第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題

1、62 拉壓超靜定問(wèn)題61 超靜定問(wèn)題及其解法63 扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題64 簡(jiǎn)單超靜定梁 第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題約束反力及軸力都可以由靜力平約束反力及軸力都可以由靜力平衡方程求得，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為衡方程求得，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜定靜定問(wèn)題。問(wèn)題。憑靜力平衡方程不能求得約束反憑靜力平衡方程不能求得約束反力或軸力，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為力或軸力，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定靜不定問(wèn)題。問(wèn)題。定義定義：6-1 超靜定問(wèn)題及其解法未知力個(gè)數(shù)未知力個(gè)數(shù)-平衡方程的個(gè)數(shù)平衡方程的個(gè)數(shù)=1 =1 一次一次超靜定超靜定未知力個(gè)數(shù)未知力個(gè)數(shù)-平衡方程的個(gè)數(shù)平衡方程的個(gè)數(shù)=2 =2 二次二次超靜定超靜定解超靜定問(wèn)題的方法步驟解超靜定問(wèn)題的方法步驟

2、: :平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；物理方程物理方程彈性定律；彈性定律；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組超靜定結(jié)構(gòu)的類(lèi)型超靜定結(jié)構(gòu)的類(lèi)型1 1、不同材料制成的組和桿件的超靜定問(wèn)題、不同材料制成的組和桿件的超靜定問(wèn)題 這類(lèi)超靜定問(wèn)題的變形特征是這類(lèi)超靜定問(wèn)題的變形特征是: :兩種材料的伸長(zhǎng)兩種材料的伸長(zhǎng)( (縮短縮短) )變形相等變形相等. .6-26-2拉壓超靜定問(wèn)題拉壓超靜定問(wèn)題例例1 1 木制短柱的四角用四個(gè)木制短柱的四角用四個(gè)4040 4040 4 4

3、的等邊角鋼加固，角鋼和的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為木材的許用應(yīng)力分別為 1 1=160=160M Fa和和 2 2=12=12MFa，彈性模彈性模量分別為量分別為E1 1=200=200GFa 和和 E2 2 =10 =10GFa；求許可載荷求許可載荷P。1240NNYFFP21LL1122121122NNFLFLLLE AE A 幾何方程幾何方程物理方程及物理方程及補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程：解：解：平衡方程平衡方程:Py4FN1FN2 解平衡方程和補(bǔ)充方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得，得: :120.07 ; F0.72NNFPP1110.07NFPA求結(jié)構(gòu)的許可載荷：求結(jié)構(gòu)的許可載荷：方

4、法方法1 1: :角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得: : A1 1=3.086=3.086cm22220.72NFPA kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP4FN1FN2 mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)，的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)， 即角鋼決定最大載荷。即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 111 0.070.07NAFPkN4 .70507. 06 .308160另外：若將鋼的面積增大另外

5、：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？倍，怎樣？若將木的面積變?yōu)槿魧⒛镜拿娣e變?yōu)?5mm，又又怎樣怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。方法方法2:2:、幾何方程、幾何方程：解：解：、平衡方程、平衡方程：120NNYFFP0ACBCLLL 例例2 、結(jié)構(gòu)受力如圖、結(jié)構(gòu)受力如圖,求兩端的約束反力求兩端的約束反力L1L2p AE1A1 CE2A2 B二、 兩端固定的超靜定問(wèn)題 這類(lèi)超靜定問(wèn)題的變形特征是:桿件的總長(zhǎng)度不變.FN1FN2ACBP、物理方程、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: :1221112211222111NNPFE A LE ALPFE

6、ALE A L、補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程11112222 NACNBCF LLE AFLLE A 112211220NNF LFLE AE A伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)縮短縮短三、桿系超靜定結(jié)構(gòu)三、桿系超靜定結(jié)構(gòu)這類(lèi)超靜定問(wèn)題的變形特征是這類(lèi)超靜定問(wèn)題的變形特征是: :結(jié)構(gòu)受力變形后各節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)受力變形后各節(jié)點(diǎn)仍連接于一點(diǎn)仍連接于一點(diǎn). .解這類(lèi)超靜定問(wèn)題必須有兩種圖和兩種方程解這類(lèi)超靜定問(wèn)題必須有兩種圖和兩種方程兩種圖兩種圖受力圖受力圖變形幾何關(guān)系圖變形幾何關(guān)系圖變形與變形與內(nèi)力一致內(nèi)力一致靜力平衡方程靜力平衡方程補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程兩種方程兩種方程例例3 設(shè)設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長(zhǎng)為：三桿用鉸鏈連接如

