雞兔同籠問題五種基本公式和例題講解

1、雞兔同籠問題五種基本公式和例題講解【雞兔問題公式】（1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（總腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)）（每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。或者是（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。例如，“有雞、兔共36只，它們共有腳100只，雞、兔各是多少只？”解一 （100-236）（4-2）=14（只）兔；36-14=22（只）雞。解二 （436-100）（4-2）=22（只）雞；36-22=14（只）兔。（答 略）（2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多時，可用公式（每只雞腳數(shù)總頭數(shù)-腳數(shù)之差）（

2、每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)或（每只兔腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）（3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時，可用公式。（每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。或（每只兔的腳數(shù)總頭數(shù)-雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分?jǐn)?shù)產(chǎn)品總數(shù)-實得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)?；蛘呤强偖a(chǎn)品數(shù)-（每

3、只不合格品扣分?jǐn)?shù)總產(chǎn)品數(shù)+實得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)。例如，“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個合格品記4分，每生產(chǎn)一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？”解一 （41000-3525）（4+15）=47519=25（個）解二 1000-（151000+3525）（4+15）1000-1852519=1000-975=25（個）（答略）（“得失問題”也稱“運玻璃器皿問題”，運到完好無損者每只給運費元，破損者不僅不給運費，還需要賠成本元。它的解法顯然可套用上述公式。）（

4、5）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題），可用下面的公式：（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)和）+（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=雞數(shù)；（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差）2=兔數(shù)。例如，“有一些雞和兔，共有腳44只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳52只。雞兔各是多少只？”解 （52+44）（4+2）+（52-44）（4-2）2=202=10（只）雞（52+44）（4+2）-（52-44）（4-2）2=122=6（只）兔（答略）雞兔同籠目錄 1總述 2假設(shè)法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6詳

5、解 7詳細(xì)解法 基本問題 特殊算法 習(xí)題8雞兔同籠公式1總述雞兔同籠是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭,從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？算這個有個最簡單的算法。（總腳數(shù)-總頭數(shù)雞的腳數(shù)）（兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù)）=兔的只數(shù) （94352）2=12(兔子數(shù)) 總頭數(shù)（35）兔子數(shù)（12）=雞數(shù)（23） 解釋：讓兔子和雞同時抬起兩只腳，這樣籠子里的腳就減少了頭數(shù)2只，由于雞只有2只腳，所以籠子里只剩下兔

6、子的兩只腳，再除以2就是兔子數(shù)。雖然現(xiàn)實中沒人雞兔同籠。2假設(shè)法假設(shè)全是雞：235=70（只） 雞腳比總腳數(shù)少：9470=24 （只） 兔：24(4-2)=12 （只） 雞：3512=23（只） 假設(shè)法（通俗） 假設(shè)雞和兔子都抬起一只腳，籠中站立的腳： 94-35=59（只） 然后再抬起一只腳，這時候雞兩只腳都抬起來就摔倒了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=24（只） 兔：242=12（只） 雞：35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：設(shè)兔有x只，則雞有(35-x）只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=242 x=12

7、35-12=23(只） 或 解：設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只。 2x+4(35-x)=942x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只） 答：兔子有12只，雞有23只。注：通常設(shè)方程時，選擇腿的只數(shù)多的動物，會在套用到其他類似雞兔同籠的問題上，好算一些。二元一次方程解：設(shè)雞有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94（x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有12只，雞有23只4抬腿法 法一 假如讓雞抬起一只腳，兔子抬

8、起2只腳，還有94除以2=47只腳?；\子里的兔就比雞的頭數(shù)多1，這時，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)。法二假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94352=24只腳 ， 這時雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有242=12只兔子，就有3512=23只雞5列表法腿數(shù)雞（只數(shù)）兔（只數(shù)）6詳解中國古代孫子算經(jīng)共三卷，成書大約在公元5世紀(jì)。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術(shù)題，比如“雞兔同籠”問題： 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？ 題目中給出雉兔共有35只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，看

