西工大計(jì)算方法試題06-10(含答案)

1、一、考試內(nèi)容線性方程組和非線性方程（組）的求解、矩陣特征值和特征向量的計(jì)算、微積分 的計(jì)算、微分方程定解問(wèn)題的求解等，都是工程、科技、統(tǒng)計(jì)等實(shí)際問(wèn)題中大量 碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題的精確解很難求出。而計(jì)算方法則是一門(mén)適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算求解的數(shù)值方法，它簡(jiǎn)單可行，能有效求出上述數(shù)學(xué)問(wèn)題的近似 解。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能掌握利用計(jì)算機(jī)求解基本數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的 數(shù)值計(jì)算方法，學(xué)會(huì)構(gòu)造基本的計(jì)算格式，并能作一定的誤差分析，使學(xué)生具備基本的科學(xué)計(jì)算能力。主要有：1. 了解計(jì)算方法的認(rèn)務(wù)和特點(diǎn)；2. 熟練掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛頓迭代法和弦割法3. 熟練掌握線性代數(shù)方程組的解法，直接

2、解法中的高斯消去法、矩陣的直接三 角分解法，平方根分解法，解三對(duì)角方程組的追趕法；解線性方程組的迭代法， 簡(jiǎn)單迭代法，雅可比迭代法，賽德?tīng)柕ǎ?SO肪法及其收斂性4. 熟練掌握矩特征值和特征向量的計(jì)算，乘幕法與反幕法，古典雅可比方法， 雅可比過(guò)關(guān)法5. 熟練掌握插值法，拉格朗日插值法，牛頓插值法，等距節(jié)點(diǎn)插值法，埃爾米 特插值法，三次樣條插值法6. 熟練掌握最小二乘法與曲線擬合，掌握矛盾方程組與最小二乘法，數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式擬合，可化為線性擬合模型的曲線擬合7. 熟練掌握數(shù)值積分與數(shù)值微分，包括牛頓-柯特斯求積公式、復(fù)化求積公式、 龍貝格求積算法、高斯型求積公式和數(shù)值微分；8. 熟練掌握常微分方

3、程初值問(wèn)題數(shù)值解法，包括歐拉法與梯形法、泰勒展開(kāi)法 與龍格-庫(kù)塔法、線性多步法2006-2007 第一學(xué)期填空1) 近似數(shù)X = 1.253關(guān)于真值X =249有位有效數(shù)字；1 nnL f(x)dx 賂送 Akf(Xk) z Ak2) 設(shè)有插值公式z，則7=;(只算系數(shù))*er ( r)-3) 設(shè)近似數(shù)xi = 0.0235，x 2.5160都是有效數(shù)，則相對(duì)誤差x24) 求方程x = cosx的根的牛頓迭代格式為 ；x1 x2 = 1|2x1 2x2 二 2* 捲 _ x2 =1捲 _x2 = 15) 矛盾方程組宀+決=-1與占+2X2 = -1得最小二乘解是否相同 。X二. 用迭代法(方法

4、不限)求方程 xe =1在區(qū)間(0，1)內(nèi)根的近似值，要求先論證收斂性，誤差小于10 時(shí)迭代結(jié)束。2 x三. 用最小二乘法y =ax be中的常數(shù)a和b ,使該函數(shù)曲線擬合與下面四個(gè)占八、(1，-0.72)(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第四位)四用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組*1 0 2 00 10 1X2312 43X317Q 10 3五設(shè)要給出f X二cosx的如下函數(shù)表XiX。- hX。x +hf (Xi)f(X0 -h)f (Xg)f(Xc +h)用二次插值多項(xiàng)式求f(x)得近似值，問(wèn)步長(zhǎng)不超過(guò)多少時(shí)，誤差小于10六.

5、設(shè)有微分方程初值問(wèn)題Jy = 2y 4x,0 x 蘭0.2$(0)=21 ）寫(xiě)出歐拉預(yù)估一校正法的計(jì)算格式；2）取步長(zhǎng)h=0.1，用歐拉預(yù)估校正法求該初值問(wèn)題的數(shù)值解（計(jì)算結(jié)果保留 4位小數(shù)）。七. 設(shè)有積分01 x（小取11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)0和1）,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 數(shù)點(diǎn)侯保留4位）;用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小（小 數(shù)點(diǎn)侯保留4位）。八. 對(duì)方程組卩2-2*4、111 IX21221丿61. 用雅可比迭代法求解是否對(duì)任意初始向量都收斂？為什么？2. 取初始向量x二（0,0,0）丁，用雅可比迭代法求近似解x（k1），使 x（畀 1

