第三章 一元函數(shù)積分學

1、第三章 一元函數(shù)積分學一不定積分例1：設(shè)，且，求（答案：）例2：已知是的一個原函數(shù)，求（答案：）例3：設(shè)，求例4：設(shè)是的一個原函數(shù)，若當時，有，求。（答案：）例5：求例6：求二定積分 例1：求極限 例2：設(shè)在上連續(xù)，且，試證明存在。 例3：已知，求（答案：）例4：設(shè)函數(shù)連續(xù)，且已知，求的值。（答案：）例5：已知 求例6：求積分，其中當時，而例7：設(shè)在上連續(xù)，且，證明例8：設(shè)在上連續(xù)，求證 例9：設(shè)在上連續(xù)，且，求證：存在 例10：設(shè)是在內(nèi)的周期函數(shù)，周期為，并滿足；求證： 例11：設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的二階導數(shù)，證明在內(nèi)存在一點，使得例12：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足，（1）證明；（2

2、）利用（1）的結(jié)論計算 例13：計算定積分：（答案：） 例14：計算定積分： 例15：試證連續(xù)函數(shù)是周期函數(shù)的充分必要條件是：存在，使對一切的，有 例16：計算定積分：（答案：）例17：是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：或是以為周期的周期函數(shù)，或是線性函數(shù)與周期函數(shù)的和。例18：計算，其中例19：設(shè)在上連續(xù)，且滿足 證明： （2004年數(shù)學三） 例20：設(shè)在上的導數(shù)連續(xù)，且.證明：對任何，有 例21：設(shè)在上一階可導，且。證明：當時，例22：設(shè)是區(qū)間上單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù)， ，證明數(shù)列的極限存在。例23：設(shè)在上連續(xù)，對任意的都有，證明例24：設(shè)在上連續(xù)，且，證明： 例25：設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)

3、，“” 表示“”，則必有（）是偶函數(shù)是奇函數(shù)。（）是奇函數(shù)是偶函數(shù)。（）是周期函數(shù)是周期函數(shù)。（）是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)。（答案：（） (2005年數(shù)學一)例25：設(shè)是連續(xù)函數(shù)（）利用定義證明函數(shù)可導，且（）當是以2為周期的周期函數(shù)時，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù). (2008年數(shù)學一)三廣義積分例1：求例2：求例3：求例4：求 （答案：）四定積分的應(yīng)用例1：求由與圍成的圖形面積（兩部分都要計算）。（答案：）例2：過點作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及軸圍成一平面圖形，求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。例3：設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的面積為，并且。（1） 試確定的值，使達到最小，并求出最小值；（答案：）（2） 求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（答案：）例4：設(shè)平面圖形由與所確定，求圖形繞直線軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。（答案：）例5：將拋物線在橫坐標之間（）的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)，問為何值時，該旋轉(zhuǎn)體的體積等于以弦繞軸旋轉(zhuǎn)所成錐體的體積？例6：過坐標原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1) 求的面積.（答案：）(2) 求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.（答案：）例7：曲線與直線及圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形饒軸旋轉(zhuǎn)一周得一