùn)算順序脫式計算 “=10x 37=370” 。(2)小學(xué)單元測試ab卷蘇教版四年級上冊(馬振生主編/青海人民出版社) 第 41 頁填空題 5: 把符合要求的算式序號填在括號里。(20+40)+60=20+(40+60)8x5x9=5x 9x8a+125+75=125+75+a 40+(60+b)=(40+60)+b 應(yīng)用 了加法交換律的是( 應(yīng)用了加法結(jié)合律的是( 應(yīng)用了乘法交換律的是 ( 應(yīng)用了乘法結(jié)合律的是( ) 。 其中和中的乘數(shù)( 加數(shù))交換位置, 參考答案是應(yīng)用了乘(加)法交換律, 而不是應(yīng)用了乘 (加)法交換律和結(jié)合律。老師們爭辯后認(rèn)為第二種

5、觀點(diǎn)僅憑加與不加括號判斷是否應(yīng)用結(jié)合律的觀點(diǎn)不可取, 在這里括號加與不加都不改變運(yùn)算順序 , 只起到強(qiáng)調(diào)先算“5 與 2 的積”的作用。堅持第一、第三種觀點(diǎn)的老師一時難分伯仲。就“結(jié)合”的定義, 現(xiàn)代漢語詞典 （ 商務(wù)印書館/ 第 5 版 ）中這樣解釋: 動詞 , 人或事物間發(fā)生密切聯(lián)系。就“結(jié)合律”而言 , 就是乘數(shù) （ 加數(shù) ） 間發(fā)生密切聯(lián)系。這也是持第一種觀點(diǎn)的教師的理解 : 只要是兩個乘（加）數(shù)相乘 （加）就是“結(jié)合”。真的是這樣嗎 ?筆者傾向于第三種觀點(diǎn)。關(guān)于乘法（ 加法 ） 的交換律和結(jié)合律教材中雖然沒有給出具體的文字?jǐn)⑹? 但教參第 130 頁倒數(shù)第二段也指出“加法結(jié)合律涉及到

6、的加數(shù)位置不變, 只是改變了運(yùn)算順序” , 由此可以推及“乘法結(jié)合律涉及到的乘數(shù)位置不變，只是改變了運(yùn)算順序”。從算式 5x37x2交換乘 數(shù)位置變成5x2x37,算式的運(yùn)算順序都是從左到右依次計 算 , 運(yùn)算順序沒有改變。下班后我翻閱發(fā)現(xiàn)西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第 19 頁例3也有一道類似的例題：8 x 9x 125。數(shù)學(xué)教學(xué)參考書第 48 頁就明確敘述: 如果把算式中的 125 與 9 交換 , 則是乘法交換律的單獨(dú)應(yīng)用 , 如果把算式中的 8 與 9 交換 , 則它又是 乘法交換律與乘法結(jié)合律的綜合應(yīng)用。即:8 x9x125=8x 125x9=1000x9=9000 是乘法交換律的單

7、 獨(dú)應(yīng)用,8 x9x125=9x （8 x 125）=9 x 1000=9000 才是運(yùn)用了 乘法交換律和乘法結(jié)合律。由此看來該算法只應(yīng)用了乘法交換律的觀點(diǎn)是正確的。但我又在網(wǎng)上搜索到人教論壇的一篇帖子, 讀后頓感汗顏,自己對運(yùn)算律理解得多么膚淺! 人教論壇中“枯燈”大師對一篇帖子的回復(fù)中這樣論述(http:/bbs.pep/viewthread.php?tid=208471):(1) 先要清楚什么是數(shù)學(xué)中的“交換律”。數(shù)學(xué)中的“交換律”是指：一種運(yùn)算“ x”和參加運(yùn)算的更集合a中的任意“兩個元素”a、 b, 一定有 a*b=b*a, 我們就說運(yùn)算“ * ”對于集合 a 滿足交換律。也就是說

8、, 談到“交換律”時 , 只是指“兩個元素參加運(yùn)算”的情況! 所有的數(shù)學(xué)理論書籍都是這樣表述的 , 絕無例外這可以說是數(shù)學(xué)理論表述的一種“約定”。 ( 在正規(guī)的數(shù)學(xué)理論書籍中，是絕對找不到將 ax bx c=ax cx b也稱為交換律的)顯然 , 乘法對于整數(shù)集合滿足交換律; 減法對于整數(shù)集合不滿足交換律; 距陣乘法對于距陣集合也不滿足交換律。 在25x 3x4=25x 4x3中，等號左邊的3和4還沒有進(jìn)行 運(yùn)算呢(在25x 3x4中,3只與25運(yùn)算，具積75才與4運(yùn)算), 怎么可以運(yùn)用乘法交換律交換它們的位置呢?顯然 , 正是因為乘法還滿足結(jié)合律, 才能將 3 和 4 的位置交換過來:25x

