定義域和值域的逆向問題

1、定義域和值域的逆向問題定義域和值域的逆向問題，是數(shù)學(xué)中的常見問題， 解決好此類問題，可以鍛煉同學(xué)們的逆向思維能力,因此要重視此類問題的解決。一、已知定義域求值域例1求定義域在】-1, 1 上的函數(shù)y = b 0)的值域。a bx2a解：函數(shù)式變形為 y = -1，顯然y工-1a bx由原函數(shù)表達(dá)式可得 x二a(y 1)。b(y+1)又 一1 乞 x 乞 1，得 一 1 乞 a(y 一1) 1 ,b(y+1)解得口廠空口 ,a b a -b即此函數(shù)的值域?yàn)?電迪，衛(wèi)。La b a -b注：此法是把函數(shù)式視為關(guān)于 x的方程，解出x，再運(yùn)用已知的定義域，解關(guān)于 y的不等式求得值域。二、已知值域求定義

2、域2x _1例2已知函數(shù)y二的值域是y | y乞0或y - 3，求此函數(shù)的定義域。x -12x 11解：由么乞0，解得丄 x 0(2 )當(dāng)a21式0時(shí)，有222解不等式組得1ca蘭9。也=(a1)2 4(a2 1)0-a + 1綜上知，當(dāng)xR時(shí)，使得f (x)有意義的a的取值范圍是1, 9。注：此問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，但要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)的分類討論。四、已知值域求解參數(shù)問題2x2 + ax +b例4 已知函數(shù) y=2的值域?yàn)?, 3，求a、b的值。x +12解：由題意知X R，把原函數(shù)變形為(y - 2)x - ax y - b =0當(dāng)y -2 =0時(shí)，滿足題意當(dāng) y -

3、2 =0 時(shí)，因 x R，所以=a2 4(y - 2)(y - b) _ 0，即 4y2 4(b 2)y 8b a2 空 0。 因1乞y乞3 ,所以1和3是方程4y2 - 4(b 2)y 8b - a2 = 0的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理解得 a = 2, b =2。注：解決此問題的關(guān)鍵在于把求值域的問題和解一元二次不等式的問題聯(lián)系起來，最后通過比較同解 不等式的系數(shù)，列方程求出參數(shù)的值。五、已知定義域和值域求解參數(shù)問題例 5 已知二次函數(shù) f(x) = ax2 bx c(- 0)滿足條件 f (-x 5) = f(x-3), f(2)=0，且方程f (x)二x有兩個(gè)相等實(shí)根。問是否存在實(shí)數(shù)m、n(

4、m ： n)，使得f (x)的定義域?yàn)閙, n時(shí)，值域?yàn)?m，3n。如果存在，求出 m、n的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。解：因f(-x 5) = f(x -3)，所以函數(shù)f (x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x = 5 3 =1，可得- =122a由 f(2) =0,得 4a 2b 0因方程f(x)=x有兩個(gè)相等實(shí)根，即ax2 (b-1)x，c = 0有相等實(shí)根，所以厶=(b - 1)2 -4ac = 01將代入，得c =0。由知，b=1，所以a二-1。21 2 1 2 1 1貝 H f(x)_x x-(xT)-一 ,2 2 2 211所以3n J，即nJ 。26f (x)在m, n上單調(diào)遞增，假設(shè)存

5、在滿足條件的m、n,則 1 2f (m) = m = 3m21 2f (n) n n = 3nI 2m = 0或一 4 n =0或- 4又m ： n ，貝U m=-4， n=0，即存在 m=-4， n=0滿足條件。6注：解決定義域和值域共存問題時(shí)，不要盲目進(jìn)行分類討論，而應(yīng)從條件出發(fā)，分析和探討出解決問 題的途徑，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而使問題得以解決。練一練：求下列函數(shù)的值域:51.y 2:y2x2 -4x 33x -2: y = x 2 1 - x 2。2.求函數(shù)y = xx(x _ 0)的最大值。答案:1. y(0,5(提示：52=一1)2+1，而 I) +心，可得0 :1,122(x -1)15另外，原函數(shù)變形為 2yx - 4yx，3y-5=0，因R ,所以，:=(4y)2 -4 2y(3y -5) _0 ,即 y2 - 5y _ 0,0 _ y _ 5且 y = 0) 2y I y R且y豐. 2(x-1)12 772(提示： y =- ，而 _0，所以y_ )3 3(3x2)3(3x 2)3 y(- - ,4（提示：因 y 二 _C.1 _x _1）24，所以 y （-: ：,4。另外，令 t -.、1 -x（t _0），則 x =1 -12,所以 y - -t2 2