小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的邏輯思維方法和對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng).doc

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的邏輯思維方法和對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確規(guī)定， 把培養(yǎng)學(xué)生“具有初步的邏輯思維能力”作為教學(xué)目的之一。要想了解什么是邏輯思維，我們先要知道什么是抽象思維。抽象思維是一種特點在于擺脫開研究對象的具體內(nèi)容以利于其一般性質(zhì)的研究的思維。例如，我們分析一個幾何體的概念時， 我們顯然是擺脫了現(xiàn)實物體的其它所有性質(zhì)，只留下形狀、大小和空間的位置而加以研究，這就是抽象思維。邏輯思維是一種確定的（ a 就是 a，不是 b）、前后一貫的（不相矛盾的）、有條有理的（循序漸進(jìn)的）、有根有據(jù)的（理由充分的）抽象思維。邏輯思維的特點通常表現(xiàn)為善于從已知前提中異出結(jié)果； 善于從某些一

2、般情況中找出個別例子； 善于從理論上予示具體的結(jié)果， 并將所獲得的結(jié)果推廣等等。培養(yǎng)小學(xué)生具有初步的邏輯思維能力， 就是要按大綱提出的 “要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，逐步培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、綜合、抽象、概括，對簡單問題進(jìn)行判斷、推理等邏輯思維能力，同時注意思維的敏捷與靈活”。下面就大綱規(guī)定的幾種邏輯思維方法分別加以說明。1、比較比較是確定所研究的對象相同點和不同點的思維方法。蘇聯(lián)教育家馬申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)”，他還說比較能力是“人的最珍貴的智力寶藏”。在比較好中認(rèn)識一切“這句格言清楚地說明了比較在認(rèn)識中的作用。在比較好時要注意下列關(guān)于比較的原則：（ 1）比較應(yīng)當(dāng)有意義， 即彼之間有

3、確定的聯(lián)系的對象才能進(jìn)行比較。例如，我們可以比較兩個同類量的大小比較正方形、長方形、平行四邊形的的異同，但是將三角形的周長和物體的質(zhì)量作比較是沒有意義的。（ 2）比較應(yīng)當(dāng)按一定的步驟進(jìn)行，即要求準(zhǔn)確的地區(qū)分進(jìn)行比較的性質(zhì)，要以本質(zhì)的或有實際意義的特征并在同一標(biāo)準(zhǔn)下來比較。例如，對幾個多邊形的面積、周長等等可分別進(jìn)行比較好。烏申斯基認(rèn)為“在教學(xué)論中，比較應(yīng)當(dāng)是一種基本方法”，對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，這種思想也是正確的。比較是一種有效的智力活動。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用比較這一思維方法，可以調(diào)動學(xué)生積極地思考問題，自覺主動地去獲取知識。在學(xué)習(xí)中，我們所考查的數(shù)學(xué)對象，往往是同中有異、異中有同， 有的放矢的進(jìn)行

4、比較，可以幫助我們把相似的事物區(qū)分開來，把相關(guān)的知識聯(lián)系起來，得到確切的認(rèn)識。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些概念含義接近，但有本質(zhì)屬性又有區(qū)別，對這類概念，學(xué)生常常容易弄混， 運(yùn)用對比講授是認(rèn)識它們各自本質(zhì)屬性的重要方法。那么在什么情況下進(jìn)行對比講授最為適宜呢？有的認(rèn)為在建立新概念時進(jìn)行對比有助于理解， 有的則認(rèn)為在新概念初步形成后再對比更能加深對新概念的理解，我認(rèn)為后者較好。例如“等分除”與“包含除”、“體積”“容積”、“數(shù)位”與“位數(shù)”、“整除”與“除盡”、“減少”與“減少到“等等，兩個概念存在許多共同點，容易混淆，在數(shù)學(xué)中必須對他們加以比較， 讓學(xué)生弄清他們的區(qū)別和聯(lián)系，以及不同的應(yīng)用范圍。 比如”

5、等分除” 與“包含除” ，它們表面相似，本質(zhì)不同。相同的地方都是已知兩個因數(shù)的積與一個因數(shù)， 求另一個因數(shù)，又都是分的意思?！暗确殖笔前匆?guī)定的份數(shù)一份一份的分，最后分完為止，求 1 份是多少？“包含除”恰恰相反，按規(guī)定幾個為一份，幾個幾個地分，求一個數(shù)里有幾個一份數(shù)?！皽p少”與“減少到”也是容易混淆的兩個概念， 都是有一個數(shù)在原有的基礎(chǔ)上又減少一個數(shù)的意思。 “減少”表示從原來的數(shù)量上去掉一部分的意思，而“減少到”則表示減少以后現(xiàn)在的數(shù)量是多少。體積與容積，它們計算方法，使用的計量單位都是相同的，但體積是指從表面測量物體，容積則表示從里測量空心物體。 對相近的概念經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較和區(qū)分，

