專題24.8解直角三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（原卷版）

專題24.8解直角三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】 1【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】 2【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應用】 3【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應用】 4【題型5解非直角三角形】 6【題型6巧設輔助未知數(shù)解直角三角形】 7【題型7構(gòu)造直角三角形進行線段或角的計算】 8【題型8解直角三角形與圓的綜合應用】 9【題型9構(gòu)造直角三角形解決實際問題】 10【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】【例1】（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠C=90°，E為邊BC上的點，△ADE為等邊三角形，BE=8，CE=2，則tan∠AEB的值為（）

A．375 B．275 C．【變式11】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，連接BC、DE交于點F，則cos∠BFE【變式12】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，過D作DE∥BC交AC于點E，將△DEC沿DE折疊得到△DEF，DF交AC于點G．若AGGE

【變式13】（2023春·江蘇常州·九年級校考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC邊上的高，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到△EFC（點E、F分別與點A、B對應），點F落在線段AD上，連接AE，則cos∠EAF=【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】【例2】（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）已知點P在△ABC內(nèi)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱點P為△ABC的自相似點，如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°【變式21】（2023春·吉林長春·九年級校考期中）如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，延長BC到點E，使CE=AC，過點E作AC的平行線與AD的延長線交于點F．

(1)求證：四邊形ACEF是菱形；(2)連結(jié)AE，若tan∠ACB=158【變式22】（2023秋·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期末）如圖，平面上七個點A、B、C、D、E、F、G，圖中所有的連線長均相等，則cos∠BAF=．【變式23】（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O．點M是BC邊的中點，連接AM、OM，作CF∥AM．已知OC平分∠BCF，OB平分∠AOM，若BD=32，則sin∠BAM【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應用】【例3】（2023春·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD為矩形，點E為邊AB一點，將△ADE沿DE折疊，點A落在矩形ABCD內(nèi)的點F處，連接BF，且BE=EF，∠BEF的正弦值為2425，則ADAB的值為（A．23 B．45 C．35【變式31】（2023·福建·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點M、N分別在邊AB、AD上（不與端點重合），且DM⊥CN于點P．若∠APD=135°，則cos∠MNP=【變式32】（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=35，將△ABC繞頂點C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，且使得B′恰好落在AB邊上，A′B′與AC交于點D，則B

A．25 B．720 C．310【變式33】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（

A．25+34 B．25+1 【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應用】【例4】（2023·廣東惠州·校考模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，點E為弧AC的中點，AC、BE交于點D，過A的切線交BE的延長線于F．

(1)求證：AD=AF；(2)若AOAF=2【變式41】（2023·湖北武漢·?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，PB交⊙O于D，點C是弧BD上一點，PC=PA．

(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若CD∥AB，求【變式42】（2023·浙江杭州·?？既＃┤鐖D1，三角形ABC內(nèi)接于圓O，點D在圓O上，連接AD和CD，CD交AB于點E，∠ADE+∠CAB=90°

(1)求證：AB是直徑；(2)如圖2，點F在線段BE上，AC=AF，∠DCF=45°①求證：DE=DA；②若AB=kAD，用含k的表達式表示cosB【變式43】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點，點B是DC延長線上一點，連AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB(3)在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連PC、PD，若AB=26，求AE?AP【題型5解非直角三角形】【例5】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，連接AC，點E在AC上，∠DEF=90°,EC平分∠DEF,AE=

【變式51】（2023春·九年級單元測試）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=223，則∠ABC的大小為【變式52】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市景范中學校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為255（即cosC=25【變式53】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學?？寄M預測）已知：在△ABC中，BA=BC，sin∠CAB=45，點E是AC的中點，F(xiàn)是直線BC上一點，連接EF，將△EFC沿著EF折疊，點C的對應點為D