9、作是一只腳，那么，兔子就成了2只腳，即把兔子都先當(dāng)作兩只腳的 雞。雞兔總的腳數(shù)是352=70（只），比題中所說的94只要少94-70=24（只）。 現(xiàn)在，我們松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會增加2只，即70+2=72（只），再松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)又增加2，2，2，2，一直繼續(xù)下去，直至增加24，因此兔子數(shù)：242=12（只），從而雞有35-12=23（只）。 我們來總結(jié)一下這道題的解題思路：如果先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔

10、。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）（每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。 我們也可以采用列方程的辦法：設(shè)兔子的數(shù)量為x，雞的數(shù)量為y 那么：x+y=35那么4x+2y=94 這個算方程解出后得出：兔子有12只，雞有23只。7詳細(xì)解法基本問題 雞兔同籠是一類有名的中國古算題。最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-假設(shè)法來求解。因此很有必要學(xué)會它的解法和思路. 例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只 解：我們設(shè)想，每只雞都是金雞獨立,一只腳站著；而每只兔子都

11、用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著?，F(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只）. 在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次。因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù) 122-88=34（只）， 有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只。 答：有兔子34只,雞54只。 上面的計算，可以歸結(jié)為下面算式： 總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù). 總頭數(shù)-兔子數(shù)=雞數(shù)特殊算法上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的。做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2,4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，腳數(shù)就不一定是4和2，上面的計算方

12、法就行不通。因此，我們對這類問題給出一種一般解法. 還說例1. 如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了 884-244=108（只）. 每只雞比兔子少(4-2)只腳，所以共有雞 (884-244)(4-2)= 54（只）. 說明我們設(shè)想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是雞.因此可以列出公式 雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）. 當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是雞,那么共有腳288=176（只），比244只腳少了 244-176=68（只）. 每只雞比每只兔子少(4-2)只腳， 682=34（只）. 說明設(shè)想中的雞,有34只是兔子，也可以列出公式 兔數(shù)=（總

13、腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）. 上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù)。 假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為假設(shè)法. 現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面的公式。 例2 紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅，藍(lán)鉛筆各買幾支？ 解：以分作為錢的單位.我們設(shè)想，一種雞有11只腳，一種兔子有19只腳，它們共有16個頭，280只腳。 現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有 藍(lán)筆數(shù)=(1916-280)(19-11) =248 =3（支）. 紅筆數(shù)=16-3=1

14、3（支）. 答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆。 對于這類問題的計算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的腳數(shù)19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是兔子,8只是雞,根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是 8(11+19)=240（支）。 比280少40. 40(19-11)=5（支）。 就知道設(shè)想中的8只雞應(yīng)少5只，也就是雞(藍(lán)鉛筆）數(shù)是3. 308比1916或1116要容易計算些。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計算. 實際上，可以任意設(shè)想一個方便的兔數(shù)或雞數(shù)。例如，設(shè)想16只中，兔數(shù)為10,雞數(shù)為6，就有腳數(shù) 1910+116=256. 比280少24. 24(19-11)=3, 就知道設(shè)想6

15、只雞,要少3只。 要使設(shè)想的數(shù)，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng). 下面再舉四個稍有難度的例子。 例3 一份稿件，甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成，現(xiàn)在甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時。甲打字用了多少小時？ 解：我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時打306=5（份），乙每小時打3010=3（份）. 現(xiàn)在把甲打字的時間看成兔頭數(shù)，乙打字的時間看成雞頭數(shù)，總頭數(shù)是7.兔的腳數(shù)是5,雞的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題了。 根據(jù)前面的公式 兔數(shù)=(30-37)(5-3) =4.5, 雞數(shù)=7-4.5 =2.