6、既培養(yǎng)學(xué)生對易混淆概念的自覺地進(jìn)行比較的思維能力， 也能加深理解概念的含義。此外，許多容易混淆的法則，規(guī)律和難以說明的道理，通過直觀對比也容易解決。例如，“求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法”與“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少求這個數(shù)用除法” ，這兩個問題是一件事物正反兩個方面，它存在于同一事物之中， 如果通過一個例題在一節(jié)課對比著講，進(jìn)行比較，比通過兩個例題來講效果要好。例如“ 12 公里的 3/4 是多少？”和”什么數(shù)的 3/4 是 9 公里？“對比圖解如下：由于這兩個問題建立在鮮明對比的基礎(chǔ)上， 所以便于使學(xué)生掌握正確的計算方法。2. 抽象與概括一切對象都有屬性， 那些僅屬于某一類對象， 并且又

7、能把這些對象和其它對象區(qū)別開的屬性叫做本質(zhì)屬性。抽象就是舍棄所研究的事物的某些非本質(zhì)屬性， 提示其本質(zhì)屬性的一種思維方法。概括就是把部分事物的本質(zhì)屬性結(jié)合起來， 推廣到同類全體事物的思維方法。這個過程也就是思維由個別通向一般的過程。例如我們將各種三角形邊的長短， 面積的大小，角的度數(shù)等不同的屬性舍棄掉， 從空間形式上抽出它們共同的屬性： 有三條邊和三人角的封閉圖形，這就是抽象，而把各種在邊長、大小等方面都有區(qū)別的三角形，依據(jù)它的本質(zhì)屬性歸到三角形一類中去，就是概括。抽象與概括是密切聯(lián)系著的， 不可分割的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就無從概括，概括是抽象的發(fā)展，沒有概括，抽象就失去意義。抽象是建

8、立在大量事實和科學(xué)的基礎(chǔ)上的，而不是隨隨便便的抽象。即抽象是在對部分事物屬性作分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。沒有分析、綜合，就無法進(jìn)行比較，沒有比較也就找不出事物的異同，就不能區(qū)別事物的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，也就不能進(jìn)行抽象。抽象是形成概念的關(guān)鍵性的一步，是概念形成的最主要的方法。因為經(jīng)過抽象，事物的非本質(zhì)屬性和本質(zhì)屬性的界限就清楚了，這樣對事物的認(rèn)識便躍進(jìn)到理論階段。數(shù)學(xué)中任何一個數(shù)字、一種符號、一個算式、一個公式、一種法則、一個概念、一個規(guī)律，都是抽象概括的結(jié)果，例如，簡單的等式 53=15 也可以清楚地說明抽象的本質(zhì)，教師對學(xué)生說：“我們來考慮這樣一個問題， 53=15 這個式子表示什

9、么意思？它反映了什么具體的內(nèi)容？學(xué)生會相當(dāng)容易地回答這個問題說53=15 可以表示三支鉛筆的價錢， 一個人步行了 3 小時的路程， 長方形地塊的面積等，在教學(xué)的最初階段， 教師這樣做使學(xué)生加深對抽象本質(zhì)的認(rèn)識和理解是極其必要的。根據(jù)數(shù)學(xué)較為抽象及小學(xué)生以具體形象性為主的思維特點和認(rèn)識規(guī)律，抽象與概括必須建立在大量感性材料基礎(chǔ)上， 使學(xué)生獲得豐富的表象，所采用的手段主要是讓學(xué)生動手操作和直觀教學(xué)。例如，給一年級學(xué)生講“ ”、“ =” 等關(guān)系符號時，就可以在上課時教師出一片圖，上面劃著兩個集合圖（ 6 個蘋果和 4 個香蕉）教師問“左邊集合里都是些什么？” （蘋果） “右邊集合里都是些什么？”（香