7、圖，已知：各桿長(zhǎng)為：L1 1= =L2 2、 L3 3 = =L ；各桿面積為；各桿面積為A1=A2=A、 A3 3 ；各桿彈性模量；各桿彈性模量為：為：E1 1= =E2 2= =E、E3 3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。CPABD123解：解：、平衡方程、平衡方程: :12sinsin0NNXFF123coscos0NNNYFFFPPAFN1FN3FN211111NFLLE A33333NFLLE A幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：物理方程物理方程彈性定律：彈性定律：補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程

8、和補(bǔ)充方程組成的方程組，得解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得: :cos31LL11331133cosNNFLFLE AE A233111233311331133cos ; F2cos2cosNNNE A PE APFFE AE AE AE ACABD123A11L2L3L例例4、(練習(xí)）練習(xí)） 所示構(gòu)架的三根桿件由同一所示構(gòu)架的三根桿件由同一材料制成材料制成.各桿的橫截面面積為各桿的橫截面面積為A1,A2,A3,在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)B所受的力為所受的力為p ,求各桿的內(nèi)力求各桿的內(nèi)力.CBADp1 32pBN2N3N1解解 這是一次超靜定這是一次超靜定1 畫(huà)節(jié)點(diǎn)畫(huà)節(jié)點(diǎn)B的受力圖的受力圖2 列靜力

9、平衡方程列靜力平衡方程0X 00132cos30cos300(1)NN N0021sin30sin300(2)NNp0Y 3 畫(huà)節(jié)點(diǎn)畫(huà)節(jié)點(diǎn)B的位移圖的位移圖BB3B2B1B/ED3002313L1L2LGED=BD-BG-GE5 建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程將物理關(guān)系代入幾何關(guān)系將物理關(guān)系代入幾何關(guān)系4 建立幾何變形關(guān)系建立幾何變形關(guān)系33112212312321,0.5(3)N LN LN LLLLEAEAEANN3得N聯(lián)立聯(lián)立(1),(2),(3)可得可得12357.7() 42.3() 13.5()NKNNKNNKN壓壓拉1 1、靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)溫度升高時(shí)可自由變、靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)溫度升高時(shí)可自由變形所

10、以不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力，即形所以不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力，即無(wú)溫?zé)o溫度應(yīng)力。度應(yīng)力。一一 、溫度應(yīng)力、溫度應(yīng)力例例1 1、如圖，如圖，1 1、2 2號(hào)桿的尺寸及材料都號(hào)桿的尺寸及材料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由T1 1變到變到T2 2時(shí)時(shí), ,求各求各桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線(xiàn)膨脹系數(shù)分桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線(xiàn)膨脹系數(shù)分別為別為 i ; ; T= = T2 2 - -T1 1) )CABD123A11L2L3L2 2、靜不定問(wèn)題、靜不定問(wèn)題存在溫度應(yīng)力存在溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力CABD123A11L2L3L、幾何方程、幾何方程解：解：、平衡方程、平衡方程: :12sin

11、sin0NNXFF123coscos0NNNYFFFcos31LLiNiiiiiiF LLTLE A、物理方程：、物理方程：PAFN1FN3FN2CABD123A11L2L3L、補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程313111331133()cosNNF LF LTLTLE AE A解平衡方程和補(bǔ)充方程，得解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: :221113131133(cos) 1 2cos /NNE ATFFE A E A211133311332(cos)cos 1 2cos /NE ATFE A E A aaaaFN1FN2例例2 2、 如圖，階梯鋼桿的上下兩端在如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1 1=5=5時(shí)被時(shí)被固定

12、固定, ,桿的上下兩段的面積分別桿的上下兩段的面積分別 = = cm2 ， = =cm2，當(dāng)溫度升至，當(dāng)溫度升至T2 2=25=25時(shí)時(shí), ,求求各桿的溫度應(yīng)力。各桿的溫度應(yīng)力。( (線(xiàn)膨脹系數(shù)線(xiàn)膨脹系數(shù) =12.5=12.5 彈性模量彈性模量E=200=200GPa) )C1106、幾何方程：、幾何方程：解：解：、平衡方程：、平衡方程：210NNYFF0NTLLL、物理方程、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: :1233.3kN NNFF、補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程12122 ; NNTNF aF aLa TLEAEA22112EANEANT、溫度應(yīng)力、溫度應(yīng)力11166.7M

