淺談排列組合中的分組問題

1、淺談排列組合中的分組問題 內(nèi)容摘要: 數(shù)學(xué)中的排列、組合問題跟實(shí)際生活聯(lián)系緊密,有些問題更像游戲規(guī)則,致使學(xué)生對(duì)這一部分有更高的興趣,但是題型多樣，思路靈活，邏輯思維要求比較高,所以不易掌握。其實(shí)，分組問題也是有規(guī)律性的，只要認(rèn)真去分析、總結(jié)，也是可以很好的解決此類問題的。一方面，審題要清,搞清楚是哪類分組問題，對(duì)癥下藥；另一方面，由于加法原理和乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的最基本的出發(fā)點(diǎn)，可以說對(duì)每道應(yīng)用題我們都在進(jìn)行分類或分步處理,數(shù)據(jù)計(jì)算都是以這兩個(gè)原理為理論根據(jù)。在分組問題中用好這兩個(gè)原理，思路就會(huì)變得很清晰。還有就是有些學(xué)生對(duì)老師的計(jì)算式不理解，為什么要除，為什么要減？此時(shí)，老師有必要

2、用最笨的方法寫出所有的排列和組合，應(yīng)該除，還是應(yīng)該減就是一目了然的了。 數(shù)學(xué)中的排列、組合問題跟實(shí)際生活聯(lián)系緊密，有些問題更像游戲規(guī)則,致使學(xué)生對(duì)這一部分有更高的興趣，但是題型多樣，思路靈活，邏輯思維要求比較高，所以不易掌握。 分組問題是排列組合教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，是一類典型問題。下面就排列組合中的分組問題，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的體會(huì)和做法。一、 審題要清,搞清楚是哪類分組問題例如：8本不同的書，按照以下要求分配，各有多少種不同的分法?一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；甲得1本,乙得2本,丙得5本；甲、乙、丙三人， 一人1本, 一人2本, 一人5本；平均分給甲、乙、丙、丁四人；平均分成四堆；分

3、成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；給三人一人4本, 一人2本, 一人2本。解析:小題屬非平均分組問題,僅僅分組, 分組與順序無關(guān)，是組合問題，共有種不同的分法；小題屬非平均分組定向分配問題,先分組,再分配, 但是是定向分配不涉及排序,共有種不同的分法；小題屬非平均分組不定向分配問題,先分組,再分配, 與順序有關(guān),需排序,共有種不同的分法；小題屬平均分組不定向分配問題,先分組有種分法,再分配, 與順序有關(guān), 有種排列,共有種不同的分配方法；小題屬平均分組問題, 分組與順序無關(guān)，是組合問題，有種不同分法；小題屬部分平均分組問題,分組與順序無關(guān)，有種不同分法；小題屬部分平均分組不定向分配問題,先

4、分組,再分配,與順序有關(guān),有種不同分法。二、 用好兩個(gè)原理 加法原理和乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的最基本的出發(fā)點(diǎn)，可以說對(duì)每道應(yīng)用題我們都在進(jìn)行分類或分步處理，數(shù)據(jù)計(jì)算都是以這兩個(gè)原理為理論根據(jù)。在分組問題中用好這兩個(gè)原理，思路就會(huì)變得很清晰。例如：3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法種數(shù)共有多少？解析：用分步計(jì)數(shù)的原理,分兩大步：第一大步：先把 3名醫(yī)生分配到3所學(xué)校共有種(分三小步) ；第二大步：再把6名護(hù)士分配到3所學(xué)校共有種(分三小步) ；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得（種）。例如：6名旅客安排在3個(gè)房間，每個(gè)房間至少安排一名旅客，則不同的安排

5、方法種數(shù)共有多少？解析:整體分三類：先把6名旅客分成1，1，4三組，有種分法，再分配到3個(gè)房間有種情況，由分步計(jì)數(shù)原理可得有種安排方法；先把6名旅客分成1，2，3三組，有種分法，再分配到3個(gè)房間有種情況，由分步計(jì)數(shù)原理可得有種安排方法；先把6名旅客分成2，2，2三組，有種分法，再分配到3個(gè)房間有種情況，由分步計(jì)數(shù)原理可得有種安排方法；由分類計(jì)數(shù)原理，知共有不同的安排種數(shù)為90+360+90=540（種）。三、 通過笨辦法讓學(xué)生理解巧方法 許多學(xué)生不理解平均分組(包括全平均分組和部分平均分組)為什么要除以平均分組的組數(shù)的全排列數(shù)，僅僅是通過套題型的方法去解決問題，導(dǎo)致對(duì)這部分知識(shí)的理解不透徹。在教學(xué)時(shí)老師可以把一個(gè)例子中的所有的排列和組合(包括重復(fù)的)都羅列出來，學(xué)生一看就明白了，同時(shí)也告訴一種理解此類問題的方法。只要通過這種笨辦法找出分組中的重復(fù)情況，從而清楚的理解一個(gè)問題,其它的問題也就迎刃而解了。例如：把a(bǔ)、b、c、d四個(gè)小球平均分成兩組，有多少種分法？解析：先取兩個(gè)，再取