10、蕉）學(xué)生回答后教師立即提出問題： “我們來看一看蘋果比香蕉多呢？少呢？還是同樣多？” （稍停一會） “我們來看一個一個地比”于是教師在第一個蘋果和第一個香蕉上連一條紅線，并說：“一個對一個” （滲透對應(yīng)思想） ，依此類推，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)香蕉 “對”完了，蘋果還沒有“對”著的，就馬上說出“蘋果比香蕉多?！边@個結(jié)論是學(xué)生從具體事物一個個相比中獲得的。教師又問： “蘋果集里有幾個蘋果？”（ 6 個）“香蕉集里有幾個香蕉？”（ 4 個），教師板書“ 6”與“4”，這時引導(dǎo)學(xué)生比較兩數(shù)的大小。由于剛才直觀得到的表象仍得留在兒童腦中，所以很快說出“ 6 比 4 大”，于是教師進(jìn)一步告訴學(xué)生： “今天我們用一個

11、新的符號表示它” （出現(xiàn)“”，同時又教“”的讀法和寫法）。接著又出幾道題：53，1510，2421，3113，5225 讓學(xué)生填上關(guān)系符號，這時學(xué)生已完全脫離直觀，進(jìn)行邏輯思維了。在課結(jié)束前，教師又利用已經(jīng)準(zhǔn)備好的小黑板出示三個算式：7=7,7 5,7”，有時要填“ ”、“ 2”、“ 15”、“3.14 ”等也都是判斷。我們說判斷是用句子表示的，但并非說任何句子都是判斷。例如語句“ ABC是等腰三角形”判斷，因為它對ABC是否屬于等腰三角形都有所判定（肯定或否定，而語句“ ABC是等腰三角形嗎？”就不是一個判斷，因為它并沒有對ABC是否屬于等腰三角形作出判定。判斷的特有屬性是表示判斷的語句中一

12、定具有真實性或虛假性。如果判斷正確地反映了事物間客觀存在的依賴關(guān)系， 那么我們把種判斷稱為真實的判斷，否則就稱為假的判斷。例如“任何自然數(shù)都是整數(shù)”是真實的判斷，“任何整數(shù)都是自然數(shù)”是假的判斷。按照判斷本身是否還包含著其它判斷、 可將判斷分為簡單判斷和復(fù)合判斷。（ 1）簡單判斷：本身不再包含其它判斷的一種判斷，又稱直言判斷，它是由兩個概念組成，用單句來表達(dá)的判斷。例如：任何一個集合是它本身的子集；負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；有些三角形是直角三角形；有些一元二次方程沒有實數(shù)根； 0 不是自然數(shù)；0 是整數(shù)都是簡單判斷。簡單判斷由主項、謂項、量項、聯(lián)項四部分組成。主項表示判斷的對象。如中的“集合”, 中的“負(fù)

13、數(shù)”中的“三角形”、中的“一元二次方程”，、中的“0”。謂項表示主項具有或不具有的性質(zhì)。如中“它本身的子集”、中“對數(shù)”、中的“直角三角形”、中“實數(shù)根”、中“自然數(shù)”、中“整數(shù)”。量項表示主項的數(shù)量， 反映判斷量的差別。 表示對象全體的量叫全稱量項，常用“所有”、“一切”、“任何”、“及”、“每一個”等詞來表達(dá)。表示對象一部分的叫特稱量項，常用“有些”、“有的”等詞表達(dá)。表示對象只有一個叫單稱量項。在數(shù)學(xué)中為表達(dá)簡潔，簡單判斷量項常常省略，如上述中省略了量項“所有”聯(lián)項表示判斷是肯定的還是否定的， 反映判斷質(zhì)的差異， 通常用“是”或“有”表示肯定聯(lián)項，用“不是”或“沒有”表示否定聯(lián)項。簡單判

14、斷聯(lián)項有時省略。如“分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)”就省略了聯(lián)項“是”。根據(jù)量項的全稱、特稱或單稱，以及聯(lián)項的“肯定”或“否定”的性質(zhì)，簡單判斷又可分為六種形式：1）全稱肯定判斷：如； 2）全稱否定判斷：如；（ 3）特稱肯定判斷：如；（ 4）特稱否定判斷：如；（ 5）單稱肯定判斷：如；（ 6）單稱否定判斷：如。（2）復(fù)合判斷：是由兩個或兩個以上的簡單判斷結(jié)合而成的一種判斷 , 也可以說是一種本身包含有其它判斷的判斷。數(shù)字中常見的復(fù)合判斷有假言判斷、選言判斷和聯(lián)言判斷。假言判斷：是肯定（或否定）對象在一定條件下具有某種屬性的判斷。假言判斷是借助邏輯連接詞“若 則 ”或者“如果 那么 ”把任何兩個其它判斷聯(lián)系