16、5, 也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時。 答：甲打字用了4小時30分. 例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后(2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？ 解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作雞頭數(shù)，弟的年齡看作兔頭數(shù)。25是總頭數(shù).86是總腳數(shù).根據(jù)公式，兄的年齡是 (254-86)(4-3)=14（歲）. 1998年，兄年齡是 14-4=10（歲）. 父年齡是 (25-14)4-4=

17、40（歲）. 因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是 (40-10)(3-1)=15（歲）. 這是2003年。 答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3倍. 例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只？ 解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成8條腿與6條腿兩種。利用公式就可以算出8條腿的 蜘蛛數(shù)=(118-618)(8-6) =5（只）. 因此就知道6條腿的小蟲共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀。再利用一次公式 蟬數(shù)=(132-20)(2

18、-1)=6（只）. 因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）. 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。 例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人？ 解：對2道，3道，4道題的人共有 52-7-6=39（人）. 他們共做對 181-17-56=144（道）. 由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（(2+3)2=2.5).這樣 兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5, 總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39. 對4道題的有 (144-2.539)(4-2.5)=31

19、（人）. 答：做對4道題的有31人。 以例1為例 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？以簡單的X方程計算的話，我們一般用設(shè)大數(shù)為X，那么也就是設(shè)兔為X，那么雞的只數(shù)就是總數(shù)減去雞的只數(shù)，即（88-X）只。 解：設(shè)兔為X只。則雞為（88-X）只。 4X+2（88-X）=244 上列的方程解釋為：兔子的腳數(shù)加上雞的腳數(shù)，就是共有的腳數(shù)。4X就是兔子的腳數(shù)，2（88-X）就是雞的腳數(shù)。 4X+288-2X=244 2X+176=244 2X+176-176=244-176 2X=68 2X2=682 X=34 即兔子為34只，總數(shù)是88只，則雞：88-34=54只。 答

20、：兔子有34只，雞有54只。習(xí)題一 1龜鶴共有100個頭，350只腳.龜，鶴各多少只 ？ 2學(xué)校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120個學(xué)生同時進(jìn)行活動。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副？ 3一些2分和5分的硬幣，共值2.99元，其中2分硬幣個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的4倍，問5分硬幣有多少個 ？ 4某人領(lǐng)得工資240元，有2元，5元，10元三種人民幣，共50張，其中2元與5元的張數(shù)一樣多。那么2元，5元，10元各有多少張？ 5一件工程，甲單獨做12天完成，乙單獨做18天完成，現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨做完余下的部分，這樣前后共用了16天.甲先做了多少天 ？ 6摩托車賽全程長

21、281千米，全程被劃分成若干個階段，每一階段中，有的是由一段上坡路(3千米），一段平路(4千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）組成的；有的是由一段上坡路(3千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）組成的。已知摩托車跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？7用1元錢買4分，8分，1角的郵票共15張，問最多可以買1角的郵票多少張？ 二、兩數(shù)之差的問題 雞兔同籠中的總頭數(shù)是兩數(shù)之和,如果把條件換成兩數(shù)之差,又應(yīng)該怎樣去解呢 例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？ 解一：如果拿出40張8分的郵票

22、，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.(680-840)(8+4)=30（張）， 這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張。因此8分郵票有 40+30=70（張）. 答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張。 也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法. 解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件8分比4分多40張,那么應(yīng)有60張8分。以分作為計算單位，此時郵票總值是 420+860=560. 比680少，因此還要增加郵票。為了保持差是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是 (680-420-860)(4+8)=10（張）. 因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70

23、（張）. 例8 一項工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天， 工程要多少天才能完成 解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有 (150-83)(10+8)= 7（天）. 雨天是7+3=10天，總共 7+10=17（天）. 答：這項工程17天完成。 請注意，如果把雨天比晴天多3天去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個。這說明了例7，例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系. 總腳數(shù)是兩數(shù)之和,如果把條件換成兩數(shù)之差,又應(yīng)該怎樣去解呢 例9 雞

24、與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？ 解一：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞282=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳42=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍。兔的只數(shù)是 (100+282)(2+1)=38（只）. 雞是 100-38=62（只）. 答：雞62只，兔38只。 當(dāng)然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只數(shù)是 (100-284)(2+1)+7=38（只）. 也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法。 解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時腳數(shù)之差是 450-250=100, 比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是

