初高中數(shù)學(xué)銜接教材((二)幾何

1、2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法練 習(xí)1.（1）（2）是方程的組解； （3）（4）不是方程組的解2（1） （2） （3） （4） 2.3.2 一元二次不等式解法練 習(xí)1（1）x1，或x； （2）3x4； （3）x4，或x1； （4）x42不等式可以變?yōu)?x1a)( x1a)0， （1）當(dāng)1a1a，即a0時(shí)，1ax1a； （2）當(dāng)1a1a，即 a0時(shí)，不等式即為(x1)20，x1； （3）當(dāng)1a1a，即a0時(shí)，1ax1a 綜上，當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解為1ax1a； 當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解為x1； 當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解為1ax1a習(xí)題23a 組1（1） （2） （3） （4）2

2、（1）無(wú)解 （2） （3）1x1 （4）x2，或x2 b 組1消去，得 當(dāng),即時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解 將代入原方程組，得方程組的解為2不等式可變形為(x1)(xa)0 當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解為1xa； 當(dāng)a1時(shí)，原不等式的無(wú)實(shí)數(shù)解； 當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解為ax1c 組1由題意，得 1和3是方程2x2bxc0的兩根， 13，13， 即b4，c6 等式bx2cx40就為4 x26x40，即2 x23x20， x22yx2mx2(x)22 ， 當(dāng)02，即0m4時(shí)，k2 ； 當(dāng)0，即m0時(shí)，k2； 當(dāng)2，即m4時(shí)，k2m2 31 相似形3.1.1平行線分線段成比例定理在解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們常涉及到一些

3、線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問(wèn)題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中，我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比.圖3.1-1在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點(diǎn)，另作直線交于點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)我們將這個(gè)結(jié)論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖3.1-2，有.當(dāng)然，也可以得出.在運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是“對(duì)應(yīng)”線段成比例.例1 如圖3.1-2， ，且求.圖3.1-2解 例2 在中，為邊上的點(diǎn)，求證：.證明（1） ，證明（2） 如圖3.1-3，過(guò)作直線，.過(guò)作交于，得，圖3.1-3因而 從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三

4、角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.例3 已知，在上，能否在上找到一點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)在上.解 假設(shè)能找到，如圖3.1-4，設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，作交于.，且，且為的中點(diǎn).圖3.1-4可見(jiàn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)在上.我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí)，常常先假設(shè)其存在，再解之，有解則存在，無(wú)解或矛盾則不存在.例4 在中，為的平分線，求證：.證明 過(guò)c作ce/ad，交ba延長(zhǎng)線于e，ad平分圖3.1-5由知.例4的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例（等于該角的

5、兩邊之比）.練習(xí)11如圖3.1-6，下列比例式正確的是（ ）a b c d.圖3.1-62如圖3.1-7，求.圖3.1-73如圖，在中，ad是角bac的平分線，ab=5cm,ac=4cm,bc=7cm,求bd的長(zhǎng).圖3.1-84如圖，在中，的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：.圖3.1-95如圖，在的邊ab、ac上分別取d、e兩點(diǎn)，使bd=ce，de延長(zhǎng)線交bc的延長(zhǎng)線于f.求證：.圖3.1-103.12相似形我們學(xué)過(guò)三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個(gè)三角形相似？有哪些方法可以判定兩個(gè)直角三角形相似？例5 如圖3.1-11，四邊形abcd的對(duì)角線相交于點(diǎn)o，求證：.證明 在與中

6、，即.圖3.1-11又與中，.例6 如圖3.1-12,在直角三角形abc中，為直角，.求證：（1），；（2）圖3.1-12證明 （1）在與中， 同理可證得.（2）在與中，我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱為射影定理，該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用. 例7 在中，求證：.證明 ，為直角三角形，又，由射影定理，知.同理可得.圖3.1-13.例8 如圖3.1-14，在中，為邊的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，交于點(diǎn).某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：圖3.1-14（1） 當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14a）（2） 當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14b）（3） 當(dāng)時(shí)，有.（如圖3.1-14c）在圖3.1-14d中，當(dāng)時(shí)，參