15、起來的。例如“如果a 和b 是互質(zhì)數(shù)，那么它們是最大公約數(shù)（a,b ）=1. 數(shù)學(xué)中的定理、公式大都由假言判斷給出的。選言判斷：是斷定事物若干可能情況的判斷。選言判斷是借助邏輯連接詞“或者”把任何兩個或兩個以上的其它判斷連接起來。例如“ a 或者能被 b 整除，或者不能被b 整除”就是選言判斷。聯(lián)言判斷：就是判定幾種事物情況都存在的判斷。聯(lián)言判斷是借助邏輯連接詞“旦”把任何兩個或兩個以上的判斷連接起來。例如“ 6 可以被 2 整除，且 6 可以被 3 整除”就是聯(lián)言判斷。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識對比較簡單的問題作出判斷，并且注意培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和認(rèn)真學(xué)習(xí)的習(xí)慣。教師要有意識地培養(yǎng)

16、學(xué)生掌握判斷這種思維形式， 凡遇到需要判斷的機(jī)會， 一定要啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行判斷， 對客觀事物作出肯定或否定的回答，教師不應(yīng)代替。例如，比較兩個數(shù)的大小。教師通過實物教具、畫圖、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、最后要求學(xué)生正確判斷出哪個數(shù)大，哪個數(shù)小。搞清數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)知識是一些最基本的概念和定律組成。數(shù)學(xué)中的定律、結(jié)論都是判斷， 而判斷是由概念與概念的聯(lián)系所構(gòu)成， 幾個已知的判斷推出新的判斷就是推理， 所以概念是數(shù)學(xué)知識的基石。 幫助學(xué)生搞清數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系， 有助于培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力， 而判斷又可加強(qiáng)學(xué)生對概念的清晰度和可辨別性，以免和其它概念相混淆。少了 63頁和 64頁角形”（第一個判斷

17、）。“三角形內(nèi)角和等于 =直角”（第二個判斷）所以“平行四邊形內(nèi)角和等于四直角”（新的判斷結(jié)論）。在這種新思維活動過程中， 通常會實現(xiàn)由一個或幾個相互聯(lián)系的判斷向一個新的判斷的過渡， 而新判斷包含了關(guān)于研究對象的新知識。 這種過渡就是推理，它是一種高級的思維形式。從一個或者幾個已知判斷得出一個新的判斷結(jié)論的思維形式， 稱為推理。數(shù)學(xué)推理在認(rèn)識數(shù)學(xué)知識方面具有極其重大的作用。 由于大部分?jǐn)?shù)學(xué)結(jié)論是由為數(shù)不多的基本判斷推導(dǎo)出來的， 而基本判斷通常借助于直觀經(jīng)驗獲得的，它只是反映了我們對現(xiàn)實對象最簡單和一般的認(rèn)識。數(shù)學(xué)推理是由已知判斷探求新結(jié)果， 從而擴(kuò)大了我們對現(xiàn)實世界中的對象和現(xiàn)象的知識范圍。推

18、理（作為一種思維形式） 跟概念和判斷的區(qū)別，就在于它是對幾個獨立思想的邏輯推演。并不是把任意幾個判斷連接起來就是推理。 在這些判斷之間應(yīng)當(dāng)有存在一定的、反映現(xiàn)實情況中存在的客觀聯(lián)系的邏輯聯(lián)詞。例如，由“三解形內(nèi)角和等于二直角”和“22=4”這兩個判斷不能作出任何結(jié)論來。推理的種類可分為（1）歸納推理：歸納推理是從特殊到一般的推理。 它是根據(jù)觀察了某類事物的一部分（或全部對象） 的特殊性后得出該類事物的一般結(jié)論的一種邏輯方法。歸納推理又分為不完成歸納推理與完全歸納推理兩種。不完全歸納推理：這是在研究事物的某些特殊情況所得到共同屬性的基礎(chǔ)上， 從而對這一事物作出一般結(jié)論的推理方法。例如：三角形內(nèi)角

19、和是（ 3-2 ） 2a四邊形內(nèi)角和是（ 4-2 ） 2a五邊形內(nèi)角和是（ 5-2 ） 2an 邊形內(nèi)角和是（ n-2） 2a但是由事物某些特殊情況所得到的屬性，不一定為另一些特殊情況所具有，因此，不完全歸納推理是不夠嚴(yán)密的，由它引出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，應(yīng)當(dāng)用其它方法（通常用演繹法）給予證明。因此，在進(jìn)行歸納時，波利亞提出：第一，我們應(yīng)當(dāng)隨時準(zhǔn)備修正我們?nèi)魏我粋€信念。 第二，如果有一種理由非使我們改變信念不可，我們就應(yīng)當(dāng)改變這一信念。第三，如果沒有某種充分的理由，我們不應(yīng)當(dāng)輕率的改變一個信念。并認(rèn)為這是科學(xué)家應(yīng)有的道德品質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，許多概念、法則、公式都是由不完全歸納推理