13、Pa NFA22233.3MPa NFA、幾何方程、幾何方程解：解：、平衡方程、平衡方程: : 2 2、靜不定問(wèn)題存在裝配應(yīng)力。、靜不定問(wèn)題存在裝配應(yīng)力。12sinsin0NNXFF123coscos0NNNYFFF13cos)(LL二、裝配應(yīng)力二、裝配應(yīng)力1、靜定問(wèn)題無(wú)裝配應(yīng)力。、靜定問(wèn)題無(wú)裝配應(yīng)力。 例例3 3 如圖，如圖，3 3號(hào)桿的尺寸誤差為號(hào)桿的尺寸誤差為 ，求，求 各桿的裝配內(nèi)力各桿的裝配內(nèi)力。ABC12ABC12DA1331311133()cosNNF LF LE AE A、物理方程及、物理方程及補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程： 、解平衡方程和補(bǔ)充方程，得、解平衡方程和補(bǔ)充方程，得: :221

14、11331133cos 1 2cos /NNE AFFLE AE A31133311332cos 1 2cos /NE AFLE AE A A1FN1FN2FN3AA13L2L1L6-3 6-3 扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題 例題例題 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a) 解解: : 1. 有二個(gè)未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次超靜定問(wèn)題。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約

15、束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿(mǎn)足的位移相容條件為注：這里指的是兩個(gè)扭轉(zhuǎn)角的絕對(duì)值相等。BBMBMe另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lbMMTAACe從而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例題例題2由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的

16、變化情況。(a) 解解: : 1. 銅桿和鋼管的橫截面上各有一個(gè)未知內(nèi)力矩 扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程Ta+Tb= Me，故為一次超靜定問(wèn)題。TaTb(b)2. 位移相容條件為BbBa3. 利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4. 聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep鋼管橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為baIGIGMGITbbaabbbbppep 上圖示出了銅桿

17、和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在 = a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的。aaab6 64 4 簡(jiǎn)單超靜定梁的求解簡(jiǎn)單超靜定梁的求解1 1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算）、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算）2 2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3 3、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力、把物理?xiàng)l件代入幾何方

18、程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力4、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。L/2A AC CAqL/2B=L/2A AC CAqL/2BFcY分析0CYCFCqCwww048384534EILFEIqLCYqLFCY85步驟步驟q q 0 0L LA AB BF FBYBY=q q 0 0L LA AB BEI、幾何方程解解：、建立靜定基0BYBFBqBwww、由物理關(guān)系確定力的 補(bǔ)充方程求出多余反力34;83BYBYBqBFFLqLwwEIEI 34083BYF LqLEIEI83qLFBY0AAMAqAq q 0 0L LA AB BM A=A AB

19、BR R B Bq q 0 0A AB B+F FBYBYq q 0 0L LA AB BC CEI、幾何方程 解解：、建立靜定基BCBFBqBLwwwBY例例：結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。L LBCBCEA、補(bǔ)充方程求出支反力34 ;83BYBYBqBFF LqLwwEIEI EALFLBCBYBC)3(834EILALIqLFBCBY3483BYBCBYF LF LqLEIEIEA=q q 0 0L LA AB BR R B BEIFBYq q 0 0A AB B+=A AB BR RB BFBYq q 0 0L LA AB BC CEIL LB BC CEA例：結(jié)構(gòu)如上圖例：結(jié)構(gòu)如上圖，E=2

20、10Gpa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB為矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m, 求結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)。 解解：由上題可知q q0 0A AB BNBC)(14.8)3(834kNEILALIqLFFBCBYNBC maxmaxzABWM)(6237202MPa 彎矩如圖. )(4.81108140 4MPaAFBCNBCBC94.24.81240max snNBCMx-23.72k N m1.64k N m例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 處鉸接，處鉸接，A A、C C 兩端固定，梁的抗彎剛度兩端

21、固定，梁的抗彎剛度均為均為EIEI，F(xiàn) F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖。畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B B 處拆開(kāi)，使超靜定結(jié)構(gòu)變處拆開(kāi)，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理關(guān)系物理關(guān)系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得補(bǔ)充方程：代入得補(bǔ)充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234確定確定A A 端約束力端約束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqMFB F ByB1yB20, 0 FFFFCBy確定確定B B 端約束力端約束力 kN75.4875. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m115