7、照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明（其中n為正整數(shù)）.解：依題意可以猜想：當(dāng)時(shí)，有成立.證明 過(guò)點(diǎn)d作df/be交ac于點(diǎn)f，d是bc的中點(diǎn)，f是ec的中點(diǎn)，由可知，.想一想，圖3.1-14d中，若，則本題中采用了從特殊到一般的思維方法.我們常從一些具體的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，進(jìn)而作出一般性的猜想，然后加以證明或否定 .數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是不斷探索的歷史.練習(xí)21如圖3.1-15，d是的邊ab上的一點(diǎn)，過(guò)d點(diǎn)作de/bc交ac于e.已知ad：db=2：3，則等于（ ）圖3.1-15a b c d2若一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為15，一條對(duì)角線把中位線分成兩條線段.這兩條線段的比是，則梯形

8、的上、下底長(zhǎng)分別是_.3已知：的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，與其相似的的最大邊長(zhǎng)是15，求的面積. 圖3.1-164已知：如圖3.1-16，在四邊形abcd 中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點(diǎn).（1） 請(qǐng)判斷四邊形efgh是什么四邊形，試說(shuō)明理由；（2） 若四邊形abcd是平行四邊形，對(duì)角線ac、bd滿足什么條件時(shí)，efgh是菱形？是正方形？5如圖3.1-17,點(diǎn)c、d在線段ab上，是等邊三角形，（1） 當(dāng)ac、cd、db滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，？圖3.1-17（2） 當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).習(xí)題3.1a組1 如圖3.1-18，中，ad=df=fb，ae=eg=gc，fg=4，則（ ）ade=

9、1，bc=7 bde=2，bc=6 圖3.1-18cde=3，bc=5 dde=2，bc=8 2 如圖3.1-19，bd、ce是的中線，p、q分別是bd、ce的中點(diǎn)，則等于（ ）a1：3 b1：4 c1：5 d1：6圖3.1-193 如圖3.1-20，中，e是ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，de交bc于點(diǎn)f，已知be：ab=2：3，求.圖3.1-20圖3.1-214 如圖3.1-21，在矩形abcd中，e是cd的中點(diǎn)，交ac于f，過(guò)f作fg/ab交ae于g，求證：.b組1 如圖3.1-22，已知中，ae：eb=1：3，bd：dc=2：1，ad與ce相交于f，則的值為（ ）圖3.1-22a b1 c d2 圖

10、3.1-232 如圖3.1-23，已知周長(zhǎng)為1，連結(jié)三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)對(duì)角線三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類推，第2003個(gè)三角形周長(zhǎng)為（ ）a b c d 圖3.1-243 如圖3.1-24，已知m為的邊ab的中點(diǎn)，cm交bd于點(diǎn)e，則圖中陰影部分的面積與面積的比是（ ）a b c d 4 如圖3.1-25，梯形abcd中，ad/bc，ef經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)o，且ef/ad.（1） 求證：oe=of；（2） 求的值；（3） 求證：.圖3.1-25c組1 如圖3.1-26，中，p是邊ab上一點(diǎn)，連結(jié)cp.（1） 要使，還要補(bǔ)充的一個(gè)條件是_.（2） 若，且，則=_.圖3

11、.1-262 如圖3.1-27，點(diǎn)e是四邊形abcd的對(duì)角線bd上一點(diǎn)，且.（1） 求證：；（2） 根據(jù)圖形的特點(diǎn)，猜想可能等于那兩條線段的比（只須寫出圖中已有線段的一組比即可）？并證明你的猜想.圖3.1-273 如圖3.1-28，在中，ab=ac，點(diǎn)d為bc上任一點(diǎn)，于f，于e，m為bc的中點(diǎn)，試判斷是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.圖3.1-284 如圖3.1-29a，垂足分別為b、d，ad和bc相交于e，于f，我們可以證明成立.圖3.1-29若將圖3.1-29a中的垂直改為斜交，如圖3.1-29 b，相交于e，ef/ab交bd于f，則：（1） 還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立