20、形成的。通過一些個別的式題或數(shù)學(xué)事實，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、從中抽象概括，歸納成一般的結(jié)論。例如小數(shù)乘法， 先按整數(shù)乘法計算， 然后看被乘數(shù)和乘數(shù)中共有幾位小數(shù)，積也從右向左數(shù)幾位，點上小數(shù)點，就是歸納推理。又如，由比較上面四組算式得出加法交換律：“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)位置，和不變”，也是由個別到一般不完全歸納推理的結(jié)果。完全歸納推理：這是在研究事物一切特殊情況所得到共同屬性基礎(chǔ)上， 從而對這類事物作出一般結(jié)論的推理方法：由于完全歸納推理是全面考慮了事物的一切特殊情況， 因此由完全歸納推理所得到一般結(jié)論總是正確的。由于具體情況的數(shù)目很多時， 使用完全歸納法顯得十分繁瑣， 而且具體情況無限

21、多時， 很少有可能使用這種推理方法， 所以完全歸納推理并不多見。（ 1） 演繹推理演繹推理是從一般到特殊的推理。演繹法的基本形式是三段論。 三段論法是由三個判斷所組成， 其中由兩個判斷作前提，一個判斷作結(jié)論。第一個前提是一般的判斷（全稱判斷）叫大前提，第二個前提是特殊的判斷（叫特稱判斷）叫做小前提；第三個判斷是由兩個前提推出的結(jié)論。例如，“在比例里，兩內(nèi)項之積等于兩外項之積”（大前提）2=3 與 6：9 成比例（小前提）所以 29=63（結(jié)論）演繹推理的正確性取決于兩個前提的正確性。 如果兩個前提正確， 而且遵循推理規(guī)則，那么結(jié)論當(dāng)然無可非議。數(shù)學(xué)中的推理，主要是演繹推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)

22、生根據(jù)已講過的定義、法則、性質(zhì)、公式去解決一個個具體問題，這種過程就是演繹推理。例如，利用長方形面積 =長寬的公式，可以迅速解決任何長方形計算問題，就是演繹推理?！耙粋€長方形操場，長120 米、寬70 米，求操場面積。“因為長方形面積 =長寬（大前提）場是長方形（小前提）所以操場面積=12070=8400（平方米）（結(jié)論）又如利用比的前后項擴(kuò)大或縮小同樣倍數(shù)比值不變的性質(zhì)，把一個比化簡，也是演繹推理。“把 2400：800 化簡“因為“比的前后項擴(kuò)大（縮?。┩瑪?shù)倍，比值不變”（大前提）2400：800 是個比（小前提）所以2400：800=3：1（結(jié)論）有時為了方便也可省略大前提。如：因為操場

23、是長方形（小前提）所以操場面積 =12070=8400平方米（結(jié)論）3）類比推理：類比推理是從特殊到特殊的推理。 它是比較兩個具有一些相同的 （或相似的）屬性的對象，因而推出它們的某些其它屬性也相同 （或相似）的一種推理形式。例如，根據(jù)比和分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系，由“被除數(shù)和除數(shù)擴(kuò)大或縮小同樣的倍數(shù)，商不變”判斷，推出“比的前項和后項擴(kuò)大或縮小同樣的倍數(shù)，比值不變” ，以及“分?jǐn)?shù)的分子、 分母擴(kuò)大或縮小同樣的倍數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變”判斷，都是類比推理。由類比推理得到的結(jié)論有時不一定是正確的。例如，一個算式是 85=40，另一個算式是 58=40，通過觀察分析，我們就得到一個結(jié)論， “如果兩個因數(shù)相乘的積

24、相同，其中一個因數(shù)也相同，那么另一個因數(shù)必相同”。根據(jù)這的推理，那么 90=0，而 20=0，兩個算式乘積相同，其中一個因數(shù)也相同，然而 9 卻不等于 2。這種推理的結(jié)果顯然是不正確的。這是因為兩個對象有些相同的屬性，而另一些屬性可能相同，也可能不同。同樣由“如果 a=b,那么 ac=bc”類比推出“如果 ac，那么 acbc”就不正確。因此，由類比推理得到的新判斷的真實性還必須通過其它途徑加以檢驗。盡管如此，類比推理仍不是為科學(xué)實驗和數(shù)學(xué)中常用的一種重要邏輯思維方法。要提高類比推理結(jié)論的可靠性，需注意兩點：第一，對象間的共同屬性或類比似之點越多， 則推斷的結(jié)論的真實性、可能性就越大。第二，所