6、0（i =1,2,3）九.設(shè)f（x）在區(qū)間a，b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（a）=f（b）=0 ，試證明1max f（x）8（b - max f（x）a 空辺8a :x _b參考答案:1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023Xk -COSXkxk sinxk cosxk(4)1 sinx1 sinx,k = 0,1,2,.2. 方程的等價(jià)形式為 x =，迭代格式為xke 收斂性證明；當(dāng)X，（0,1）時(shí), 申（x）| =e e0 =1所以依據(jù)全局性收斂定理，可知迭代格式收斂 取迭代初值為& = 0.5，迭代結(jié)果如下nXn|xn _xn00.510.606530.0106520.54524-0

7、.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.x11.52.02.52Xn12.254.06.25Xn e2.718284.481697.3890612.18249-12.71828-0.7212.254.48169FL0.024.07.38906:bj0.61矛盾方程組為6.25 12.18249一I0.32 一對(duì)應(yīng)的正則方程組為61.125118.4989 a _3.765*18.4989 230.4859b占.538196_解得 a - 2.0019, b -1.0009所以擬和曲線方程為y =

8、 2.19x2-1.。004. 由矩陣Doolittle 分解的緊湊記錄形式有*10 2 05 *10 2 050 10 130 10 1312 4 31712 2 16少 10 37T1 0 24回代求解得4 1x42x3(6 -1 x4) = 22 23 -0x31x4x2115 -0x2 2x3 0x4x-i11方程組的解向量為x= (1,1,2,2).5.令maxxk丄童診4f ()3! (x -xk二)(x -Xk)(x -Xk 3!10可求得h 4.2498 (或h 0.2289)6. yF =1.6,浙=1.62,y2)=1.256, y2 =1.27247. 0.6932R(f

9、) 1.3331058.(1) Jacobi迭代法的迭代矩陣為0-1-20-22-1譜半徑BJ =0 : 1 .此時(shí)Jacobi迭代法對(duì)任意初始向量都收斂(2)4r82、1x=-6(3),x =0(4),x =0廠79. 以X。二a*二b為插值節(jié)點(diǎn)，做Lagrange插值：1匕1Uf (x L1 (x)f ( )(x-a)(x-b) f ( )(x-a)(x-b)2! 2!其中(x)a,b。故1 1 1 2max f(x)蘭max 匚f V)(a)(b_max f(x)max(xa)(xb)蘭8(ba) max 廣(x)a空至a童坐 2!2 a童色a纟色8a蘭空2007-2008 第一學(xué)期1填

10、空（15分）1）設(shè)近似數(shù)x* = 9.2270 , x； =0.8009都是四舍五入得到的，則相對(duì)誤差* *e（X1X2）2） 擬合三點(diǎn)A（3,1）, B（1,3），C（2,2）的平行于y軸的直線方程為 .3）近似數(shù)x =0.0351關(guān)于真值x =0.0349有 位有效數(shù)字.1n _J匸 f （x）dx 氐 E Ak f （xk）4） 插值型求積公式心至少有次代數(shù)精確度.5）Simpson（辛浦生）求積公式有 代數(shù)精確度.3 22.（ 10 分）已知曲線 2.89與y = 2.4xO.Mx在點(diǎn)（1.6,6.9）附近相切,x _ x 10_4試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值 人*，當(dāng)x計(jì)-Xn

11、U誤差小于p 時(shí)停 止迭代。3. （10分）用最小二乘法確定y =擬2 “1 nx中的常數(shù)a和b，使得該函數(shù)曲線擬合于下面四個(gè)點(diǎn)（1，2.01）, （2，7.3）, （3,16.9）, （4,30.6）（ 計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）3 2A= 104.（10分）用乘幕法求矩陣346 1丿的按模最大的特征值?1的第k次近似7 （k）值1及相應(yīng)的特征向量少）、1 。要求取初始向量U0=(1,2,1)T 且()1k1 0.1。5. （10分）設(shè)有方程組a1廠3(a = 0)寫(xiě)出與Jacobi迭代法對(duì)應(yīng)的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩陣為：當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時(shí)，J

12、acobi方法對(duì)任意的初始向量都收斂。6. （10分）已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y = f（x）的如下數(shù)據(jù):Xi12f (Xi)05f(Xi)110試求滿足插值條件P（Xi） = f，P（Xi） = f （x）的三次插值多項(xiàng)式P（x）,并寫(xiě)出截?cái)嗾`差R（x）二f（X）- p（x）的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式（不必證明）7.（15分）設(shè)有積分1 x3eXdx1）取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)1和2）,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表 （小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）；2）用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。8. （10分）給定初值問(wèn)題2y =0, y=1,1 ： x _ 1.4x寫(xiě)出歐拉（E

