北京1月西城區(qū)高三年級第一學(xué)期期末理數(shù)含答案

1、北京市西城區(qū)20132014學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷北京市西城區(qū)20132014學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 2014.1第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設(shè)集合，則集合（ ）（a）（b）（c）（d）2已知復(fù)數(shù)z滿足，那么的虛部為（ ）（a）（b）（c）（d）3在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c. 若，則（ ）（a）（b）（c）（d）i=1，s=0開始i=i+1輸出s結(jié)束否是4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（ ） （a）（b）（c）（d）5已知圓與x軸切于a點，與y軸切于b點，

2、設(shè)劣弧的中點為m，則過點m的圓c的切線方程是（ ）（a）（b）（c）（d）6 若曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數(shù),滿足（ ）（a）（b）（c）（d）7定義域為r的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則當(dāng)時，的最小值為（ ） （a） （b） （c） （d） a b a1 b1d cd1 c1p8. 如圖，正方體的棱長為，動點p在對角線上，過點p作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)x，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為（ ）（a）（b）（c）（d）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9. 在平面直角坐標(biāo)系中，點，若向量，則實數(shù) _側(cè)(左)視圖210若等差數(shù)列滿足，

3、則公差_；_ 11已知一個正三棱柱的所有棱長均相等，其側(cè)（左）視圖如圖所示，那么此三棱柱正（主）視圖的面積為_12甲、乙兩名大學(xué)生從4個公司中各選2個作為實習(xí)單位，則兩人所選的實習(xí)單位中恰有1個相同的選法種數(shù)是_. （用數(shù)字作答）a pbco.13 如圖，為圓上的兩個點，為延長線上一點，為圓的切線，為切點. 若，則_；_14在平面直角坐標(biāo)系中，記不等式組所表示的平面區(qū)域為.在映射的作用下，區(qū)域內(nèi)的點對應(yīng)的象為點. （1）在映射的作用下，點的原象是 ；（2）由點所形成的平面區(qū)域的面積為_ 三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知

4、函數(shù)，且的最小正周期為.（）若，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.16（本小題滿分13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以表示 （）若甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求的值；（）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；甲組乙組8901a822（）當(dāng)時，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對值為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望17（本小題滿分14分）如圖，在多面體abcdef中，底面abcd是邊長為2的菱形，四邊形bdef是矩形，平面bdef平面abcd，bf=3， h是cf

5、的中點.fbceahd（）求證：ac平面bdef；（）求直線dh與平面所成角的正弦值；（）求二面角的大小.18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.19（本小題滿分14分）已知是拋物線上的兩個點，點的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點.（）若拋物線的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；（）設(shè)c為w上一點，且，過兩點分別作w的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.20（本小題滿分13分）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.（）若，求；（）若對于任意不超過的

6、正整數(shù)n，都有，證明：.（）證明：（）的充分必要條件為. 北京市西城區(qū)2013 2014學(xué)年度第一學(xué)期期末 2014.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1b 2c 3d 4b 5a 6c 7a 8d二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9 10 11 12 13 14 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分） （）解：因為的最小正周期為， 所以 ，解得 3分 由 ，得， 即 ， 4分 所以 ，. 因為 ， 所以. 6分（）解：函數(shù) 8分 ， 10分由 ， 11分解得 12分所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.1

7、3分16（本小題滿分13分）（）解：依題意，得 ， 2分解得 . 3分（）解：設(shè)“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件， 4分依題意 ，共有10種可能. 5分由（）可知，當(dāng)時甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，所以當(dāng)時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能 6分所以乙組平均成績超過甲組平均成績的概率 7分（）解：當(dāng)時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選取一名同學(xué)，所有可能的成績結(jié)果有種， 它們是：， 9分則這兩名同學(xué)成績之差的絕對值的所有取值為. 10分因此，. 11分所以隨機變量的分布列為：0123412分所以的數(shù)學(xué)期望13分17（本小題滿分14分）（）證明：因為四邊形是菱形，所以 . 1分

8、因為平面平面，且四邊形是矩形， 所以 平面， 2分又因為 平面，所以 . 3分因為 ，所以 平面. 4分（）解：設(shè)，取的中點，連接，因為四邊形是矩形，分別為的中點，所以 ，又因為 平面，所以 平面，由，得兩兩垂直.所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 5分fbceahdoznxy因為底面是邊長為2的菱形，所以 ，. 6分因為 平面， 所以平面的法向量. 7分設(shè)直線與平面所成角為，由 ， 得 ，所以直線與平面所成角的正弦值為. 9分（）解：由（），得，.設(shè)平面的法向量為，所以 10分即 令，得. 11分由平面，得平面的法向量為，則. 13分由圖可知二面角為銳角，

9、所以二面角的大小為. 14分18.（本小題滿分13分）（）解：因為，所以 2分令，得 3分當(dāng)變化時，和的變化情況如下： 5分故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為 6分（）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個零點. 7分理由如下：由，得方程， 顯然為此方程的一個實數(shù)解. 所以是函數(shù)的一個零點. 9分當(dāng)時，方程可化簡為. 設(shè)函數(shù)，則，令，得當(dāng)變化時，和的變化情況如下：即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為所以的最小值. 11分因為 ， 所以，所以對于任意，因此方程無實數(shù)解所以當(dāng)時，函數(shù)不存在零點.綜上，函數(shù)有且僅有一個零點. 13分19（本小題滿分14分）（）解：拋物線的焦點為. 1分由題意，得直線的方程為， 2分令 ，

10、得，即直線與y軸相交于點. 3分因為拋物線的焦點在直線的下方，所以 ，解得 . 5分（）解：由題意，設(shè)，聯(lián)立方程 消去，得， 由韋達定理，得，所以 . 7分同理，得的方程為，. 8分對函數(shù)求導(dǎo)，得，所以拋物線在點處的切線斜率為，所以切線的方程為， 即. 9分同理，拋物線在點處的切線的方程為.10分聯(lián)立兩條切線的方程解得，所以點的坐標(biāo)為. 11分因此點在定直線上. 12分因為點到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點時等號成立 13分由，得，驗證知符合題意.所以當(dāng)時，有最小值. 14分20（本小題滿分13分）（）解：由等比數(shù)列的，得，且當(dāng)時，. 1分 所以，且當(dāng)時，. 2分 即 3分（）證明：因為 ，所以 ，. 4分因為 ，所以 ，. 5分 由 ，得 . 6分因為 ， 所以 ， 所以 ，即 . 8分（）證明：（充分性）因為 ， 所以 ， 所以 對一切正整數(shù)n都成立. 因為 ，所以 . 9分（必要性）因為對于任意的，當(dāng)時，