25、提出共同屬性或類似之點和結(jié)論之間是有某種聯(lián)系的而不是毫不相關(guān)的。類比可以導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)或解題途徑的發(fā)現(xiàn)。 大科學(xué)家刻卜勒曾經(jīng)說過： “我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密， 在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容易的忽視的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力要特別注意如下幾點：1. 積極指導(dǎo)學(xué)生通過動手操作各種數(shù)學(xué)學(xué)具、教具來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。波利亞指出：對于小學(xué)數(shù)學(xué)，特別重要的是把數(shù)學(xué)看作制作中的數(shù)學(xué)。這是由小學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身和兒童心理特點及認(rèn)知規(guī)律所決定的。數(shù)學(xué)的的特點之一就是它的抽象性。 小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念、 法則、性質(zhì)、定律等小學(xué)生來說都具有一定的抽象性， 這與小

26、學(xué)生思維的具體形象占主要地位的特征產(chǎn)生了矛盾。 要有效地解決這一矛盾， 讓學(xué)生動手操作可以起到了不可忽視的重要作用。 因為通過操作， 可以使抽象的概念、法則、性質(zhì)、定律等變得具體、形象、看得見、摸得著。認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為， 兒童必須通過動作進(jìn)行學(xué)習(xí)， 動作在兒童智能和認(rèn)識發(fā)展中起著重要的作用。 認(rèn)知結(jié)構(gòu)是逐步建立起來的， 它們發(fā)生的起點是主客體相互作用的唯一一個可能聯(lián)結(jié)點活動（動作），而不是知覺的。數(shù)學(xué)概念， 特別是在形成的最初階段，都是借助于感覺在兒童思維中形成的，先把對“具體事物”的觀察和接觸轉(zhuǎn)變成與具體事物無關(guān)的感性認(rèn)識的形式，再把感性認(rèn)識轉(zhuǎn)變成抽象的概括，尤其小學(xué)生低年級學(xué)生思維帶有具體

27、形象的性質(zhì)， 他們的知覺在最初具有無意識的和自己不能控制的特點， 他們的理解僅僅停留在表象的水平上，處在這種思維發(fā)展水平上的低年級學(xué)生并不掌握概念這一事實，對于要思考的題目， 低年級學(xué)生通常只有依靠對實物作具體運(yùn)算，依靠具體的想象才能成功地解答出來 。經(jīng)驗證明，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時不僅借助于觀察而且還借助于使用相應(yīng)的學(xué)具、 教具進(jìn)行積極的和獨立的操作，這樣不僅可以使所學(xué)的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀實物化， 可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)其中某些關(guān)系，而且還能夠顯著地提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，使他們更加深刻地理解所學(xué)的知識。 只有看和聽而沒有動作的學(xué)習(xí)只不過是口頭上的學(xué)習(xí)，那將是一種極大的錯誤。2. 精心塑造小學(xué)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。小學(xué)生

28、對數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)， 是指他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中所形成的有組織的知識系統(tǒng)。它既是有意義學(xué)習(xí)與記憶的結(jié)果（因變量）又是影響新知識與能力獲得的一個重要因素（自變量）。因此，精心塑造學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要方法。為此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何塑造學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？（ 1）合理組編教材，構(gòu)建知識的整體結(jié)構(gòu)。學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)是從教材的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的。 優(yōu)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)接近教材的知識結(jié)構(gòu)，差生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教材的知識結(jié)構(gòu)則相差甚遠(yuǎn)。因此，組編好教材，按知識整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué)，對學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成是十分重要的。知識的整體結(jié)構(gòu)是由知識的縱橫聯(lián)系兩個方面構(gòu)架而成的。 例如分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題從縱向聯(lián)系來看，可分為