12、，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2） 請(qǐng)找出和之間的關(guān)系，并給出證明.3.1 相似形練習(xí)11d 2設(shè)，即.34作交于，則，又得.5作交于，即.練習(xí)21212，1834（1）因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅?；?）當(dāng)時(shí)，為菱形；當(dāng)時(shí)，為正方形.5（1）當(dāng)時(shí)，；（2）.習(xí)題3.1 a組1b 2.b 3.4為直角三角形斜邊上的高，又可證.b組1c 2.c 3.a 4（1）.（2）（3）由（2）知c組1.(1)或.(2).2（1）先證，可得；（2）.3連交于，連，為等腰直角三角形，且aedf為矩形，為斜邊的中線，為直角三角形.又可證，得，故為等腰直角三角形.4（1）成立，（2），證略.3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形

13、是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.圖3.2-1圖3.2-2如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段. 三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).圖3.2-3例1 求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.已知 d、e、f分別為三邊bc、ca、ab的中點(diǎn)，求證 ad、be、cf交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2：1.證明 連結(jié)de，設(shè)ad、be交于點(diǎn)g，d、e分別為bc、ae的中點(diǎn)，則de/

14、ab，且，且相似比為1：2，圖3.2-4.設(shè)ad、cf交于點(diǎn)，同理可得，則與重合， ad、be、cf交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.（如圖3.2-5）圖3.2-5例2 已知的三邊長(zhǎng)分別為，i為的內(nèi)心，且i在的邊上的射影分別為，求證：.證明 作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，同理，bd=bf，cd=ce.圖3.2-6即.例3 若三角形的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形.已知 o為三角形abc的重心和內(nèi)心.求證 三角形abc為等邊三角形.證明 如圖，

15、連ao并延長(zhǎng)交bc于d.o為三角形的內(nèi)心，故ad平分，（角平分線性質(zhì)定理）o為三角形的重心，d為bc的中點(diǎn)，即bd=dc.圖3.2-7，即.同理可得，ab=bc.為等邊三角形.三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）圖3.2-8例4 求證：三角形的三條高交于一點(diǎn).已知 中，ad與be交于h點(diǎn).求證 .證明 以ch為直徑作圓，在以ch為直徑的圓上，.同理，e、d在以ab為直徑的圓上，可得.圖3.2-9，又與有公共角，即.過(guò)不共線的三點(diǎn)a、b、c有且只有一個(gè)圓，該圓

16、是三角形abc的外接圓，圓心o為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).練習(xí)11求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.2 （1） 若三角形abc的面積為s，且三邊長(zhǎng)分別為，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是_;（2）若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為（其中為斜邊長(zhǎng)），則三角形的內(nèi)切圓的半徑是_. 并請(qǐng)說(shuō)明理由.3.2.2 幾種特殊的三角形等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形abc中，三角形的內(nèi)心i、重心g、垂心h必然在一條直線上.例5 在中，求（1）的面積及邊上的高；（2）的內(nèi)切圓的半徑；（3）的外接圓的半徑.解 （1）如圖，作

17、于.為的中點(diǎn)，圖3.2-10又解得.（2）如圖，為內(nèi)心，則到三邊的距離均為，連， ，圖3.2-11即，解得.（3）是等腰三角形，外心在上，連，則中，圖3.2-12解得在直角三角形abc中，為直角，垂心為直角頂點(diǎn)a， 外心o為斜邊bc的中點(diǎn)，內(nèi)心i在三角形的內(nèi)部，且內(nèi)切圓的半徑為（其中分別為三角形的三邊bc,ca,ab的長(zhǎng)），為什么？圖3.2-13 該直角三角形的三邊長(zhǎng)滿足勾股定理：.例6 如圖，在中，ab=ac，p為bc上任意一點(diǎn).求證：.證明：過(guò)a作于d.在中，.圖3.2-14在中，.正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心.例7 已知等