25、100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬注意，不是2).因此要減少的兔數(shù)是 (100-28)(4+2)=12（只）. 兔只數(shù)是50-12=38（只）. 另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成兩數(shù)之差,總腳數(shù)也換成兩數(shù)之差. 例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首？ 解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字?jǐn)?shù)相差1354+20=280（字）. 每首字?jǐn)?shù)相差 74-54=8（字）. 因此，七言絕句有 280(28-20)=3

26、5（首）. 五言絕句有35+13=48（首）. 答：五言絕句48首，七言絕句35首。 解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了 460-280=180（字）.與題目中少20字相差180+20=200（字）. 說明假設(shè)詩的首數(shù)少了。為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加 2008=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有 10+25=35（首）.在寫出雞兔同籠公式的時候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例7

27、，例9和例10三個問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè)?，F(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與雞兔同籠公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是 (680-840)(8+4)=30（張）. 例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是 (1004-28)(4+2)=62（只）.10，假設(shè)都是五言絕句,七言絕句的首數(shù)是 (2013+20)(28-20)=35（首）.首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與雞兔同籠公式比較，這三個算式只是有一處-成了+.其奧妙何在呢當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事。例11 有一

28、輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達(dá)時完好的瓶子數(shù)目計算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？解：如果沒有破損，運費應(yīng)是400元。但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是 (400-379.6)(1+0.2)=17（只）. 答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶。請你想一想，這是雞兔同籠同一類型的問題嗎例12 有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分

29、，問小明兩次測驗各得多少分？ 解一：如果小明第一次測驗24題全對，得524=120（分）.那么第二次只做對30-24=6（題）得分是 86-2(15-6)=30（分）. 兩次相差 120-30=90（分）. 比題目中條件相差10分，多了80分。說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分。兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.(90-10)(6+10)=5（題）. 因此第一次答對題數(shù)要比假設(shè)（全對）減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對30-19=11（題）. 第一次得分519-1

30、(24- 19)=90. 第二次得分811-2(15-11)=80. 答：第一次得90分，第二次得80分。 解二：答對30題，也就是兩次共答錯24+15-30=9（題）.第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）. 如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分。比題目中條件第一次得分多10分,要少了69+10.因此，第二次答錯題數(shù)是 (69+10)(6+10)=4（題） 第一次答錯9-4=5（題）. 第一次得分5(24-5)-15=90（分）. 第二次得分8(15-4

31、)-24=80（分）. 習(xí)題二 1買語文書30本，數(shù)學(xué)書24本共花83.4元。每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴0.44元。每本語文書和數(shù)學(xué)書的價格各是多少 ？2甲茶葉每千克132元，乙茶葉每千克96元，共買這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354元。問每種茶葉各買多少千克？ 3一輛卡車運礦石，晴天每天可運16次，雨天每天只能運11次.一連運了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但運的次數(shù)卻比晴天運的次數(shù)少27次.問一連運了多少天 ？4某次數(shù)學(xué)測驗共20道題，做對一題得5分，做錯一題倒扣1分，不做得0分。小華得了76分.問小華做對了幾道題？ 5甲，乙二人射擊，若命中，甲得4分

32、，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10發(fā)，共命中14發(fā).結(jié)算分?jǐn)?shù)時，甲比乙多10分。問甲，乙各中幾發(fā) ？ 6甲，乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地，在停留半小時后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地。已知兩人同時分別從甲，乙兩地出發(fā)，經(jīng)過4小時后，他們在返回的途中相遇.如果小張速度比小王速度每小時多走1.5千米，求兩人的速度。？ 三、從三到二 雞和兔是兩種東西，實際上還有三種或者更多種東西的類似問題.在第一節(jié)例5和例6就都有三種東西。從這兩個例子的解法，也可以看出，要把三種轉(zhuǎn)化成二種來考慮.這一節(jié)要通過一些例題，告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法。