9、 3x4=25x (3 x 4)(運(yùn)用結(jié)合律，使3和4先進(jìn)行運(yùn)算)=25x （4 x 3）（因為3和4進(jìn)行運(yùn)算了 ,所以可以運(yùn)用交換律交換它們的位置）二25 x 4x3（運(yùn)用結(jié)合律，使25和4先進(jìn)行運(yùn)算）總之，當(dāng)“x”表示實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，a、b、c屬于實(shí)數(shù)集合時,axbx c確實(shí)等于axcxb。但這決不能只看表面現(xiàn)象、望文生義地說是“只運(yùn)用了交換律” , 而是“既運(yùn)用了結(jié)合律 , 又運(yùn)用了交換律”的結(jié)果。因此, 我們可以把“ax bx c=ax cx b”這樣一個規(guī)律，說成是由結(jié)合律和交換律證明了的一個“推論”。汗顏之余 , 細(xì)細(xì)回想加（乘）法的交換律, 都是指兩個加 （乘）數(shù)交換位置結(jié)果不變

10、, 我只盯住“位置交換”而忽略了“兩個元素參加運(yùn)算”即加（ 乘） 數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是兩個。像5x37x 2=5x 2 x 37 是在三個乘數(shù)之間交換位置，應(yīng)用的運(yùn)算律不是乘法交換律的推廣而是乘法交換律和結(jié)合律的推廣 ! 進(jìn)一步查閱蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊 （ 教師教學(xué)用書 （ 附錄一 ） 第 232 頁和 233 頁也有“從加法（ 乘法 ） 交換律和結(jié)合律推廣”的論述證實(shí)了我的想法: 三個以上的數(shù)相加（ 乘 ）,任意交換加 （乘）數(shù)點(diǎn)位置 , 或者先把其中的任意幾個結(jié)合成一組相加 （乘）, 再同其他數(shù)相加 （乘）, 它們的和（積）不變。（中小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)版）2019年第3期和78期、2019年1 2期也

11、發(fā)表了有關(guān)運(yùn)算律是否可以改進(jìn)的文章, 筆者認(rèn)為一些和我一樣對此模糊認(rèn)識的教師之所以“糊涂”, 緣于沒有認(rèn)清交換律和結(jié)合律的本質(zhì), 沒有積極探尋相關(guān)知識的理論背景 , 而不是改變被理論和實(shí)踐斷定為真理的運(yùn)算律。另外 , 筆者認(rèn)為是西南師大版數(shù)學(xué)四年級下冊 （ 數(shù)學(xué)教學(xué)參考書 ） 第 48 頁的論述有誤, 誤導(dǎo)了我及一部分教師, 應(yīng)該改為 :如果把算式中的 125 與 9 交換或 8 與 9 交換 , 是乘法交換律與乘法結(jié)合律的綜合應(yīng)用。思考 :1, 教材和教參對知識的解釋應(yīng)該是明確的?！罢n標(biāo)”頒布后的各版本實(shí)驗教科書和教學(xué)參考書對于知識的形成過程與情感、態(tài)度; 價值觀敘述過多 , 但對于數(shù)學(xué)概念

12、、性質(zhì)、定律的呈現(xiàn)“諱莫如深” , 造成了不用說學(xué)生對概念、性質(zhì)、定律等結(jié)論的理解偏差 , 就是一部分教師（ 特別是剛參加工作的教師） 對一些知識吃不透, 對于一些概念、性質(zhì)、定律的本質(zhì)理解模棱兩可, 教學(xué)中一味追求生活化、過程化 , 淡化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的揭示, 使數(shù)學(xué)課失去了數(shù)學(xué)本色。2, 提高教研教學(xué)水平。我們教師肩負(fù)著培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才的歷史使命, 提高我們的學(xué)科專業(yè)知識水平刻不容緩。對于一些意見和分歧要正本清源 , 多研討、多查閱相關(guān)資料、多請教專家學(xué)者。教學(xué)研究的目的是求真, 最終是讓學(xué)生獲得更好的發(fā)展, 尤其是在目前新課程改革的推進(jìn)過程中 , 多一些積極探索, 多 +些理性的思考 , 倡導(dǎo)求真務(wù)實(shí)的精神。只有教師把知識理解正確了、透徹了 , 才能引