13、uler）預(yù)估-校正的計(jì)算格式;取步長(zhǎng)h =0.2，求y（1.4）的近似值9. （10分）用迭代法的思想證明：（等號(hào)左邊有k個(gè)2）km.2 、2 III 2 =2參考答案：1: (1)6.78 X 10 5, (2) x=2 (3) 2(4) n-2 (5) 32 22.切線斜率相等：3x =4.8x 0.51 , 3x -4.8x 0.51 =023xn 4.8xn0.51Xn1=Xn-牛頓迭代格式：6焉-4.8取 x 1.6 得 x 1.70625,X? = 1.70002, X3 = 1.70000, x 1.70000a =2.01 4a +bln 2 =7.33. 矛盾方程組:9a

14、bl n3 = 16.916a bl n4 =30.8672.91(66.0471335434.84081a正則方程組:34.840813.60921 丿 廠a ： 1.9997, b ： -1.0042(k 1)4.取初始向量V = (1 2 1)，用乘幕法公式進(jìn)行計(jì)算，且取(k) V1V，得為 1.0 x =(13516,27032,20226)T5.(1)迭代格式為(k 1)Xix3k 1)b1 x2k)-3x3k)ab2 -x；k 1 -2x3k)a二 1 b3 3才2x2k 1a Jacobi迭代法的迭代矩陣為12P(Bj )=譜半徑.由B J ：1 得此時(shí)Jacobi迭代法對(duì)任意初

15、始向量都收斂.6.3p(x)=x -2x 1, R(x) = f (x) - p(x)匚 4!&-1)2&-2)2, (x)(1,2)7.8.20.2174 R(f)蘭 0.0048(1) Euler預(yù)-校法的計(jì)算格式為yn 1 二 yn hf (Xn , y“)hyn yn 2 f (Xn,yn) f X 1 , 丫補(bǔ)0)2h =0.2 , f(x,y)二止(2)將x代入，則(0) yn半 ryn 1-yn 0.22ynXnyn +0.1 區(qū) +1-(XnXn書(shū)丿代入X。i, yo i得；y0i.2y20 =1.4681y(1.2)沙=1.22y(1.4)托 y2 =1.497989.證明考

16、慮迭代格式Xo , Xk 1 = .2Xk,k二0,1,，則片=J2 x2 = $2+72 Xk =；2+#2+寸2 +2+J2設(shè)：(x)；2 x，則當(dāng) x 0,2時(shí)，(x) (0),(2)=1 由：(X2 2 x ,則當(dāng)x 0,2時(shí),1(x)蘭|A(0)=麗 1所以，由迭代格式X0,Xk2 Xk產(chǎn)生的序列收斂于方程內(nèi)的根:.設(shè)何人，則有：=2 ：，即叮2 =2 ：.解之得胡：(k個(gè) 2)2,2 0,2；x= 2 x 在0,2一1 .舍去不合題意lim Xk 2的負(fù)根，有k / ，即誠(chéng)信保證本人知曉我?？紙?chǎng)規(guī)則和違紀(jì)處分條例的有關(guān)規(guī)定，保證遵守考場(chǎng)規(guī)則，誠(chéng)實(shí)做人。本人簽字： 編號(hào)：學(xué)號(hào)：班號(hào)：

17、姓名：成績(jī)西北工業(yè)大學(xué)考試試題(卷)2009 2010學(xué)年 第2學(xué)期開(kāi)課學(xué)院：理學(xué)院課 程：計(jì)算方法學(xué)時(shí)：322010年04月30日考試時(shí)間：2小時(shí) 閉卷(A卷)(共9道題，注意檢查)1.(每小題3分，共15分)填空(1) 設(shè)近似數(shù)x； = 9.2270,x； = 0.8009都是“四舍五入”得來(lái)的，則相對(duì)誤差er(x1 x2)蘭；(2) 擬合三點(diǎn) A (3 , 1) , B (1 , 3) , C (2 , 2 )的平行于 y軸的直線方程為;(3)近似數(shù)x* = 0.0351關(guān)于真值x = 0.0349 有位有效數(shù)字；(4)1插值型求積公式f(x)dxn -1 Z .k mAk f (xk)