33、例13 學(xué)校組織新年游藝晚會，用于獎品的鉛筆，圓珠筆和鋼筆共232支，共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍。已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元。問三種筆各有多少支 解：從條件鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍,這兩種筆可并成一種筆，四支鉛筆和一支圓珠筆成一組，這一組的筆，每支價格算作 （0.604+2.7)5=1.02（元）. 現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價格為1.02和6.3兩種筆。用雞兔同籠公式可算出，鋼筆支數(shù)是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12（支）. 鉛筆和圓珠筆共 232-12=220（支）. 其中圓珠筆 220(4+1)=44（支）. 鉛筆 220-44=17

34、6（支）. 答：其中鋼筆12支，圓珠筆44支，鉛筆176支。 例14 商店出售大，中，小氣球，大球每個3元，中球每個1.5元，小球每個1元。張老師用120元共買了55個球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個 解：因為總錢數(shù)是整數(shù)，大，小球的價錢也都是整數(shù)，所以買中球的錢數(shù)是整數(shù)，而且還是3的整數(shù)倍。我們設(shè)想買中球，小球錢中各出3元.就可買2個中球，3個小球。因此，可以把這兩種球看作一種，每個價錢是 (1.52+13)(2+3)=1.2（元）. 從公式可算出，大球個數(shù)是 (120-1.255)(3-1.2)=30（個）. 買中，小球錢數(shù)各是 (120-303)2=15（元）.

35、 可買10個中球，15個小球。 答：買大球30個，中球10個，小球15個. 例13是從兩種東西的個數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系，例14是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法），把兩種東西合井成一種考慮，實質(zhì)上都是求兩種東西的平均價，就把三轉(zhuǎn)化成二了。 例15是為例16作準(zhǔn)備. 例15 某人去時上坡速度為每小時走3千米，回來時下坡速度為每小時走6千米，求他的平均速度是多少 解：去和回來走的距離一樣多。這是我們考慮問題的前提. 平均速度=所行距離所用時間 去時走1千米，要用20分鐘；回來時走1千米，要用10分鐘。來回共走2千米，用了30分鐘，即半小時，平均速度是每小時走4千米.千萬注意，平均速

36、度不是兩個速度的平均值：每小時走(6+3)2=4.5千米。 例16 從甲地至乙地全長45千米，有上坡路，平路，下坡路.李強上坡速度是每小時3千米，平路上速度是每小時5千米，下坡速度是每小時6千米。從甲地到乙地，李強行走了10小時；從乙地到甲地，李強行走了11小時.問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米 解：把來回路程452=90（千米）算作全程。去時上坡，回來是下坡；去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成一種路程，根據(jù)例15，平均速度是每小時4千米?，F(xiàn)在形成一個非常簡單的雞兔同籠問題.頭數(shù)10+11=21，總腳數(shù)90，雞，兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時間是 (90-421)(5-4)=6（

37、小時）. 單程平路行走時間是62=3（小時）. 從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時）行走路程是：45-53=30（千米）. 又是一個雞兔同籠問題。從甲地至乙地，上坡行走的時間是： (67-30)(6-3)=4（小時）. 行走路程是34=12（千米）.下坡行走的時間是7-4=3（小時）.行走路程是63=18（千米）. 答：從甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。 做兩次雞兔同籠的解法，也可以叫兩重雞兔同籠問題.例16是非常典型的例題。 例17 某種考試已舉行了24次，共出了426題.每次出的題數(shù)，有25題，或者16題，或者20題。那么，其中考25題的有多少次 解：如果

38、每次都考16題，1624=384，比426少42道題. 每次考25道題，就要多25-16=9（道）. 每次考20道題，就要多20-16=4（道）. 就有 9考25題的次數(shù)+4考20題的次數(shù)=42.請注意，4和42都是偶數(shù)，9考25題次數(shù)也必須是偶數(shù)，因此，考25題的次數(shù)是偶數(shù)，由96=54比42大，考25題的次數(shù)，只能是0,2,4這三個數(shù)。由于42不能被4整除，0和4都不合適.只能是考25題有2次（考20題有6次）. 答：其中考25題有2次。例18 有50位同學(xué)前往參觀，乘電車前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下鐵路前往每人6元。這些同學(xué)共用了車費110元，問其中乘小巴的同學(xué)有多少位