29、三種類型：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；求一個數(shù)的幾分之幾是多少的；已知一個數(shù)的幾分之幾是多少， 求某數(shù)。其中是由派生出來的。從橫向聯(lián)系來看它與倍數(shù)（整數(shù)倍）問題。按比例分配問題、比例應(yīng)用題、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題都有十分密切的關(guān)系。教學(xué)中，教師要充分揭示這些關(guān)系，讓學(xué)生從整體來組建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如教學(xué)“求一個數(shù)是另一個數(shù)幾分之幾” 時，可以從整體求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍入手，采用類比推理方法，概括出“求數(shù) a 是數(shù) b 的幾倍或幾分之幾時用數(shù) a 除以數(shù) b”的規(guī)律。此外，教師還應(yīng)當(dāng)在適當(dāng)?shù)臅r候和相應(yīng)的教學(xué)階段。 采用一題多變或一題多解的方法，溝通知識的縱橫聯(lián)系，把書中分?jǐn)?shù)，孤立而彼此有聯(lián)系的內(nèi)容，合理

30、地組織起來進(jìn)行教學(xué)， 逐步補(bǔ)充和擴(kuò)大原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之不斷深化、發(fā)展。（2）加強(qiáng)雙基教學(xué)，打好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的根基。心理學(xué)家奧蘇伯認(rèn)為， 認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有觀念是新觀念的支架， 起固定作用。在有意義學(xué)習(xí)過程中， 新材料被認(rèn)知結(jié)構(gòu)中這種固定作用的觀念同化，貯存并且相互作用，從而獲取新的知識。如原有觀念“三四一十二”（乘法口訣）。在“三四”與“十二”間建立了聯(lián)系，如理解其真正意義，那么乘法交換率，同乘法口訣求商，乘除互逆關(guān)系等知識就可同化于原有觀念中。如沒理解其實質(zhì)，雖口訣背得很熟，卻不知 43=12，123=4，124=3，這就是說根基不牢，就無法形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中概念、公式、法則等基礎(chǔ)知

31、識是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的根基，教學(xué)時應(yīng)注意：1）提供豐富的、典型的、正確的感性材料，讓學(xué)生在比較、分析、綜合、抽象和概括的基礎(chǔ)上，真正理解和掌握知識的實質(zhì)；2）加強(qiáng)變式與比較，不斷變換呈現(xiàn)形式，使其本質(zhì)屬性保持恒在，而非本質(zhì)屬性不常出現(xiàn)。 如講三角形高的概念， 應(yīng)呈現(xiàn)不同形狀三角形和不同方位的各位的各種高的情況，讓學(xué)生比較鑒別， 使學(xué)生掌握“高是從三角形頂點向?qū)吇驅(qū)呇娱L線所引垂線段”這一本質(zhì)屬性，而撇去高有時在三角形內(nèi)，有時在三角形外，有時與三角形也重回這一非本質(zhì)屬性。3）促進(jìn)知識系統(tǒng)化，理解各部分知識之間的聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)。如加，減，乘，除四則運(yùn)算法則是一個一個學(xué)會的，但它們不是孤立的。教學(xué)時，應(yīng)講

32、清它們之間的相互關(guān)系，讓學(xué)生理解加減互逆，乘除互逆，同數(shù)連加與乘，同數(shù)連減與除的關(guān)系，從而編織成一個知識網(wǎng)絡(luò)。（3）改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)綜合貫通。綜合貫通是指總括學(xué)習(xí)和并列結(jié)合學(xué)習(xí)過程中調(diào)整和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使新知識和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相一致的過程。教學(xué)中，教師應(yīng)注意揭示知識間那些共同的、關(guān)鍵的屬性，比較其異同，指明實際上與表面上的不一致性。現(xiàn)以分?jǐn)?shù)教學(xué)為例說明 分?jǐn)?shù)概念，最初是由度量的需要而產(chǎn)生的。 教學(xué)時可通過實際測量來改造原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。假如用一個標(biāo)準(zhǔn)量 a( 度量單位 ) 去度量另一個量 b，量若干次后正好量盡，度量結(jié)果是用一個整數(shù)表示的。這是認(rèn)知結(jié)構(gòu)為已有的知識。 如量若干次后不能量盡，

33、 為解決這一問題只好把度量單位劃分為小于 1 的單位成 m份，用其中的 1 份做新的度量單位去量 b, 量 n 次后正好量盡，這就是說，用把 a 分成 m等份后的一份去量 b，結(jié)果 b 含 n 個這樣的等分，這時度量結(jié)果不能用整數(shù)表示。必須引進(jìn)新的數(shù)分?jǐn)?shù)。 在整數(shù)范圍內(nèi)。學(xué)生已掌握“平均分”的概念，但分的結(jié)果是用整數(shù)表示的。教分?jǐn)?shù)時可通過實物教具、圖形去演示，如把一個餅干平均分成若干份，把一張紙平均分成若干份，先取其中一份，讓學(xué)生理解若干分之一的意義，從而由整數(shù)表示“平均分”的結(jié)果，過渡到用分?jǐn)?shù)來表示“平均分”的結(jié)果。 從除法來講，在整數(shù)范圍內(nèi)，兩數(shù)相除，商是整數(shù)才能施行，教分?jǐn)?shù)時，可通過實例