18、至少有次代數(shù)精確度;(5)Simpson (辛浦生)求積公式有次代數(shù)精確度。2. (10 分)已知曲線 y =x32.89 與 y = 2.4x2 0.51x 在點(diǎn)(1.6,6.9 )附近相切。試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值Xn出,當(dāng)Xn出- Xn蘭10時(shí)停止迭代。西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙23. (10分)用最小二乘法確定y=ax - blnx中的常數(shù)a和b，使該函數(shù)曲線擬合于下列四個(gè)點(diǎn)：(1 , 2.01), (2,7.3) , (3,16.9) , (4,30.6)(計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第4位)。西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙4. (10分)用乘幕法求矩陣A =10的按模最大的特征值 1的第k

19、次近似值 ；k)及相應(yīng)的特征向量 x1k)。要求取初始向量Uo = (1 ,2 ,1)T，且-0.1。所以：1k)，x1k)t(1 ,)T ,t = 0西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙5 (10分)設(shè)有方程組a13)1f、X1b1 ”1a2 11X2=b21一32a.丿4 (1)寫(xiě)出與Jacobi迭代法對(duì)應(yīng)的 Gauss-Seidel方法的迭代格式;(1) Jacobi方法的迭代矩陣為:(2)當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時(shí) Jacobi方法對(duì)任意初始向量都收斂?西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙共8 頁(yè)第4 頁(yè)6. (15分)已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) y = f(x)的如下數(shù)據(jù):Xi1 2f (Xi)05f (xj1 10試求

20、滿足插值條件p(Xi)二 f (Xi) , p(xj 二 f (Xi)的三次插值多項(xiàng)式p(x)，并寫(xiě)出截?cái)嗾`差 R(x)二f(x)- p(x)的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式(不必證明)。西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙共8 頁(yè)第5 頁(yè)7. ( 15分)設(shè)有積分I：x3exdx(1)取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)(包括端點(diǎn) 1和2),列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函 數(shù)值表(小數(shù)點(diǎn)后至少保留 4位)；(2)用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙共8頁(yè)第6 頁(yè)8. (10分)給定初值問(wèn)題2y - y =0 ,y(1)=1 ,1 x 1.4x(1) 將y(Xn i)在Xn作二階Taylor

21、展開(kāi)，由此建立求解該初值問(wèn)題的計(jì)算格式;(2)取步長(zhǎng)h=0.2,用上述方法求 y(1.2)、y(1.4)的近似值。西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙共8頁(yè)第7頁(yè)9. ( 5分)用迭代法的思想證明lim $2 +J2+7k2=2(等號(hào)左邊有k個(gè)2)西北工業(yè)大學(xué)命題專(zhuān)用紙共8 頁(yè)第8 頁(yè)參考答案1.(1) 6.78 10 - (2) X = 3 2 位(4) n-2(5) 3 次22在切點(diǎn)(x,y)導(dǎo)數(shù)相等得3x _4.8x_0.51 =0Xk 123xk -4.8xk -0.516Xk 4.8k =0,1,2,取初值X。=1.6，計(jì)算得x3 =1.7 00 00 0x4 =1.70000035430.068

22、22 丫a、廣 672.91、,30.068223.60921 丿(b 丿住6.04712丿3.正規(guī)方程:a 1.1 8 5 2,b &42564. 丁 =3.561 ,t(1,0562,1)t，t 05. x=(0.66667,1.08333, - 1.05208)T x(4) =(1.000, 0.999, 0.999)t3f G)226. p(x)=x3-2x 1 R(f)(x-1)2(x-2)24!7.被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的值列表如下Xi17686961061162f(Xi)2.718285.099388.9924015.1257024.5115338.5417059.11245系數(shù)142

23、4241I 1 = = 1363.90571 =20.2169818 18rE孟的沖.08 計(jì) WO.0234375)& yn 1 二 yn 0.2仏 0.02(牛一電) XnXn Xny(1.2)y, = 1.22 , y(1.4) y2 = 1.4894辦公室衛(wèi)生管理制度一、主要內(nèi)容與適用范圍1 本制度規(guī)定了辦公室衛(wèi)生管理的工作內(nèi)容和要求及檢查與考核。2 此管理制度適用于本公司所有辦公室衛(wèi)生的管理二、定義 1 公共區(qū)域：包括辦公室走道、會(huì)議室、衛(wèi)生間，每天由行政文員進(jìn)行清掃；2個(gè)人區(qū)域：包括個(gè)人辦公桌及辦公區(qū)域由各部門(mén)工作人員每天自行清掃。1. 公共區(qū)域環(huán)境衛(wèi)生應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：1) 保持公共區(qū)域及個(gè)人區(qū)域地面干凈清潔、無(wú)污物、污水、浮土，無(wú)死角。2