18、邊三角形abc和點(diǎn)p，設(shè)點(diǎn)p到三邊ab，ac，bc的距離分別為，三角形abc的高為，圖3.2-15“若點(diǎn)p在一邊bc上，此時(shí)，可得結(jié)論：.”請(qǐng)直接應(yīng)用以上信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)（1）點(diǎn)p在內(nèi)（如圖b），（2）點(diǎn)在外(如圖c)，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，與之間有什么樣的關(guān)系，請(qǐng)給出你的猜想（不必證明）.解 （1）當(dāng)點(diǎn)p在內(nèi)時(shí)，法一 如圖，過(guò)p作分別交于，圖3.2-16由題設(shè)知，而，故，即.法二 如圖，連結(jié)，圖3.2-17又，即.（2）當(dāng)點(diǎn)p在外如圖位置時(shí)，不成立，猜想：.圖3.2-18注意：當(dāng)點(diǎn)p在外的其它位置時(shí)，還有可能得到其它的結(jié)論，如，（如圖3.2-18

19、，想一想為什么？）等.在解決上述問(wèn)題時(shí)，“法一”中運(yùn)用了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，“法二”中靈活地運(yùn)用了面積的方法.練習(xí)21 直角三角形的三邊長(zhǎng)為3，4，,則_.2 等腰三角形有兩個(gè)內(nèi)角的和是100，則它的頂角的大小是_.3 滿足下列條件的，不是直角三角形的是（ ）a b c d 4 已知直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊上的中線的長(zhǎng)為1，求這個(gè)三角形的面積.5 證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為一個(gè)常量.習(xí)題3.2a組1 已知：在中，ab=ac，為bc邊上的高，則下列結(jié)論中，正確的是（）a b c d2 三角形三邊長(zhǎng)分別是6、8、10，那么它最短邊上的高為（ ）a6 b4.5 c2.4 d83

20、 如果等腰三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于_.4 已知：是的三條邊，那么的取值范圍是_。5 若三角形的三邊長(zhǎng)分別為，且是整數(shù)，則的值是_。b組1 如圖3.2-19，等邊的周長(zhǎng)為12，cd是邊ab上的中線，e是cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且bd=be，則的周長(zhǎng)為（）a b 圖3.2-19c d2 如圖3.2-20，在中，bd是邊ac上的高，求的度數(shù)。圖3.2-203 如圖3.2-21，是ab的中點(diǎn)，am=an，mn/ac，求證：mn=ac。圖3.2-214 如圖3.2-22，在中，ad平分，ab+bd=ac.求的值。圖3.2-225 如圖3.2-23，在正方形abcd中，f為d

21、c的中點(diǎn)，e為bc上一點(diǎn)，且，求證：.圖3.2-23c組1 已知，則以為邊的三角形是（ ）a等邊三角形 b等腰三角形 c直角三角形 d形狀無(wú)法確定2 如圖3.2-24，把紙片沿de折疊，當(dāng)點(diǎn)a落在四邊形bcde內(nèi)部時(shí)，則與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）圖3.2-24a b c d3 如圖3.2-25，已知bd是等腰三角形abc底角平分線，且ab=bc+cd，求證：.圖3.2-254 如圖3.2-26，在等腰中，d是斜邊ab上任一點(diǎn)，于e，交cd的延長(zhǎng)線于f，于h，交ae于g.求證：bd=cg.圖3.2-263.2 三角形練習(xí)11證略 2.（1）；（2）