34、說明用整數(shù)表示商的局限性，當(dāng)?shù)貌坏秸麛?shù)時，為使除法能施行，也必須引進(jìn)新的數(shù)。從上可知，盡管新知識同原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不相一致， 但由于它們有一種一般的吻合性， 教學(xué)中利用它們的某些共同關(guān)鍵屬性， 可使已學(xué)的知識在新知識中進(jìn)行綜合貫通后得到改造， 且新的意義又納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去了， 這樣便提高了認(rèn)知水平， 構(gòu)建了較高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。3、注意思維過程，教給思考方法。在教學(xué)中，教師不僅要講清知識， 更重要的是在講清知識的同時教給學(xué)生思考方法。在教學(xué)過程中，注意把整體知識按其結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，分解成互相聯(lián)系而各有重點的幾個要素，逐個解決，層層遞進(jìn)，指導(dǎo)學(xué)生按一定的程序去進(jìn)行思維。如四年級講組合圖形面積

35、計算時可先把一個長方形和正方形拼成一個組合圖形，使學(xué)生初步認(rèn)識組合圖形的概貌，然后把組合圖形面積計算分成“看、找、算”三個層次進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生掌握計算組合圖形面積的思維程序：第一步，看一看，這個圖形由哪幾個已經(jīng)學(xué)過的長方形或者正方形組合而成的；第二步，找一找，計算這幾個長方形或正方形面積有哪些條件；第三步，分別算一算這幾個長方形或正方形面積，最后運(yùn)用相加或相減的方法求出整個組合圖形的面積。 實踐證明，教學(xué)中只要教師注意揭示思維過程，注意培養(yǎng)學(xué)生思維的程序性， 是有助于克服思維的盲目性和呆板性的。又如在解題教學(xué)中可教給學(xué)生回想、聯(lián)想、猜測的解題方法。一般來說，在解題過程中回想越充分，聯(lián)想越豐富，

36、猜想越合理，解題思路就越明確。 究竟想什么？怎樣想呢？教師可結(jié)合教學(xué)， 教給學(xué)生回想、聯(lián)想、猜測方法。回想：即在試題基礎(chǔ)上，根據(jù)題目條件和問題的關(guān)系，回想與題目有關(guān)的基礎(chǔ)概念、定律、性質(zhì)、公式、法則是什么？能否直接或間接的利用它們來解題？這類題目常用的解題方法是什么？能否用它來解題？聯(lián)想：是從一個數(shù)學(xué)問題想到另一個數(shù)學(xué)問題的心理活動。 即尋找一個相似的問題，或指出與題目接近的方法，變通使用這些知識，看能否解決問題。這樣聯(lián)想，就能很快地順向遷移。猜想：是對事物發(fā)展變化的一種“試探”性判斷，這種判斷是一種往往沒有經(jīng)過嚴(yán)密推理和驗證。 往往由不完全歸納推理， 即由特殊到一般的推理，通過試探找到解題方

37、法。4 、狠抓差生的思維訓(xùn)練。抓好差生的思維訓(xùn)練是大面積提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。差生的思維特點是遲鈍、 思維“飛躍”緩慢，不善于確定思維的方向；呆板不靈活，思維具有表面性， 思維面狹窄，尤其是逆向思維能力差；不善于獨立思考。學(xué)習(xí)新知識時常常機(jī)械模仿，依葫蘆畫瓢，生搬硬套題目稍有變化就束手無策。 幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中的思想障礙，培養(yǎng)訓(xùn)練他們的思維能力，是個根本性的問題。為此，要清除差生學(xué)習(xí)的心理障礙，根據(jù)差生思維特點，精心設(shè)計的過程。講求量有針對性，階段性和實踐性，從而有效的發(fā)展差生思維的獨立性。(1) 熱情鼓勵，消除恐懼心理。害怕提問是差生的通病。有的差生害怕老師提問，聽課時情緒緊張，心理上有一種壓抑感。為此，教師要真正做到愛護(hù)、尊重差生。親近差生。要注意差生意志，毅力，興趣的培養(yǎng)。對這種怯弱型差生，教師首先應(yīng)盡量避免與他們直接對視，