(1)如圖1，若點D在線段AB上，求證：EF∥(2)如圖2，DF與AB交于點M，連接AF，若∠DAF=∠EAF，求證：點M是AB的中點；(3)如圖3，點F在CB延長線上，DF與AB交于點M，EF交AB于點N，若DE=EN=3，求MF·MA．【題型6巧設輔助未知數(shù)解直角三角形】【例6】（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，sinA=1213,BC=13,CD=24，點E在邊CD上，將△BCE沿直線BE翻折，點C落在點F處，且【變式61】（2023·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC的中點，點E在邊AB上，將△BDE沿直線DE翻折，使得點B落在同一平面內(nèi)的點B′處，線段B′D交邊AB于點F，聯(lián)結(jié)AB′，當△A【變式62】（2023春·浙江·九年級期末）如圖，四邊形ABCD，CEFG均為菱形，∠A=∠F，連結(jié)BE，EG，EG//BC，EB⊥BC，若sin∠EGD=13，菱形ABCD【變式63】（2023秋·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD=∠ACB，G是線段OD上一點，且∠DGC?∠DCG=90°，①當AC⊥BD時，OGGD的值為，②當tan∠CDB=24時，

【題型7構(gòu)造直角三角形進行線段或角的計算】【例7】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=4，BC=8，點E在BC上且CE=AE，則CE=；若點F為平面內(nèi)一點，且∠AFC=90°，連接EF，當tan∠CEF=2時，EF的值為【變式71】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠ABC，tan∠ADC=43，延長AB、DC交于點P，若CD=114，PB=3CD【變式72】（2023春·江蘇常州·九年級校考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D、E分別是邊AB、邊BC上的點，連接CD，∠CDE=∠B，F(xiàn)是DE延長線上一點，連接FC，∠FCE=∠ACD．(1)判斷△CDF的形狀，并說明理由；(2)若AD=4，求EFDE(3)若sinB=35①求BDDE②求FC的長．【變式73】（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖1，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACP的平分線相交于點D，AE平分∠BAC并交BD于點E．

(1)求證：∠BAC=2∠D；(2)若BC=AC，且cos∠BAC=35(3)如圖2，過點D作DF⊥BC，垂足為F,BFDF=3，其中BEDE=12，連接【題型8解直角三角形與圓的綜合應用】【例8】（2023·黑龍江綏化·校考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經(jīng)過點A，D的圓O分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接EF

(1)求證：BC是圓O的切線；(2)求證：AD(3)若BE=16，sinB=513【變式81】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）點D在以AB為直徑的⊙O上，分別以AB，AD為邊作平行四邊形ABCD．(1)如圖（1），若∠C=45°，求證：CD與⊙O相切；(2)如圖（2），CD與⊙O交于點E，若cosA=35【變式82】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC、BC，D為BC延長線上一點，連接

(1)求證：AD為⊙O的切線；(2)若E為弧AB的中點，連接AE、CE，tan∠AEC=23，CE=10，【變式83】（2023·湖南長沙·?？家荒＃┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，過點D的直線交BC于點E，交AB的延長線于點P，PD是⊙O

(1)求證：BE=CE；(2)若BP=3，∠P=∠PDB，求圖中陰影部分的周長；(3)如圖2，AM=BM，連接DM，交AB于點N，若tan∠DMB=12【題型9構(gòu)造直角三角形解決實際問題】【例9】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更是歷史悠久．圖1是某款長嘴壺模型放置在水平桌面l上的抽象示意圖，已知壺身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壺嘴EF=150cm，且CD∥AB，

【變式91】（2023春·浙江·九年級專題練習）火災是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點D，B，O在同一直線上，DO可繞著點O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿，點O，A，C在同一水平線上，其中BD可伸縮，套管OB的長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°

(1)求BO的長．(2)消防人員在云梯末端點D高空作業(yè)時，將BD伸長到最大長度6m，云梯DO繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m，求云梯OD旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，【變式92】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖1是一款便攜式拉桿車，其側(cè)面示意圖如圖2所示，前輪⊙O的直徑為12cm，拖盤OE與后輪⊙O′相切于點N，手柄OF⊥OE．側(cè)面為矩形ABCD的貨物置于拖盤上，AB=20cm，BC=52cm．如圖3所示，傾斜一定角度拉車時，貨物繞點B旋轉(zhuǎn)，點C落在OF上，若tan∠ABE=15，則OC的長為cm，同一時刻，點C離地面高度

【變式93】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖1是某品牌的紙張打孔機的實物圖，圖2是從中抽象出的該打孔機處于打孔前狀態(tài)的側(cè)面示意圖，其中打孔機把柄OA=5cm，BE是底座，OA與BE所成的夾角為