22、.練習(xí)215或 2.或 3.c 4設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為2，則，且，解得，. 5.可利用面積證.習(xí)題3.2 a組1b 2. d 3. 4. 5.8b組1a 2.3連，證.4在ac上取點(diǎn)e，使ae=ab，則， .又bd=de=ec，5可證，因而與互余，得.c組1c不妨設(shè)，可得，為直角三角形.2b3在ab上取e使be=bc，則，且ae=ed=dc，4先證明，得ce=bf，再證，得bd=cg.33圓331 直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系設(shè)有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？圖3.3-1觀察圖3.3-1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相離，如圓與直線；當(dāng)

23、圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相切，如圓與直線；當(dāng)圓心到直線的距離時(shí)，直線和圓相交，如圓與直線.圖3.3-2在直線與圓相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為a、b.若直線經(jīng)過(guò)圓心，則ab為直徑；若直線不經(jīng)過(guò)圓心，如圖3.3-2，連結(jié)圓心和弦的中點(diǎn)的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長(zhǎng)的一半，根據(jù)勾股定理，有.圖3.3-3當(dāng)直線與圓相切時(shí)，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，且在中，.如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.圖3.3-4例1 如圖3.3-5，已知o的半徑ob=5cm，弦ab=6cm，d是的中點(diǎn)，求弦bd的長(zhǎng)度。解 連結(jié)od，交ab于點(diǎn)e。是圓心，在中

24、，ob=5cm,be=3cm,圖3.3-5在中，be=3cm,de=1cm,例2 已知圓的兩條平行弦的長(zhǎng)度分別為6和，且這兩條線的距離為3.求這個(gè)圓的半徑.解 設(shè)圓的半徑為，分兩種情況（如圖3.3-6）：（1） 若在兩條平行線的外側(cè)，如圖（1），ab=6，cd=，圖3.3-6則由，得，解得.（2）若在兩條平行線的內(nèi)側(cè)（含線上），ab=6，cd=，則由，得，無(wú)解.綜合得，圓的半徑為5. 設(shè)圓與圓半徑分別為，它們可能有哪幾種位置關(guān)系？圖3.3-7觀察圖3.3-7，兩圓的圓心距為，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，兩圓相內(nèi)切，如圖（1）；當(dāng)時(shí)，兩圓相外切，如圖（2）；當(dāng)時(shí)，兩圓相內(nèi)含，如圖（3）；當(dāng)時(shí)，兩圓相交，如圖

25、（4）；當(dāng)時(shí)，兩圓相外切，如圖（5）.例3 設(shè)圓與圓的半徑分別為3和2，為兩圓的交點(diǎn)，試求兩圓的公共弦的長(zhǎng)度.解 連交于，則，且為的中點(diǎn)，圖3.3-8設(shè)，則，解得.故弦的長(zhǎng)為.練習(xí) 11.如圖3.3-9，o的半徑為17cm，弦ab=30cm，ab所對(duì)的劣弧和優(yōu)弧的中點(diǎn)分別為d、c，求弦ac和bd的長(zhǎng)。圖3.3-92.已知四邊形abcd是o的內(nèi)接梯形，ab/cd，ab=8cm,cd=6cm, o的半徑等于5cm，求梯形abcd的面積。3.如圖3.3-10，o的直徑ab和弦cd相交于點(diǎn)e，求cd的長(zhǎng)。圖3.3-104若兩圓的半徑分別為3和8，圓心距為13，試求兩圓的公切線的長(zhǎng)度.332 點(diǎn)的軌跡在

26、幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個(gè)條件運(yùn)動(dòng)形成的圖形，它是符合某個(gè)條件的所有點(diǎn)組成的.例如，把長(zhǎng)度為的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于；同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.下面，我們討論一些常見(jiàn)的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.從上面對(duì)圓的討論，可以得出：（1） 到

27、定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：（2） 和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡：（3） 到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.例3 o過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)、，圓心的軌跡是什么？畫出它的圖形.圖3.3-11分析 如圖3.3-11，如果以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，那么；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離相等，即，那么以為圓心，oa為半徑的圓一定經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).這就是說(shuō)，過(guò)、點(diǎn)的圓的圓心的軌跡，就是到、