39、解：由于總錢數(shù)110元是整數(shù)，小巴和地鐵票也都是整數(shù)，因此乘電車前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍. 如果有30人乘電車，110-1.230=74（元）. 還余下50-30=20（人）都乘小巴錢也不夠。說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了. 如果有40人乘電車 110-1.240=62（元）.還余下50-40=10（人）都乘地下鐵路前往，錢還有多(62610).說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了。30至40之間，只有35是5的整數(shù)倍.現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠了： 總頭數(shù)50-35=15, 總腳數(shù)110-1.235=68. 因此，乘小巴前往的人數(shù)是 (615-68)(6-4)=11. 答：乘小巴前往的同學(xué)有11位。 在“三

40、轉(zhuǎn)化為二時，例13，例14，例16是一種類型.利用題目中數(shù)量比例關(guān)系，把兩種東西合并組成一種。例17，例18是另一種類型.充分利用所求個數(shù)是整數(shù)，以及總量的限制，其中某一個數(shù)只能是幾個數(shù)值。對幾個數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件.確定了一個個數(shù)，也就變成二的問題了。在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了.更復(fù)雜的問題，只能借助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解。 習(xí)題三 1有100枚硬幣，把其中2分硬幣全換成等值的5分硬幣，硬幣總數(shù)變成79個，然后又把其中的1分硬幣換成等值的5分硬幣，硬幣總數(shù)變成63個.求原有2分及5分硬幣共值多少錢 ？ 2京劇公演共出售750張票得22200元。甲票每張

41、60元，乙票每張30元，丙票每張18元.其中丙票張數(shù)是乙票張數(shù)的2倍。問其中甲票有多少張？ 3小明參加數(shù)學(xué)競賽，共做20題得67分.已知做一題得5分，不答得2分，做錯一題倒扣3分。又知道他做錯的題和沒答的題一樣多.問小明共做對幾題 ？ 41分，2分和5分硬幣共100枚，價值2元，如果其中2分硬幣的價值比1分硬幣的價值多13分。問三種硬幣各多少枚？ 注：此題沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)運算的同學(xué)可以不做. 5甲地與乙地相距24千米。某人從甲地到乙地往返行走.上坡速度每小時4千米，走平路速度每小時5千米，下坡速度每小時6千米。去時行走了4小時50分，回來時用了5小時.問從甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少千米？6

42、某學(xué)校有12間宿舍，住著80個學(xué)生。宿舍的大小有三種：大的住8個學(xué)生，不大不小的住7個學(xué)生，小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，問這樣的宿舍有幾間 ？ 測驗題 1松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采20個，雨天每天只能采12個。它一連幾天采了112個松籽，平均每天采14個. 問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？ 2有一水池，只打開甲水龍頭要24分鐘注滿水池，只打開乙水龍頭要36分鐘才注滿水池?，F(xiàn)在先打開甲水龍頭幾分鐘，然后關(guān)掉甲，打開乙水龍頭把水池注滿.已知乙水龍頭比甲水龍頭多開26分鐘。問注滿水池總共用了多少分鐘 ？ 3某工程甲隊獨做50天可以完成，乙隊獨做75天可以完成.現(xiàn)在兩隊合做，但是中途乙隊因另有任務(wù)調(diào)離了若干天。從開工后40天才把這項工程做完.問乙隊中途離開了多少天？ 4小華從家到學(xué)校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分鐘600，跑步速度是每分鐘140米.雖然步行時間比跑步時間多4分鐘，但步行的距離卻比跑步的距離少400米。問從家到學(xué)校多遠(yuǎn)？ 5有16位教授，有人帶1個研究生，有人帶2個研究生，也有人帶3個研究生.他們共帶了27位研究生。其中帶1個研究生的教授人數(shù)與帶2,3個研究生的教授人數(shù)一樣多.問帶2個研究生的教授有